координаты »
даны координаты вершин - страница 3
Определите координаты вершин треугольника ABC, если середины его сторон имеют координаты К(-4;2) L(1;6), М(-3;2). Найдите длину медианы АК.
Решение: $$K ( \frac{ x_{a} - x_{b} }{2}; \frac{y_{a} - y_{b} }{2} )$$
K (-4; 2), аналогично и другие точки. Можно составить системы уравнений по координатам х и у отдельно:
$$ \left \{ {{ \frac{ x_{a} + x_{b} }{2 } =-4} \atop { \frac{ x_{a}+ x_{c}}{2} =-3}}\atop { \frac{ x_{b}+ x_{c}}{2} =1}\right. \\ \left \{ {{ \frac{ y_{a} + y_{b} }{2 } =2} \atop { \frac{y_{a}+y_{c}}{2} =2}}\atop { \frac{ y_{b}+ y_{c}}{2} =6}\right. $$
Решая системы, получим $$ x_{a}= -8 $$ $$ x_{b} = 0 $$ $$ x_{c} = 2 \\ y_{a} = 1 $$ $$ y_{b} = 3 $$ $$ y_{c} = 3 $$
A(-8; 1) B(0; 3) C(2; 3)Координаты: А(-5,7) В(7,2) С(11,20)
даны координаты вершин треугольника авс найти:
1. Длину стороны АВ
2. уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты
3. угол Ψ между прямыми ав и вс в радианах.
4. уравнение высоты СD и ее длину
5. уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересичение этой медианы с высотой СD
6. уравнение прямой L которая проходит через точку К параллельно к сторне АВ.
7. координаты точки F(X_F Y_F) которая находится симметрично точке А отностьельно прямой СD.
Решение: 1) Расчет длин сторон:
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √169 = 13,
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √500 = 22.36067977,
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √985 = 31.38470965.
2) Уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты.
Ха Уа Хв Ув Хс Ус
-5 -7 7 -2 11 20
$$ AB: \frac{x+5}{7-(-5)} = \frac{y+7}{-2-(-7)} \\ \frac{x+5}{12} = \frac{y+7}{5} $$. Это уравнение в каноническом виде. В общем виде оно будет таким:
АВ: 5х - 12у - 59 = 0.
В виде уравнения с коэффициентом:
у = (5/12) х - (59/12), или у = 0.416667х - 4.9167.
Угловой коэффициент равен:
Кав = (Ув-Уа) / ( Хв-Ха)= 5/12 = 0.416667.
Аналогично находим уравнение стороны ВС:
ВС: 22х - 4у - 162 = 0
Можно сократить на 2:
ВС: 11х - 2у - 81 = 0.
В виде уравнения с коэффициентом:
у = (11/2) х - (81/2), или у = 5.5х - 40.5.
Угловой коэффициент равен:
Квс = (Ус-Ув) / (Хс-Хв ) = 11/2 = 5,5.
3) Угол Ψ между прямыми АВ и ВС в радианах.
Это угол В, его определяем по теореме косинусов:
cos В= (АВ²+ВС²-АС²) / (2*АВ*ВС) = -0.543537
B = 2.145441 радиан = 122.9247 градусов.
4) Уравнение высоты СD и ее длина.
СD: (Х-Хс) / (Ув-Уа) = (У-Ус) / (Ха-Хв).
В каноническом виде:
$$ CD: \frac{x-11}{5} = \frac{y-20}{-12} $$
В общем виде CD: -12x - 5y + 232 = 0 или с положительным коэффициентом при х:
CD: 12x + 5y - 232 = 0.
Длина высоты CD:
CD = 2S / BA.
Находим площадь треугольника :
S = (1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 122.
Тогда CD = 2*122 / 13 = 18.76923.
5) Уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD.
Находим координаты точки Е как средней между точками В и С:
Е((7+11)/2=9; (-2+20)/2=9) = (9; 9).
Уравнение АЕ: $$ \frac{x+5}{14} = \frac{y+7}{16} $$ или в общем виде 16х - 14у - 18 = 0.
