координаты »

даны координаты вершин

  • Найдите площадь четырёхугольника ABCD, вершины которого заданы своими координатами: А(-6; 2), В(—5,5), С(—2; 6), D(—3;3).


    Решение: Найлем для начало стороны AB=√(8-4)^2+(2-6)^2 =√ 16 +16=2√8CD=√(-2-4)^2+(-1+3)^2 =√36+4 =√40 BC=√(4-8)^2+(-3-2)^2=√16+25=√41AD=√(-2-4)^2+(-1-6)^2=√36+49=√85 на рисунке можно видеть что это трапеция выходит, можно раздлить эту трапецию на два треугольника затем найти площадь каждой и суммировать Площадь треугольника S=ab/2*sinaнайдем угол между АВ и AD через скалярAB {4;-4}AD{-6;-7}cosa=4*-6+ 4*7 / √32*85 = 4/√2720теперь sina=√1-16/2720=52/√2720теперь площадь S= 52/√2720 * √2720/2 = 26  теперь площадь другого треугольника  опять угол   B (8; 2), C (4; -3), D (-2; -1) ВС={-4;-5} CD={-6;2} cosa= 24-10/√1640 = 10/√1640 sina = √1-100/1640 = √1540/1640 S=√41*40/2 * √1540/1640 =√1540/2 = √385 S=√385+26 площадь искомая

  • Найдите площадь четырехугольника ABCD, вершины которого заданы своими координатами: A (-6; 2), B(-5;5), С(-2;6),D(-3;3).


    Решение: Для начала выясним, что представляет из себя этот четырёхугольник.
    Формула длины отрезка: d=$$ \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2} $$, где d - длина отрезка, x1 и у1 - координаты одного конца отрезка, х2 и у2 - координаты второго конца отрезка.
    По этой формуле найдём длины AB, BC, CD и AD.
    AB=$$ \sqrt{(-5+6)^2+(5-2)^2} =\sqrt{10} \\ BC=\sqrt{(-2+5)^2+(6-5)^2} =\sqrt{10} \\ СD=\sqrt{(-3+2)^2+(3-6)^2} =\sqrt{10} \\ AD= \sqrt{(-3+6)^2+(3-2)^2} =\sqrt{10} $$ Значит AB=BC=CD=AD. А следовательно ABCD - ромб.
    По формуле площади ромба \(S=\frac{ d_{1} * d_{2} }{2}\), (где d1 и d2 - диагонали) найдём площадь. Но для этого нужно узнать длину диагоналей. Воспользуемся всё той же формулой длины отрезка.
    $$ d1=AC=\sqrt{(-2+6)^2+(6-2)^2}=\sqrt{32} \\ d2=BD=\sqrt{(-3+5)^2+(3-5)^2} =\sqrt{8} $$ Значит $$ S=\frac{ \sqrt{32} \sqrt{8} }{2} =64 $$ Ответ: 64

  • Даны координаты вершин пирамиды ABCD. найти: 1) длину ребра AB2) угол между ребрами AB и AD 3) проекцию вектора AC на вектор AD 4) уравнение прямой АВ 5) уравнение плоскости АВС. сделать чертеж. А(3,1,1); В(1,4,1); С(1,1,7) ; D(3,4,1)


    Решение: 1) длина ребра AB = √((1-3)²+(4-1)²+(1-1)²) = √(4+9+0) = √13 ≈  3,605551.
    2) угол между ребрами AB и AD.
      x  y z
    Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA}    -2  3 0
    Вектор AD={xD-xA, yD-yA, zD-zA}   0 3 -2
      cos  радиан градусов
    < SAB  0.692308  0.80611415  46.18694
    4) уравнение прямой АВ
    AB: (x -3)/-2 =  (y -1)/3 =  (z -1)/ 0.
    5) уравнение плоскости АВС.
    Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
    Тогда уравнение плоскости имеет вид:
    (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0. Получаем: 18 x + 12 y + 6 z -72 = 0

  • Даны координаты вершин пирамиды ABCD:
    A(-1;1;-5) В(3;5;-7) С(1;12;-15) D(-1;3;-4) Необходимо:
    1. Записать векторы АВ, АС, АD в ортонормальной системе {i,j,k} и найти модули этих векторов.
    2. Найти угол между векторами АВ и АС
    3. Найти проекцию вектора AD на вектор АВ
    4. Вычислить площадь грани АВС
    5. Найти обьем пирамиды АВСD


