даны координаты вершин

Найдите площадь четырёхугольника ABCD, вершины которого заданы своими координатами: А(-6; 2), В(—5,5), С(—2; 6), D(—3;3).

Решение: Найлем для начало стороны AB=√(8-4)^2+(2-6)^2 =√ 16 +16=2√8CD=√(-2-4)^2+(-1+3)^2 =√36+4 =√40 BC=√(4-8)^2+(-3-2)^2=√16+25=√41AD=√(-2-4)^2+(-1-6)^2=√36+49=√85 на рисунке можно видеть что это трапеция выходит, можно раздлить эту трапецию на два треугольника затем найти площадь каждой и суммировать Площадь треугольника S=ab/2*sinaнайдем угол между АВ и AD через скалярAB {4;-4}AD{-6;-7}cosa=4*-6+ 4*7 / √32*85 = 4/√2720теперь sina=√1-16/2720=52/√2720теперь площадь S= 52/√2720 * √2720/2 = 26 теперь площадь другого треугольника опять угол B (8; 2), C (4; -3), D (-2; -1) ВС={-4;-5} CD={-6;2} cosa= 24-10/√1640 = 10/√1640 sina = √1-100/1640 = √1540/1640 S=√41*40/2 * √1540/1640 =√1540/2 = √385 S=√385+26 площадь искомая
Найдите площадь четырехугольника ABCD, вершины которого заданы своими координатами: A (-6; 2), B(-5;5), С(-2;6),D(-3;3).

Решение: Для начала выясним, что представляет из себя этот четырёхугольник.
Формула длины отрезка: d=$$ \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2} $$, где d - длина отрезка, x1 и у1 - координаты одного конца отрезка, х2 и у2 - координаты второго конца отрезка.
По этой формуле найдём длины AB, BC, CD и AD.
AB=$$ \sqrt{(-5+6)^2+(5-2)^2} =\sqrt{10} \\ BC=\sqrt{(-2+5)^2+(6-5)^2} =\sqrt{10} \\ СD=\sqrt{(-3+2)^2+(3-6)^2} =\sqrt{10} \\ AD= \sqrt{(-3+6)^2+(3-2)^2} =\sqrt{10} $$ Значит AB=BC=CD=AD. А следовательно ABCD - ромб.
По формуле площади ромба $S=\frac{ d_{1} * d_{2} }{2}$, (где d1 и d2 - диагонали) найдём площадь. Но для этого нужно узнать длину диагоналей. Воспользуемся всё той же формулой длины отрезка.
$$ d1=AC=\sqrt{(-2+6)^2+(6-2)^2}=\sqrt{32} \\ d2=BD=\sqrt{(-3+5)^2+(3-5)^2} =\sqrt{8} $$ Значит $$ S=\frac{ \sqrt{32} \sqrt{8} }{2} =64 $$ Ответ: 64
Даны координаты вершин пирамиды ABCD. найти: 1) длину ребра AB2) угол между ребрами AB и AD 3) проекцию вектора AC на вектор AD 4) уравнение прямой АВ 5) уравнение плоскости АВС. сделать чертеж. А(3,1,1); В(1,4,1); С(1,1,7) ; D(3,4,1)

Решение: 1) длина ребра AB = √((1-3)²+(4-1)²+(1-1)²) = √(4+9+0) = √13 ≈ 3,605551.
2) угол между ребрами AB и AD.
x y z
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA}    -2 3 0
Вектор AD={xD-xA, yD-yA, zD-zA}   0 3 -2
cos радиан градусов
< SAB 0.692308 0.80611415 46.18694
4) уравнение прямой АВ
AB: (x -3)/-2 =  (y -1)/3 =  (z -1)/ 0.
5) уравнение плоскости АВС.
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
Тогда уравнение плоскости имеет вид:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0. Получаем: 18 x + 12 y + 6 z -72 = 0
Даны координаты вершин пирамиды ABCD:
A(-1;1;-5) В(3;5;-7) С(1;12;-15) D(-1;3;-4) Необходимо:
1. Записать векторы АВ, АС, АD в ортонормальной системе {i,j,k} и найти модули этих векторов.
2. Найти угол между векторами АВ и АС
3. Найти проекцию вектора AD на вектор АВ
4. Вычислить площадь грани АВС
5. Найти обьем пирамиды АВСD