Можно сократить на 2:
АЕ: 8х - 7у - 9 = 0.
Координаты точки К пересечения медианы АЕ с высотой СD находим решением системы уравнений этих прямых:
8х - 7у - 9 = 0 40х - 35у - 45 = 0
12x + 5y - 232 = 0 84х + 35у - 1624 = 0
-
124х - 1669 = 0
Хк = 1669 / 124 = 13.45968.
Ук = (8х - 9) / 7 = 14.09677.
6) Уравнение прямой L, которая проходит через точку К параллельно стороне АВ.
У прямой L коэффициент к = 5/12 = 0.416667 (как и у прямой АВ).
Подставляем координаты точки К:
14.09677 = 0.416667*13.45968 + в.
Отсюда находим "в":
в = 14.09677 - 0.416667*13.45968 = 8.488575.
Получаем уравнение прямой L:
у = 0.416667х + 8.488575.
7) Координаты точки F(X_F Y_F), которая находится симметрично точке А относительно прямой СD.
Так как прямая СD - это перпендикуляр к стороне АВ, то точка D - центр симметрии.
Координаты D(18.2189349; 2.6745562).
xF = 2*xD - xA = 2*18.2189349 - (-5) = 41.4378698,
yF = 2*yD - yA = 2*2.6745562 - (-7) = 12.349112.Даны координаты вершин треугольника ABC
А(6.3) B(1.2) C(-2.0)
Найти:
1) уравнение и длину стороны ВС
2) уравнение и длину высоты проведённой из вершины В на АС
3) уравнение медианы проведённой из вершины В на АС
4) площадь треугольника
Решение: Уравнение прямой в общем виде:
Y =kX + b, где k - наклон, b - сдвиг.
1) Уравнение прямой ВС.
k = (Ay-By)/(Ax-Bx) = (-3 -2)/(6 - 1) = - 1.
Сдвиг b определим для точки В(1,2) по формуле
By = k*Bx + b или
b = By - k*Bx = 2 - (-1)*1 = 3.
Окончательно: У(ВС) = - Х + 3 - ОТВЕТ
Длина стороны ВС по т. Пифагора.
ВС = √[(By-Ay)²+(Bx-Ax)² = √(5²+5²) = 5√2 - ОТВЕТ
2) Уравнение и длина высоты BD.
k = (3 - 0)/(6 - (-2)) = - 3/8 - наклон прямой АС к которой надо провести высоту.
Сдвиг определим по точке С
b = 0 - (-3/8)*(-2) = - 3/4
Уравнение прямой АС: Y(AC) = -3/8*X - 3/4
У высоты коэффициент обратный - перпендикуляр к стороне АС.
k1 = - 1/k = 8/3
Сдвиг определим по точке В(1,2).
b = 2 - 8/3*1 = - 2/3
Уравнение высоты ВD: Y(ВD) = 8/3*X - 2/3 - ОТВЕТ
Координата точки D - решением системы уравнений:
а) 8/3*X - 2/3 = Y
б)- 3/8*X - 3/4 = Y
Координата точки D(0,3/4)
Длина высоты BD по т. Пифагора
BD = √(2.75²+1²) = √8.5625 ~ 2.93 - ОТВЕТ
3) Уравнение медианы ВЕ.
Координата точки Е - середина по высоте и середина по ширине.
Ех = (6 - (-2))/2 = 4
Еу =(-3 -0)/2 = - 1,5.
Уравнение прямой ВЕ.
k = (-1.5 - 2)/(2 - 1) = -3.5
b = 2 - (-3.5)*1 = 5.5
Окончательно уравнение медианы: Y(BE) = -3.5*X+5.5 - ОТВЕТ
4) Площадь треугольника по формуле S(ABC) = AC*BD/2.
Длина стороны АС по т. Пифагора.
