координаты »

даны координаты вершин - страница 3

  • Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС заданы уравнениями, определить координаты вершин треугольника
    (АВ) 3х-2у-5=0
    (ВС) -4х-3у+1=0
    (АС) х-4=0


    Решение: А) Длина стороны АВ:
    б) Уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты: АВ : Х-Ха = У-Уа 
      Хв-Ха  Ув-Уа   
    Получаем уравнение в общем виде:
    АВ: 4х - 8 = 3у - 6 или
    АВ: 4х - 3у - 2 = 0
    Это же уравнение в виде у = кх + в:
    у = (4/3) х - (2/3).
    Угловой коэффициент к = 4/3. ВС : Х-Хв  =  У-Ув 
      Хс-Хв  Ус-Ув
    ВС: 2х + у - 16 = 0.
    ВС: у = -2х + 16.
    Угловой коэффициент к = -2.
    в) Внутренний угол В: Можно определить по теореме косинусов.
    Находим длину стороны ВС аналогично стороне АВ:
    BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = 2.236067977 
    cos В= (АВ²+ВС²-АС²) /  (2*АВ*ВС) = 0.447214  
    Угол B = 1.107149 радиан  = 63.43495 градусов.
    Можно определить векторным способом:
    Пусть координаты точек
    A: (Xa, Ya) = (2; 2). B: (Xb, Yb) = (5; 6).
    С: (Xc, Yc) = (6; 4).
    Находим координаты векторов AB и BС:
    AB= (Xb-Xa; Yb-Ya) = ((5 - 2); (6 - 2)) = (3; 4);
    BС= (Xc-Xв; Yс-Yв) = ((6 - 5); (4 - 6)) = (1; -2).
    Находим длины векторов:
    |AB|=√((Xb-Xa)² + (Yb-Ya)^2) = 5 ( по пункту а)
    |ВС|=√((Xс-Xв)²+(Yс - Yв) = √(1²+(-2)²) = √5 =  2.236067977.
    b=cos α=(AB*ВС)/(|AB|*|ВС|
    AB*ВC = (Xв - Xa)*(Xc - Xв) + (Yв - Ya)*(Yc - Yв) =
    = 3*1 + 4*(-2) = 3 - 8 = -5.
    b = cosα = |-5| / (5*2.236067977) = 5 /  11.18034  =  0.447213620 
    Угол α=arccos(b) = arc cos   0.4472136 =   1.1071487 радиан = 63.434949°. г) Уравнение медианы АЕ. Находим координаты точки Е (это основание медианы АЕ), которые равны полусумме координат точек стороны ВС.
    3x - 6 = 3,5y - 7
    3x - 3,5y + 1 =0, переведя в целые коэффициенты:
    6х - 7у + 2 = 0,
    С коэффициентом:
    у = (6/7) х + (2/7) или
    у = 0.85714 х + 0.28571.

  • Определить координаты центра тяжести треугольника abc c вершинами а( 5.2.2) b (3.4 2) c (3 7 9)


    Решение: Известно, что каждая координата центра тяжести площади треугольника есть средняя арифметическая одноименных координат его вершин. Значит, если вершины треугольника имеют координаты (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3), то координаты его центра тяжести Xc и Yc будут: 
    Xc = (x1+x2+x3)/3;  Yc = (y1+y2+y3)/ 3;
    O(Xc, Yc) = O((-11 + 3 -1 )/3, (3 -1 + 1) / 3));
    Координата центра тяжести O(-3, 1).

  • Даны координаты вершин треугольника A (1,1,1) B(4,3,2) C (-3,4,2) Определить является ли он прямоугольным или тупоугольным? Если можно объясните по подробней


    Решение: Направим из точки А в точку В вектор и обозначим его с, поскольку он лежит напротив точки С. Аналогично вектор, направленный из точки А в точку С обозначим b.
    Найдем координаты этих векторов.
    $$ \vec{c}(x_b-x_a;y_b-y_a;z_b-z_a)=(4-1;3-1;2-1)=(3;2;1). \\ \vec{b}(x_c-x_a;y_c-y_a;z_c-z_a)=(-3-1;4-1;-2-1)=(-4;3;-3). $$
    Получили $$ \vec{b}(-4;3;-3); \ \vec{c}(3;2;1). $$
    Определим косинус угла между этими векторами:
    $$ cosA= \frac{\vec{b}\vec{c}}{|\vec{b}|*|\vec{c}|}; \\ \vec{b}\vec{c}=x_bx_c+y_by_c+z_bz_c=-4*3+3*2-3*1=-9 $$
    В знаменателе произведение модулей, которое всегда имеет положительное значение, следовательно значение дроби будет отрицательным. Косинус на отрезке [0;π] имеет отрицательное значение в области (π/2;π), следовательно угол А - тупой.
    Поэтому треугольник АВС - тупоугольный.

  • Даны координаты вершины треугольника АВС А (-6; 1) В (2;4) С (2;-2) АН - высота Доказать, что треугольник АВС - равнобедренный, найти высоту АН


    Решение: ОПРЕДЕЛИМ СТОРОНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА АВ=V((2-(-6))^2+(4-1)^2=V73

    ВС=V36=6

    АС=V64+9=V73

    ТАК 2 СТОРОНЫ РАВНЫ ТО ТРЕУГОЛЬНИК РАВНОБЕДРЕННЫЙ

    ВЫСОТА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ЯВЛЯЕТСЯ ЕЩЕ МЕДИАНОЙ ДЕЛИТ СТОРОНУ ВС ПОПОЛАМ ТО ЕСТЬ ВН=СН=3

     РАССМОТРИМ ТРЕУГОЛЬНИК АНС ПО ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА АН^2=АС^2-СН^2

    АН^2(V73) ^2-3^2=73-9=64

    АН=8(ЕД) 

<< < 123