координаты »
даны координаты вершин
Найдите площадь четырёхугольника ABCD, вершины которого заданы своими координатами: А(-6; 2), В(—5,5), С(—2; 6), D(—3;3).
Решение: Найлем для начало стороны AB=√(8-4)^2+(2-6)^2 =√ 16 +16=2√8CD=√(-2-4)^2+(-1+3)^2 =√36+4 =√40 BC=√(4-8)^2+(-3-2)^2=√16+25=√41AD=√(-2-4)^2+(-1-6)^2=√36+49=√85 на рисунке можно видеть что это трапеция выходит, можно раздлить эту трапецию на два треугольника затем найти площадь каждой и суммировать Площадь треугольника S=ab/2*sinaнайдем угол между АВ и AD через скалярAB {4;-4}AD{-6;-7}cosa=4*-6+ 4*7 / √32*85 = 4/√2720теперь sina=√1-16/2720=52/√2720теперь площадь S= 52/√2720 * √2720/2 = 26 теперь площадь другого треугольника опять угол B (8; 2), C (4; -3), D (-2; -1) ВС={-4;-5} CD={-6;2} cosa= 24-10/√1640 = 10/√1640 sina = √1-100/1640 = √1540/1640 S=√41*40/2 * √1540/1640 =√1540/2 = √385 S=√385+26 площадь искомаяНайдите площадь четырехугольника ABCD, вершины которого заданы своими координатами: A (-6; 2), B(-5;5), С(-2;6),D(-3;3).
Решение: Для начала выясним, что представляет из себя этот четырёхугольник.
Формула длины отрезка: d=$$ \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2} $$, где d - длина отрезка, x1 и у1 - координаты одного конца отрезка, х2 и у2 - координаты второго конца отрезка.
По этой формуле найдём длины AB, BC, CD и AD.
AB=$$ \sqrt{(-5+6)^2+(5-2)^2} =\sqrt{10} \\ BC=\sqrt{(-2+5)^2+(6-5)^2} =\sqrt{10} \\ СD=\sqrt{(-3+2)^2+(3-6)^2} =\sqrt{10} \\ AD= \sqrt{(-3+6)^2+(3-2)^2} =\sqrt{10} $$ Значит AB=BC=CD=AD. А следовательно ABCD - ромб.
По формуле площади ромба \(S=\frac{ d_{1} * d_{2} }{2}\), (где d1 и d2 - диагонали) найдём площадь. Но для этого нужно узнать длину диагоналей. Воспользуемся всё той же формулой длины отрезка.
$$ d1=AC=\sqrt{(-2+6)^2+(6-2)^2}=\sqrt{32} \\ d2=BD=\sqrt{(-3+5)^2+(3-5)^2} =\sqrt{8} $$ Значит $$ S=\frac{ \sqrt{32} \sqrt{8} }{2} =64 $$ Ответ: 64Даны координаты вершин пирамиды ABCD. найти: 1) длину ребра AB2) угол между ребрами AB и AD 3) проекцию вектора AC на вектор AD 4) уравнение прямой АВ 5) уравнение плоскости АВС. сделать чертеж. А(3,1,1); В(1,4,1); С(1,1,7) ; D(3,4,1)
Решение: 1) длина ребра AB = √((1-3)²+(4-1)²+(1-1)²) = √(4+9+0) = √13 ≈ 3,605551.
2) угол между ребрами AB и AD.
x y z
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} -2 3 0
Вектор AD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} 0 3 -2
cos радиан градусов
< SAB 0.692308 0.80611415 46.18694
4) уравнение прямой АВ
AB: (x -3)/-2 = (y -1)/3 = (z -1)/ 0.
5) уравнение плоскости АВС.
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
Тогда уравнение плоскости имеет вид:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0. Получаем: 18 x + 12 y + 6 z -72 = 0Даны координаты вершин пирамиды ABCD:
A(-1;1;-5) В(3;5;-7) С(1;12;-15) D(-1;3;-4) Необходимо:
1. Записать векторы АВ, АС, АD в ортонормальной системе {i,j,k} и найти модули этих векторов.