АС = √(8²+3² = √(64+9) = √73
Площадь треугольника
S = 1/2*√73*√8.5625 = 1/2*√625.0625 = 12,5 = S - ОТВЕТДаны координаты вершин треугольника ABC. А (-4;5). В (-1;17). С (5;9)
Найти
1. уравнение стороны АВ
2. уравнение высоты CD, опущенной из вершины С на сторону АВ
3. уравнение медианы АЕ
4. уравнение окружности, для которой АЕ служит диаметром
Решение: 1. Уравнение стороны АВ:
АВ : (Х-Ха)/(Хв-Ха) = (У-Уа)/(Ув-Уа).
АВ: 4 Х - У + 21 = 0,
в виде уравнения с коэффициентом:
AB: у = 4 х + 21.
2. Уравнение высоты CD, опущенной из вершины С на сторону АВ:
СD: (Х-Хс)/(Ув-Уа) = (У-Ус)/(Ха-Хв).
CD: 1 Х + 4 У - 41 = 0.
CD: у = -0.25 х + 10.25.
3. Уравнение медианы АЕ:
(Х-Ха)/(Ха1-Ха) = (У-Уа)/(Уа1-Уа).
Основания медиан (точки пересечения медиан со сторонами):
Е(Ха1; Уа1)
х у
2 13.
АЕ: 4 Х - 3 У + 31 = 0,
АЕ: у = 1.33333 х + 10.3333.
4. Уравнение окружности, для которой АЕ служит диаметром.
Находим центр окружности - это середина отрезка АЕ:
О((-4+2)/2=-1; (5+13)/2=9),
О(-1; 9).
Длины медианы АЕ:
АЕ = √((Ха1-Ха)²+(Уа1-Уа)²)) =10.
Радиус равен 10/2 = 5.
Уравнение окружности имеет вид (x – a)² + (y – b)² = R², где a и b – координаты центра О окружности.
(х + 1)² + (у - 9)² = 5².Даны координаты вершин треугольника ABC: A(-17;26), B(7;19), C(-11;43)
Требуется:
1) вычислить сторону BC
2) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;
3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
4) вычислить внутренний угол при вершине В;
5) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.
6) сделать чертеж в системе координат
Решение: A(-17; 26), B(7; 19), C(-11; 43)
1) $$ BC=\sqrt{(-11-7)^2+(43-19)^2}=\sqrt{324+576}= \sqrt{900}=30 $$
BC=30
2) Найдем уравнение прямой AD, которая перпендикулярна BC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых $$ k_1*k_2=-1 $$
Найдем угловой коэффициент ВС:
$$ \frac{x+11}{7+11}= \frac{y-43}{19-43}\\ \frac{x+11}{18}= \frac{y-43}{-24}\\ -24(x+11)=18(y-43)\\ -24x-264=18y-774\\ 18y=774-24x-264\\ 18y=510-24x\\ y=\frac{-24x+510}{18}=\frac{-6(4x-85)}{6*3}=-\frac{4x-85}{3}=-\frac43x+\frac{85}3\\ k_{BC}=-\frac43\\ $$
Получаем угловой коэффициент прямой:
$$ k_{BC}*k_{AD}=-1\\ -\frac43*k_{AD}=-1\\ k_{AD}=-1:(-\frac43)=-1*(-\frac34)=\frac34 $$
Найдем уравнение прямой AD, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении, где заданная точка А(-17; 26), а заданное направление это угловой коэффициент
$$ k_{AD}=\frac34 \\ y-26=\frac34(x+17)\\ y=\frac34x+\frac{51}4-26\\ y=\frac34x-\frac{53}4 $$
это и будет уравнение высоты AD.
4)
$$ AC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cosB\\ AB= \sqrt{(7+17)^2+(19-26)^2}= \sqrt{576+49}=\sqrt{625}= 25\\ BC=\sqrt{(-11-7)^2+(43-19)^2}= \sqrt{324+576}=30\\ AC= \sqrt{(-11+17)^2+(43-26)^2}= \sqrt{36+289}= \sqrt{325}=5\sqrt{13}\\ \\ (5\sqrt{13} )^2=25^2+30^2-2*25*30*cosB\\ 325=625+900-1500cosB\\ 1500cosB=1200\\ cosB=\frac{1200}{1500}=\frac{12}{15}=0.8\\ B=arccos0.8=37а\\ $$