Решение: 1.AB=(3-(-1));(5-1);(-7-(-5))=(4;4;-2)=4i+4j-2k AC=(1-(-1));(12-1);(-15-(-5))=(2;11;-10)=2i+11j-10k AD=(-1-(-1));(3-1);(-4-(-5))=(0;2;1)= 2j+k Модули векторов. |AB|=sqrt (все под корнем)4^2+4^2+2^2=sqrt36=6 |AC|=sqrt 2^2+11^2+10^2=sqrt225=15 |AD|=0^2+2^2+1^2=sqrt 5=2,236 2. угол между АВ и АС : cosy=4*2+4*11+(-2)*(-10)/6*15=0,8 y=arccos (0,8)=36,871° 3. проекция вектора: Ррав АС=2*4+11*4+(-10)*(-2)/sqrt 36=12 4. площадь грани cosy =sqrt 1-0,8^2=0,6 площадь грани АВС :Sавс=1/2|АВ|*|АС|siny=1/2 sqrt 36*sqrt 225 * 0,6 =27 5. Объем пирамиды | 4 4 -2 | V=1/6 | 2 11 -10 |=108/6 | 0 2 1 | находим определитель матрицы (маленький треугольник )=4*(11*1-2*(-10))-2*(4*1-2*(-2))+0*(4*(-10)-11*(-2))=108
Даны координаты вершин пирамиды
А1 А2 А3 А4.
Средствами векторной алгебры найти: 1) угол Между рёбрами А1А2и А1А4;
2) площадь грани А1 А2 А3; 3) проекцию вектора А1А3на вектор А1А4; 4) объём пирамиды
А1(2, 4, 3),
А2(7, 6, 3),
А3(4, 9, 3),
А4(3, 6, 7).

Решение: 1) Определяем векторы А1А2 и А1А4:
А1А2 =(7-2=5; 6-4=2; 3-3=0) = (5; 2; 0),
А1А4 = (3-2=1; 6-4=2; 7-3=4) =(1; 2; 4).
Угол между рёбрами А1А2 и А1А4:
$$ \alpha =arc cos \frac{|5*1+2*2+0*4|}{ \sqrt{5^2+2^2+0^2} * \sqrt{1^2+2^2+4^2} } = arccos\frac{9}{ \sqrt{29}* \sqrt{21} } =arccos0,364698 $$ =1,197487 радиан = 68,61098 градуса.
2) площадь грани А1 А2 А3:
Площадь треугольника образованного векторами a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов.
Вектор А1А2 найден.
Находим вектор А1А3: = (4-2=2; 9-4=5; 3-3=0) = (2; 5; 0).
S = (1/2)*|a × b|.
c =a × b = (2·0 - 0·5) - (5·0 - 0·2) + (5·5 - 2·2) = = (0 - 0) - (0 - 0) +
+ (25 - 4) = {0; 0; 21}
|a x b| = √(cx² + cy² + cz²) = √(0² + 0² + 21²) = √(0 + 0 + 441) = √441 = 21.
Найдем площадь треугольника:S = (1/2)*21 = 10.5.
3) Проекция вектора А1А3 на вектор А1А4.
Пр ba = (a · b)/|b|
Найдем скалярное произведение векторов :a · b = ax · bx + ay · by + az · bz =
5 · 1 + 2 · 2 + 0 · 4 = 5 + 4 + 0 = 9
Найдем модуль вектора :|b| = √(bx² + by² + bz²) = √(1² + 2² + 4²) =
√(1 + 4 + 16) = √21
Пр ba = 9/√21 = 3√21/7 ≈ 1.963961.
4) Объём пирамиды.
Объем пирамиды равен: (AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AS{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3
Находим третий вектор :
AS = {Sx - Ax; Sy - Ay; Dz - Az} = {3 - 2; 6 - 4; 7 - 3} = {1; 2; 4}.
V = (1/6)|AB · [AC × AD]|.
Находим смешанное произведение векторов:
AB · (AC × AS) = 5·5·4 + 2·0·1 + 0·2·2 - 0·5·1 - 2·2·4 - 5·0·2 = 100 + 0 + 0 - 0 - 16 - 0 = 84
Найдем объем пирамиды: V = (1/6)·84 = 14.
1. Даны два вектора с координатами а=(6;-2;2); в=(-2;-4;2) Найти 1)1/2а-в ; 2) I 2в+а I
2. Даны координаты вершин треугольника: А (1;-1;3); B(3;-1;1); C(-1;1;3). Найти угол между сторонами АВ и АС и медиану, проведенную из вершины А на сторону ВС. Пиримитр треугольника
3. Разложить по векторам а и в