2. Найти угол между векторами АВ и АС
3. Найти проекцию вектора AD на вектор АВ
4. Вычислить площадь грани АВС
5. Найти обьем пирамиды АВСD
Решение: 1.AB=(3-(-1));(5-1);(-7-(-5))=(4;4;-2)=4i+4j-2k AC=(1-(-1));(12-1);(-15-(-5))=(2;11;-10)=2i+11j-10k AD=(-1-(-1));(3-1);(-4-(-5))=(0;2;1)= 2j+k Модули векторов. |AB|=sqrt (все под корнем)4^2+4^2+2^2=sqrt36=6 |AC|=sqrt 2^2+11^2+10^2=sqrt225=15 |AD|=0^2+2^2+1^2=sqrt 5=2,236 2. угол между АВ и АС : cosy=4*2+4*11+(-2)*(-10)/6*15=0,8 y=arccos (0,8)=36,871° 3. проекция вектора: Ррав АС=2*4+11*4+(-10)*(-2)/sqrt 36=12 4. площадь грани cosy =sqrt 1-0,8^2=0,6 площадь грани АВС :Sавс=1/2|АВ|*|АС|siny=1/2 sqrt 36*sqrt 225 * 0,6 =27 5. Объем пирамиды | 4 4 -2 | V=1/6 | 2 11 -10 |=108/6 | 0 2 1 | находим определитель матрицы (маленький треугольник )=4*(11*1-2*(-10))-2*(4*1-2*(-2))+0*(4*(-10)-11*(-2))=108Даны координаты вершин пирамиды
А1 А2 А3 А4.
Средствами векторной алгебры найти: 1) угол Между рёбрами А1А2и А1А4;
2) площадь грани А1 А2 А3; 3) проекцию вектора А1А3на вектор А1А4; 4) объём пирамиды
А1(2, 4, 3),
А2(7, 6, 3),
А3(4, 9, 3),
А4(3, 6, 7).
Решение: 1) Определяем векторы А1А2 и А1А4:
А1А2 =(7-2=5; 6-4=2; 3-3=0) = (5; 2; 0),
А1А4 = (3-2=1; 6-4=2; 7-3=4) =(1; 2; 4).
Угол между рёбрами А1А2 и А1А4:
$$ \alpha =arc cos \frac{|5*1+2*2+0*4|}{ \sqrt{5^2+2^2+0^2} * \sqrt{1^2+2^2+4^2} } = arccos\frac{9}{ \sqrt{29}* \sqrt{21} } =arccos0,364698 $$ =1,197487 радиан = 68,61098 градуса.
2) площадь грани А1 А2 А3:
Площадь треугольника образованного векторами a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов.
Вектор А1А2 найден.
Находим вектор А1А3: = (4-2=2; 9-4=5; 3-3=0) = (2; 5; 0).
S = (1/2)*|a × b|.
c =a × b = (2·0 - 0·5) - (5·0 - 0·2) + (5·5 - 2·2) = = (0 - 0) - (0 - 0) +
+ (25 - 4) = {0; 0; 21}
|a x b| = √(cx² + cy² + cz²) = √(0² + 0² + 21²) = √(0 + 0 + 441) = √441 = 21.
Найдем площадь треугольника:S = (1/2)*21 = 10.5.
3) Проекция вектора А1А3 на вектор А1А4.
Пр ba = (a · b)/|b|
Найдем скалярное произведение векторов :a · b = ax · bx + ay · by + az · bz =
5 · 1 + 2 · 2 + 0 · 4 = 5 + 4 + 0 = 9
Найдем модуль вектора :|b| = √(bx² + by² + bz²) = √(1² + 2² + 4²) =
√(1 + 4 + 16) = √21
Пр ba = 9/√21 = 3√21/7 ≈ 1.963961.
4) Объём пирамиды.
Объем пирамиды равен: (AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AS{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3
Находим третий вектор :
AS = {Sx - Ax; Sy - Ay; Dz - Az} = {3 - 2; 6 - 4; 7 - 3} = {1; 2; 4}.
V = (1/6)|AB · [AC × AD]|.
Находим смешанное произведение векторов:
AB · (AC × AS) = 5·5·4 + 2·0·1 + 0·2·2 - 0·5·1 - 2·2·4 - 5·0·2 = 100 + 0 + 0 - 0 - 16 - 0 = 84
Найдем объем пирамиды: V = (1/6)·84 = 14.
