координаты »

даны координаты вершин - страница 4

  • Даны координаты вершины пирамиды А1А2А3А4: A1 (3; 3; 4), A2 (6; 9;
    1), A3 (1; 7; 3), A4 (8; 5; 8).
    Найти:1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 И А1А4; 3) угол
    между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем
    пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3;
    8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать
    чертеж


    Решение: 1) Длина ребра А1А2:
    $$ d= \sqrt{(6-3)^2+(9-3)^2+(1-4)^2} = \sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} = $$ 7.3484692.
    2) Угол между ребрами А1А2 и А1А4.
    Вектор А1А2: (6-3=3; 9-3=6; 1-4=-3) = (3; 6; -3).
    Вектор А1А4: (8-3=5; 5-3=2; 8-4=4) = (5; 2; 4).
    a · b = ax · bx + ay · by + az · bza · b = 3 · 5 + 6 · 2 + (-3) · 4 = 15 + 12 - 12 = 15
    |a| = √(ax² + ay² + az²) = √(3² + 6² + (-3)²) =
    = √9 + 36 + 9 = √54 = 3√6
    b| = √(bx² + by² + bz²) = √(5² + 2² + 4²) =
    = √(25 + 4 + 16) = √45 = 3√5
    cos α = a · b|a||b|cos α = 15/3√6 · 3√5 = √30/18 ≈
     0.3042903
    α = arccos 0.3042903 =  1.261603 радиан = 72.28453°.
    3) Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.
    Уравнение плоскости грани А1А2А3.
     Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
    (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
    Получаем  уравнение плоскости грани ABC:
    x -x1 -6 -12 y y1 -3 6 z z1 12 -12 6 -18 9 -27 24 -96
     6x + 9y + 24z - 141 = 0
    После сокращения на 3:
    2x + 3y + 8z  - 47 = 0.
    Итак, пусть задан вектор V = (а, b, с) и плоскость А•x + В•y + C•z = 0, где А, В и C – координаты нормали N. Тогда косинус угла α между векторами V и N равен:
    сos α = (а•А + b•В + с•C)/(√(а² + b² + с²)•√(А² + В² + C²)).
    Чтобы вычислить величину угла в градусах или радианах, нужно от получившегося выражения рассчитать функцию, обратную к косинусу, т. е. арккосинус:α = аrссos ((а•А + b•В + с•C)/(√(а² + b² + с²)•√(А² + В² + C²))).
    sin радиан градусов x y z
    0.815436 0.953481 54.6304465
    AS 5 2 4 0.658524 0.718855 41.1873695
    BS 2 -4 7 0.619368 0.667937 38.2699774
    CS 7 -2 5
    ABC 6 9 24
    Угол α =  0.953481 радиан = 54.6304465°.

  • Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4:
    Найти: 1) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 2) площадь грани А1А2А4;
    3) объем пирамиды; 4) уравнение грани А1А3А4; 5) уравнение ребра А2А3.


    Решение: Длину ребер пирамиды (любой фигуры) будем рассматривать как расстояние между точками. Расстояние между точками ищется по формуле
    d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√
    подставляем координаты точек в формулу и получаем длины ребер
    А1А2=(−2−4)2+(1+1)2+(0−3)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√=7
    А1А3=(0−4)2+(−5+1)2+(1−3)2−−−−−−−−−−−−−−−−√=6
    А1А4=(3−4)2+(2+1)2+(−6−3)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=91−−√
    2) Угол между ребрами А1А2 и А1А4.
    Для того чтобы найти угол между ребрами, найдем уравнения прямых этих ребер, а затем угол между прямыми. Уравнения прямых будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
    x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1
    Подставляем координаты точек и получаем уравнения прямых А1А2=x−4−2−4=y+11+1=z−30−3=>
    А1А2=x−4−6=y+12=z−3−3
    А1А4=x−43−4=y+12+1=z−3−6−3=>
    А1А4=x−4−1=y+13=z−3−9
    Угол между прямыми находится по формуле
    cosϕ=l1l2+m1m2+n1n2l21+m21+n21−−−−−−−−−−√l22+m22+n22−−−−−−−−−−√
    где S1(l1;m1;n1) направляющий вектор первой прямой S2(l2;m2;n2) - второй прямой. Поставляем координаты направляющих векторов
    cosA4A1A2ˆ=(−6)(−1)+2∗3+(−3)(−9)(−6)2+22+(−3)2−−−−−−−−−−−−−−−√(−1)2+32+(−9)2−−−−−−−−−−−−√=6+6+2736+4+9−−−−−−−−√∗1+9+81−−−−−−−−√=397∗91−−√=>A4A1A2ˆ ≈340
    3) Площадь грани А1А2А3.
    В основании лежи треугольник у которого уже известны стороны A1A2=7 и A1A3=6, координаты всех точек, т. е. можно найти длину третьей стороны и воспользоваться формулой Герона для нахождения площади, можно зная длину основания A1A2 и уравнение прямой A1A2 найдем расстояние от точки A3 до этой прямой это будет высота треугольника и найдем площадь по формуле S=12ah.
    Найдем третью сторону и воспользуемся формулой Герона
    S=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√,p=a+b+c2
    А2А3=(0+2)2+(−5−1)2+(1−0)2−−−−−−−−−−−−−−−−√=41−−√
    тогда полупериметр равен p=6+7+41√2=13+41√2
    S=13+41−−√2∗13+41−−√−122∗13+41−−√−142∗13+41−−√−241−−√2−−−−−−−−−−−−√=
    =13+41−−√2∗1+41−−√2∗41−−√−12∗13−41−−√2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=
    воспользуемся формулой сокращенного умножения - формулой разности квадратов a2−b2=(a−b)(a+b)
    =14(132−41)(41−1)−−−−−−−−−−−−−−√=3245√=85√
    4) Уравнение прямой А1А2.
    Уравнение прямой было найдено в п.2
    А1А2=x−4−6=y+12=z−3−3
    5) Уравнение плоскости А1А2А3.
    Известны координаты точек А1(4;−1;3), А2(−2;1;0), А3(0;−5;1)
    Запишем уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки в координатной форме
    ∣∣∣∣x−x1x2−x1x3−x1y−y1y2−y1y3−y1z−z1z2−z1z3−z1∣∣∣∣=0
    Подставляем координаты точек
    ∣∣∣∣x−4−2−40−4y+11+1−5+1z−30−31−3∣∣∣∣=∣∣∣∣x−4−6−4y+12−4z−3−3−2∣∣∣∣=
    =(x−4)∗2∗(−2)+(y+1)(−3)(−4)+(−6)(−4)(z−3)−(−4)2(z−3)−(−4)(−3)(x−4)−(−2)(−6)(y+1)=
    =−4(x−4)+12(y+1)+24(z−3)+8(z−3)−12(x−4)−12(y+1)=−16(x−4)+32(z−3)=
    =−16x+64+32z−96=−16x+32z−32=0
    Уравнение плоскости
    −16x+32z−32=0=>−x+2z−2=0

  • Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:
    1) длину стороны ВА, ВС, АС.
    2)cos∠B
    3) сделать чертёж А(1;2) В(0;0) С(1;9)


    Решение: 1) Расчет длин сторон:
    АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) =√(0-1)²+(0-2)²) = √5 = 2.236067977
    BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √(1-0)²+(9-0)²) = √82 = 9.055385138
    AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √(1-1)²+(9-2)²) = √49 = 7.
    2)  cos В= (АВ²+ВС²-АС²)/(2*АВ*ВС)  = (5+82-7)/(2*√5*√82) = 0.938343
     B = 0.35299 радиан = 20.22486 градусов.
    3) сделать чертёж А(1;2) В(0;0) С(1;9) - так это самому надо по указанным координатам построить.

  • Даны координаты вершин - А (0;1); B(6;4); С(3;5). Найти уравнения сторон AC, AB, BC.


    Решение: 1) AB - от А(х1;y1) до В(x2;y2) - в общем виде линейная функция у=kx+b, где

    k=(y2-y1)/(x2-x1), b=x1-0, следовательно подставив значения из условия

    k=(4-1)/(6-0)=3/6=1/2=0,5, b=1-0=1, получаем уравнение прямой АВ y=0,5x+1

    2) AC - подставляем так же значения точек А и С - k=(y2-y1)/(x2-x1), b=x1-0,

    следовательно k=(5-1)/(3-0)=4/3, b=1-0=1, уравнение АС y=(4/3)x+1

    3) BC - аналогично подставляем значения точек В и С - k=(5-4)/(3-6)=1/(-3)=(-1/3),

    b=6-0=6, следовательно для ВС у=(-1/3)x+6

    Точки можно легко проверить, подставив в уравнения прямых, котрым они будут принадлежать - игреки и иксы сойдутся для каждой точки.

  • В треугольнике авс мн средняя линия, м принадлежит ав, т принадлежит вс, о точка пересечения медиан,
    1. Найдите координаты вершин треугольника, если м(2,1), н(0,1), о(1,2)
    2. Найдите длины медиан ан и см
    3. три вершины ромба находятся в точках а, в, с. определите координаты его третей вершины.
    4. докажите что точка к(2,3) принадлежит к медиане ан и делит ее в отношении 1:2


    Решение: 1.
    AM=MB ⇒ (B)-(M)=(M)-(A) ⇒ (B)=2(M)-(A) ⇒ B(2·4-1;2·0-3) ⇒ B(7;-3)
    BN=NC ⇒ (C)-(N)=(N)-(B) ⇒ (C)=2(N)-(B) ⇒ C(2·3-7;2·(-2)-(-3)) ⇒ C(-1;-1)
    2.
    AN =(N)-(A) = (3-1;-2-3) = (2;-5) ⇒ AN·AN=2²+(-5)²=4+25=29 ⇒ |AN|=√29
    CM=(M)-(C) = (4-(-1);0-(-1)) = (5;1) ⇒ CM·CM=5²+1²=25+1=26 ⇒ |CM|=√26
    3.
    I. ABCD
    AB=DC ⇒ (B)-(A)=(C)-(D) ⇒ (D)=(A)+(C)-(B) ⇒ D=(1+(-1)-7;3+(-1)-(-3))=(-7;5) не подходит
    II. ABDC.
    AB=CD ⇒ (B)-(A)=(D)-(C) ⇒ (D)=(B)+(C)-(A) ⇒ D=(7+(-1)-1;(-3)+(-1)-3)=(5;-7) не подходит
    III. ACBD
    AC=DB ⇒ (C)-(A)=(B)-(D) ⇒ (D)=(A)+(B)-(C) ⇒ D=(1+7-(-1);3+(-3)-(-1))=(9;1) подходит

<< < 234 5 > >>