Решение: 1)1/2а=(3;-1;1)
-б=(2;4;-2)
1/2а-б=1/2а+(-б)=(5;3;-1)
2)2б=(-4;-8;4)
2б+а=(2;-10;6)
|2б+а|=4+100+36(и все это под корнем)=
140(под корнем)=4•35(под корнем)=2корень из 35
3)cosL=a•b/|a|•|b|
|a|=36+4+4(под корнем)=корень из 44
|b|=4+16+4(под корнем)=корень из 24
А•б=6•(-2)+(-2)•(-4)+2•2=-12+8+5=0
СоsL1=0/корень 44•корень 24=0
L1=90 градусов
L2
A-b=(6-(-2));-2-(-4);2-2)=(8;2;0)
A+b=(6+(-2);(-2)+(-4);;2+2)=(4;-6;4)
CosL2=(a-b)•(a+b)/|a-b|•|a+b|
(A-b)•(a+n)=8•4+2•(-6)+0•4=32-12=20
|a-b|=64+16(под корнем)=корень из 80
|а+б|=16+36+16(под корнем)=32+36(под корнем)=корень из 68
СоsL2=20/80(корень )•69(корень)=5(корень)•5(корень)/5(корень)•2•17(корень)=5(корень):2корень из 17
L2=arccos 5(корень)/2 корень 17
Даны координаты вершин треугольника АВС.
Требуется:
а) построить треугольник АВС в прямоугольной системе координат;
б) найти длину стороны АВ;
в) составить уравнение стороны АВ;
г) составить уравнение высоты и медианы, проведённых из вершины С;
д) вычислить длину этой высоты;
е) вычислить величину угла А;
ж) найти направляющий вектор медианы, проведенной из вершины С;
з) найти нормальный вектор стороны АС.
Координаты: А (0;1), В (-6; -2), С (-3; -5)

Решение: А) построить треугольник АВС в прямоугольной системе координат:
для этого построить заданные точки А (0;1), В (-6; -2), С (-3; -5), соединить их и получится треугольник.
б) найти длину стороны АВ = √((-6-0)²+(-2-1)²) = √(36+9) = √45 = 6.708203932;
в) составить уравнение стороны АВ:
АВ : (Х-Ха) / (Хв-Ха) = (У-Уа) / (Ув-Уа ).
АВ : -3 Х + 6 У - 6 = 0 или разделив на -3:
АВ: Х - 2 У + 2 = 0.
То же в виде уравнения с коэффициентом:
АВ: у = 0.5 х + 1.
г) составить уравнение высоты и медианы, проведённых из вершины С:
Уравнение высоты из вершины С:
СС₂: (Х-Хс) / (Ув-Уа) = (У-Ус) / (Ха-Хв)
СС₂: 6 Х + 3 У + 33 = 0, разделим на 3:
СС₂: 2 Х + У + 11 = 0.
СС₂: у = -2 х - 11.
Уравнение медианы из вершины С:
СС₁ : 4.5 Х + 0 У + 13.5 = 0
Разделим на 4,5 и уберём У(он равен 0):
СС₁ : Х + 3 = 0
д) вычислить длину этой высоты:
CC₂ = 2S / ВА = 4.024922.
е) вычислить величину угла А:
cos A= (АВ²+АС²-ВС²) / ( 2*АВ*АС) = 0.8
A = 0.643501 радиан = 36.8699 градусов
ж) найти направляющий вектор медианы, проведенной из вершины С:
Основание медианы (точки пересечения медианы со стороной):
C₁(Хс1; Ус1): (Ха+Хв) / 2; (Уа+Ув) / 2.
С₁ (-3; -0.5)
С (-3; -5)
направляющий вектор медианы: СС₁(-3-(-3) = 0,5 - (-0,5)= 4,5)
СС₁(0: -4,5).
з) найти нормальный вектор стороны АС:
это высота на сторону АС из точки В:
В₂: -2.4 -3.8
В (-6; -2)
нормальный вектор ВВ₂ (-2,4-(-6) =3,6; -3,8-(-2) = -1,8)
ВВ₂(3,6; -1,8).
1) Найдите координаты и длину вектора a если a = 1/3b - c, b{3;-9}, c{-6;2}
2) Даны координаты вершин параллелограмма ABCD;
A(-6;1), B(0;5), C(6;-4), D(0;-8). Докажите, что ABCD - прямоугольник и дайте координаты точке пересечения его диагоналей О