1. Даны два вектора с координатами а=(6;-2;2); в=(-2;-4;2) Найти 1)1/2а-в ; 2) I 2в+а I
2. Даны координаты вершин треугольника: А (1;-1;3); B(3;-1;1); C(-1;1;3). Найти угол между сторонами АВ и АС и медиану, проведенную из вершины А на сторону ВС. Пиримитр треугольника
3. Разложить по векторам а и в
Решение: 1)1/2а=(3;-1;1)
-б=(2;4;-2)
1/2а-б=1/2а+(-б)=(5;3;-1)
2)2б=(-4;-8;4)
2б+а=(2;-10;6)
|2б+а|=4+100+36(и все это под корнем)=
140(под корнем)=4•35(под корнем)=2корень из 35
3)cosL=a•b/|a|•|b|
|a|=36+4+4(под корнем)=корень из 44
|b|=4+16+4(под корнем)=корень из 24
А•б=6•(-2)+(-2)•(-4)+2•2=-12+8+5=0
СоsL1=0/корень 44•корень 24=0
L1=90 градусов
L2
A-b=(6-(-2));-2-(-4);2-2)=(8;2;0)
A+b=(6+(-2);(-2)+(-4);;2+2)=(4;-6;4)
CosL2=(a-b)•(a+b)/|a-b|•|a+b|
(A-b)•(a+n)=8•4+2•(-6)+0•4=32-12=20
|a-b|=64+16(под корнем)=корень из 80
|а+б|=16+36+16(под корнем)=32+36(под корнем)=корень из 68
СоsL2=20/80(корень )•69(корень)=5(корень)•5(корень)/5(корень)•2•17(корень)=5(корень):2корень из 17
L2=arccos 5(корень)/2 корень 17Даны координаты вершин треугольника АВС.
Требуется:
а) построить треугольник АВС в прямоугольной системе координат;
б) найти длину стороны АВ;
в) составить уравнение стороны АВ;
г) составить уравнение высоты и медианы, проведённых из вершины С;
д) вычислить длину этой высоты;
е) вычислить величину угла А;
ж) найти направляющий вектор медианы, проведенной из вершины С;
з) найти нормальный вектор стороны АС.
Координаты: А (0;1), В (-6; -2), С (-3; -5)
Решение: А) построить треугольник АВС в прямоугольной системе координат:
для этого построить заданные точки А (0;1), В (-6; -2), С (-3; -5), соединить их и получится треугольник.
б) найти длину стороны АВ = √((-6-0)²+(-2-1)²) = √(36+9) = √45 = 6.708203932;
в) составить уравнение стороны АВ:
АВ : (Х-Ха) / (Хв-Ха) = (У-Уа) / (Ув-Уа ).
АВ : -3 Х + 6 У - 6 = 0 или разделив на -3:
АВ: Х - 2 У + 2 = 0.
То же в виде уравнения с коэффициентом:
АВ: у = 0.5 х + 1.
г) составить уравнение высоты и медианы, проведённых из вершины С:
Уравнение высоты из вершины С:
СС₂: (Х-Хс) / (Ув-Уа) = (У-Ус) / (Ха-Хв)
СС₂: 6 Х + 3 У + 33 = 0, разделим на 3:
СС₂: 2 Х + У + 11 = 0.
СС₂: у = -2 х - 11.
Уравнение медианы из вершины С:
СС₁ : 4.5 Х + 0 У + 13.5 = 0
Разделим на 4,5 и уберём У(он равен 0):
СС₁ : Х + 3 = 0
д) вычислить длину этой высоты:
CC₂ = 2S / ВА = 4.024922.
е) вычислить величину угла А:
cos A= (АВ²+АС²-ВС²) / ( 2*АВ*АС) = 0.8
A = 0.643501 радиан = 36.8699 градусов
ж) найти направляющий вектор медианы, проведенной из вершины С:
Основание медианы (точки пересечения медианы со стороной):
C₁(Хс1; Ус1): (Ха+Хв) / 2; (Уа+Ув) / 2.
С₁ (-3; -0.5)
С (-3; -5)
направляющий вектор медианы: СС₁(-3-(-3) = 0,5 - (-0,5)= 4,5)
СС₁(0: -4,5).
з) найти нормальный вектор стороны АС:
это высота на сторону АС из точки В:
В₂: -2.4 -3.8
В (-6; -2)
нормальный вектор ВВ₂ (-2,4-(-6) =3,6; -3,8-(-2) = -1,8)
ВВ₂(3,6; -1,8).
1. Решить систему методами Крамера и последовательных исключений
Даны координаты вершин пирамиды
A A A A
2. Средствами векторной алгебры найти:
1) длину ребра A1 A2
2) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4
3) уравнение плоскости A1 A2 A3
4) уравнение перпендикуляра, опущенного из вершиныA4 на грань A1 A2 A3
5) площадь грани A1 A2 A3
6) объем пирамиды.
3. Уравнения сторон
4. Тип кривой
Решение: 2) Даны координаты вершин пирамиды
A1(3;4;5), A2(4;7;2), A3(6;1;0), A4(5;1;3).