    Решение: 1.AB=(3-(-1));(5-1);(-7-(-5))=(4;4;-2)=4i+4j-2k AC=(1-(-1));(12-1);(-15-(-5))=(2;11;-10)=2i+11j-10k AD=(-1-(-1));(3-1);(-4-(-5))=(0;2;1)= 2j+k Модули векторов. |AB|=sqrt (все под корнем)4^2+4^2+2^2=sqrt36=6 |AC|=sqrt 2^2+11^2+10^2=sqrt225=15 |AD|=0^2+2^2+1^2=sqrt 5=2,236 2. угол между АВ и АС : cosy=4*2+4*11+(-2)*(-10)/6*15=0,8 y=arccos (0,8)=36,871° 3. проекция вектора: Ррав АС=2*4+11*4+(-10)*(-2)/sqrt 36=12 4. площадь грани cosy =sqrt 1-0,8^2=0,6 площадь грани АВС :Sавс=1/2|АВ|*|АС|siny=1/2 sqrt 36*sqrt 225 * 0,6 =27 5. Объем пирамиды | 4 4 -2 | V=1/6 | 2 11 -10 |=108/6 | 0 2 1 | находим определитель матрицы (маленький треугольник )=4*(11*1-2*(-10))-2*(4*1-2*(-2))+0*(4*(-10)-11*(-2))=108

  • Даны координаты вершин пирамиды
    А1 А2 А3 А4.
    Средствами векторной алгебры найти: 1) угол Между рёбрами А1А2и А1А4;
    2) площадь грани А1 А2 А3; 3) проекцию вектора А1А3на вектор А1А4; 4) объём пирамиды
    А1(2, 4, 3),
    А2(7, 6, 3),
    А3(4, 9, 3),
    А4(3, 6, 7).


    Решение: 1) Определяем векторы А1А2 и А1А4:
    А1А2 =(7-2=5; 6-4=2; 3-3=0) = (5; 2; 0),
    А1А4 = (3-2=1; 6-4=2; 7-3=4) =(1; 2; 4).
    Угол между рёбрами А1А2 и А1А4:
    $$ \alpha =arc cos \frac{|5*1+2*2+0*4|}{ \sqrt{5^2+2^2+0^2} * \sqrt{1^2+2^2+4^2} } = arccos\frac{9}{ \sqrt{29}* \sqrt{21} } =arccos0,364698 $$ =1,197487 радиан = 68,61098 градуса.
    2) площадь грани А1 А2 А3:
    Площадь треугольника образованного векторами a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов.
    Вектор А1А2 найден.
    Находим вектор А1А3: = (4-2=2; 9-4=5; 3-3=0) = (2; 5; 0).
    S = (1/2)*|a × b|.
    c =a × b =   (2·0 - 0·5) -  (5·0 - 0·2) +  (5·5 - 2·2) =  =  (0 - 0) -  (0 - 0) + 
    + (25 - 4) = {0; 0; 21}
    |a x b| = √(cx² + cy² + cz²) = √(0² + 0² + 21²) = √(0 + 0 + 441) = √441 = 21.
    Найдем площадь треугольника:S = (1/2)*21 = 10.5.
    3) Проекция вектора А1А3 на вектор А1А4.
    Пр ba = (a · b)/|b|
    Найдем скалярное произведение векторов :a · b = ax · bx + ay · by + az · bz =
     5 · 1 + 2 · 2 + 0 · 4 = 5 + 4 + 0 = 9
    Найдем модуль вектора :|b| = √(bx² + by² + bz²) = √(1² + 2² + 4²) = 
    √(1 + 4 + 16) = √21
    Пр ba = 9/√21 = 3√21/7 ≈ 1.963961.
    4) Объём пирамиды.
    Объем пирамиды равен:  (AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AS{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3
    Находим третий вектор :
    AS = {Sx - Ax; Sy - Ay; Dz - Az} = {3 - 2; 6 - 4; 7 - 3} = {1; 2; 4}.
    V = (1/6)|AB · [AC × AD]|.
    Находим смешанное произведение векторов:
    AB · (AC × AS) = 5·5·4 + 2·0·1 + 0·2·2 - 0·5·1 - 2·2·4 - 5·0·2 = 100 + 0 + 0 - 0 - 16 - 0 = 84
    Найдем объем пирамиды: V = (1/6)·84 = 14.

1 2 3 > >>