Решение: $$ 1)\overrightarrow {a}=\{ \frac{1}{3}\cdot3-(-6);\frac{1}{3}\cdot(-9)-2\} =\{1+6;-3-2\}=\{7;-5\} \\ 2)\overrightarrow {AB}=\{0-(-6);5-1\} =\{6;4\}, \\ \overrightarrow {DC}=\{6-0;-4-(-8)\} =\{6;4\} $$
Векторы равны, так как равны их координаты. И векторы одинаково направлены.
Противоположные стороны равны и параллельны. Доказано, что АВСD- параллелограмм
$$ \overrightarrow {BC}=\{6-0;-4-5\} =\{6;-9\}, \\ \overrightarrow {BC}\cdot \overrightarrow {CD}=6\cdot6+4\cdot(-9)=0 $$
Векторы $ \overrightarrow {BC}$ и $\overrightarrow {CD} $ ортогональны, но значит и векторы $ \overrightarrow {BC}$ и $\overrightarrow {AB}$ ортогональны $$ \overrightarrow {AD}=\{0-(-6);-8-(-1)\} =\{6;-9\}, \\ \overrightarrow {CD}\cdot \overrightarrow {AD}=6\cdot6+4\cdot(-9)=0 $$
Векторы $ \overrightarrow {CD}$ и $ \overrightarrow {AD}$ ортогональны,
Доказано, что в параллелограмме три угла по 90°, но значит и четвертый угол тоже 90°, так как сумма углов четырехугольника равна 90°
$$ x_O= \frac{x_A+x_C}{2}= \frac{-6+6}{2}=0 \\y_O= \frac{y_A+y_C}{2}= \frac{1-4}{2}=- \frac{3}{2}, $$
точки A(4;5) и С(-2;-1) являются противоположными вершинами квадрата ABCD. Найдите координаты остальных вершин и координаты точки которая делит сторону BC пополам.

Решение: Задача не имеет одного решения. По поводу середины стороны ВС - вершины s могут идти по часовой стрелке или против. Но координаты вершин известны:
A(4;5) и C(-2;-1). Координаты соответствуют границам квадрата - правая сторона проходит по х=4, левая - по х=-2. Верхняя - по у=5, нижняя - по у=-1. Проверяем - это действительно квадрат со стороной 6.
Вершины квадрата
Вариант расположения по часовой стрелке
D(-2;5) А(4;5)
С(-2;-1) В(4;-1)
Или (Вариант расположения против часовой стрелки)
В(-2;5) А(4;5)
С(-2;-1) D(4;-1)
Соответственно координата точки, которая делит сторону ВС пополам - Е(1;-1) или Е(-2;2).
Точки А (-2;1) В(2;3) и С (4;-1) середины сторон треугольника. Найдите координаты его вершин

Решение: Точки А (-2;1) В(2;3) и С (4;-1) середины сторон треугольника.
Найдите координаты его вершин
Координаты середины отрезка равны полусуммам координат его концов.
Пусть вершины нашего треугольника К(Х1;Y1), M(X2;Y2), N(X3;Y3), а середины сторон КМ, MN и KN - точки А, В и С соответственно.
Тогда Х1+Х2= -4. Y1+Y2 = 2.
Х2+Х3 = 4. Y2+Y3 = 6.
Х1+Х3 = 8. Y1+Y3 = -2.
Решая эти системы для Х и для Y, получаем:
Х1-Х2=4, Х1=4+Х2, 4+2*Х2 =-4, отсюда Х1=0, Х2= -4.
Y2-Y1=8, Y2=8+Y1, 2Y1+8=2, отсюда Y1= -3, Y2=5.
X3=8-Х1=8, Y3=1.
Итак, вершины треугольника K(0;-3), M(-4;5), N(8;1).

1 2 3 > >>

даны координаты вершин

Найдите площадь четырёхугольника ABCD, вершины которого заданы своими координатами: А(-6; 2), В(—5,5), С(—2; 6), D(—3;3).

Найдите площадь четырехугольника ABCD, вершины которого заданы своими координатами: A (-6; 2), B(-5;5), С(-2;6),D(-3;3).

точки A(4;5) и С(-2;-1) являются противоположными вершинами квадрата ABCD. Найдите координаты остальных вершин и координаты точки которая делит сторону BC пополам.

Точки А (-2;1) В(2;3) и С (4;-1) середины сторон треугольника. Найдите координаты его вершин