1) длина ребра A1 A2.
L = √(4-3)²+(7-4)²+(2-5)²) = √(1+9+9) = √19 ≈ 4.358899.
2) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4Найдем векторы по координатам точек:
А1А2=AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {4 - 3; 7 - 4; 2 - 5} = {1; 3; -3}
А1А4=AД = {Дx - Ax; Дy - Ay; Дz - Az} = {5 - 3; 1 - 4; 3 - 5} = {2; -3; -2}.Угол между ребрами ищется как угол между соответствующими векторами - с использованием скалярного произведения.
Скалярное произведение векторов a*b = a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z.
Обозначим вектор А1А2 за а, вектор А1А4 за в.
ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 1*2+3*(-3)+(-3)*(-2) = 2-9+6 = -1.
Модули векторов равны:
Вектор А1А2 = √(1²+3²+(-3)²) = √(1+9+9) = √19.
Вектор А1А4 = √(2²+(-3)²+(-2)²) = √(4+9+4) = √17.
$$ cos \alpha = \frac{ab}{ \sqrt{a} * \sqrt{b} } \\ cos \alpha = \frac{-1}{ \sqrt{19} * \sqrt{17} } = $$ -0,05564.
Cк а*в = -1, модуль а* b = 17.9722, cos (a_b) = -0.05564Угол А1А2_А1А4 равен: 1.626467 радиан или 93,18967°.
3) уравнение плоскости A1 A2 A3.
Уравнение плоскости:
A · x + B · y + C · z + D = 0.
Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему:
A · x1 + B · y1 + C · z1 + D = 0,
A · x2 + B · y2 + C · z2 + D = 0,
A · x3 + B · y3 + C · z3 + D = 0.Здесь x1, y1, z1 координаты точки А1,
x2, y2, z2 координаты точки А2,x3,y3,z3 координаты точки А3.
Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом:
A · (3) + B · (4) + C · (5) + D = 0,
A · (4) + B · (7) + C · (2) + D = 0,
A · (6) + B · (1) + C · (0) + D = 0.
Решение довольно громоздкое, в результате получим уравнение плоскости: - 6 x - y - 3 z + 37 = 0.Этот же результат можно получить координатным методом.
Уравнение плоскостей граней:
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0. Результат: -24 x - 4 y - 12 z + 148 = 0.
После сокращения на -4 получим уравнение плоскости А1 А2 А3:
6 x + 4y + 2z - 37 = 0.
4) уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины A4
на грань A1 A2 A3.
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор, равный нормальному вектору плоскости, то есть (A;B;C)
Точка А4(5;1;3), А = 6, В = 4, С = 2.
Получаем $$ \frac{x-5}{6}= \frac{y-1}{1}= \frac{x-3}{3}. $$
5) Объём пирамиды.
Для нахождения объема пирамиды надо найти объем параллелепипеда, построенного на гранях АВ, АС и АD и поделить его на 6
Объем этого параллелепипеда равен модулю векторного произведения векторов AB, AC и AD
А1А2=AB = {1; 3; -3},
А1А3=АC = {3,3,5},
А1А4=AД = {2; -3; -2}.
(AB{x1, y1, z1} ; AC(x2, y2, z2} ; AD{x3, y3, z3})= x3*a1+y3*a2+z3*a3.
a1, a2, a3 вычисляются по формулам:
a1=y1*z2-y2*z1; a2=x1*z2-x2*z1; a3=x1*y2-y1*x2;
Получаем: [AB ; AC]={-24,4,12}.
Векторное произведение равно:
2*(-24)+(-3)*(-4)+(-2)*(-12) =|-48+12+24| = 12.
Объём пирамиды равен V = 12/6 = 2.
Проверку можно произвести геометрическим способом:
V = (1/3)So*H = (1/3)*13,5647*0,442326 = 2.
Здесь Н = 12 / 27,12932 = 0,442326.
Декартова система координат
Пусть в пространстве заданы две различные произвольные точки О и М, и пусть одна из них, например точка О, выбрана в качестве начальной. Тогда вектор \(\vec{OM}\) называется радиус-вектором точки М относительно точки О (рис.).
Пусть в пространстве задана точка О и некоторый базис e1, e2 , e3. Совокупность этого базиса и точки О называется декартовой системой координат О,...
Выбором прямоугольной декартовой системы координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел. Это означает, что каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел и каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует единственная точка.
Выбор той или иной системы координат ничем не ограничен и определяется в каждом конкретном случае только соображениями удобства. Часто одно и то же множество приходится...