даны координаты вершин - страница 2

1. Даны два вектора с координатами а=(6;-2;2); в=(-2;-4;2) Найти 1)1/2а-в ; 2) I 2в+а I
2. Даны координаты вершин треугольника: А (1;-1;3); B(3;-1;1); C(-1;1;3). Найти угол между сторонами АВ и АС и медиану, проведенную из вершины А на сторону ВС. Пиримитр треугольника
3. Разложить по векторам а и в

Решение: 1)1/2а=(3;-1;1)
-б=(2;4;-2)
1/2а-б=1/2а+(-б)=(5;3;-1)
2)2б=(-4;-8;4)
2б+а=(2;-10;6)
|2б+а|=4+100+36(и все это под корнем)=
140(под корнем)=4•35(под корнем)=2корень из 35
3)cosL=a•b/|a|•|b|
|a|=36+4+4(под корнем)=корень из 44
|b|=4+16+4(под корнем)=корень из 24
А•б=6•(-2)+(-2)•(-4)+2•2=-12+8+5=0
СоsL1=0/корень 44•корень 24=0
L1=90 градусов
L2
A-b=(6-(-2));-2-(-4);2-2)=(8;2;0)
A+b=(6+(-2);(-2)+(-4);;2+2)=(4;-6;4)
CosL2=(a-b)•(a+b)/|a-b|•|a+b|
(A-b)•(a+n)=8•4+2•(-6)+0•4=32-12=20
|a-b|=64+16(под корнем)=корень из 80
|а+б|=16+36+16(под корнем)=32+36(под корнем)=корень из 68
СоsL2=20/80(корень )•69(корень)=5(корень)•5(корень)/5(корень)•2•17(корень)=5(корень):2корень из 17
L2=arccos 5(корень)/2 корень 17
Даны координаты вершин треугольника АВС.
Требуется:
а) построить треугольник АВС в прямоугольной системе координат;
б) найти длину стороны АВ;
в) составить уравнение стороны АВ;
г) составить уравнение высоты и медианы, проведённых из вершины С;
д) вычислить длину этой высоты;
е) вычислить величину угла А;
ж) найти направляющий вектор медианы, проведенной из вершины С;
з) найти нормальный вектор стороны АС.
Координаты: А (0;1), В (-6; -2), С (-3; -5)

Решение: А) построить треугольник АВС в прямоугольной системе координат:
для этого построить заданные точки А (0;1), В (-6; -2), С (-3; -5), соединить их и получится треугольник.
б) найти длину стороны АВ = √((-6-0)²+(-2-1)²) = √(36+9) = √45 = 6.708203932;
в) составить уравнение стороны АВ:
АВ : (Х-Ха) / (Хв-Ха) = (У-Уа) / (Ув-Уа ).
АВ : -3 Х + 6 У - 6 = 0 или разделив на -3:
АВ: Х - 2 У + 2 = 0.
То же в виде уравнения с коэффициентом:
АВ: у = 0.5 х + 1.
г) составить уравнение высоты и медианы, проведённых из вершины С:
Уравнение высоты из вершины С:
СС₂: (Х-Хс) / (Ув-Уа) = (У-Ус) / (Ха-Хв)
СС₂: 6 Х + 3 У + 33 = 0, разделим на 3:
СС₂: 2 Х + У + 11 = 0.
СС₂: у = -2 х - 11.
Уравнение медианы из вершины С:
СС₁ : 4.5 Х + 0 У + 13.5 = 0
Разделим на 4,5 и уберём У(он равен 0):
СС₁ : Х + 3 = 0
д) вычислить длину этой высоты:
CC₂ = 2S / ВА = 4.024922.
е) вычислить величину угла А:
cos A= (АВ²+АС²-ВС²) / ( 2*АВ*АС) = 0.8
A = 0.643501 радиан = 36.8699 градусов
ж) найти направляющий вектор медианы, проведенной из вершины С:
Основание медианы (точки пересечения медианы со стороной):
C₁(Хс1; Ус1): (Ха+Хв) / 2; (Уа+Ув) / 2.
С₁ (-3; -0.5)
С (-3; -5)
направляющий вектор медианы: СС₁(-3-(-3) = 0,5 - (-0,5)= 4,5)
СС₁(0: -4,5).
з) найти нормальный вектор стороны АС:
это высота на сторону АС из точки В:
В₂: -2.4 -3.8
В (-6; -2)
нормальный вектор ВВ₂ (-2,4-(-6) =3,6; -3,8-(-2) = -1,8)
ВВ₂(3,6; -1,8).
1) Найдите координаты и длину вектора a если a = 1/3b - c, b{3;-9}, c{-6;2}
2) Даны координаты вершин параллелограмма ABCD;
A(-6;1), B(0;5), C(6;-4), D(0;-8). Докажите, что ABCD - прямоугольник и дайте координаты точке пересечения его диагоналей О

Решение: $$ 1)\overrightarrow {a}=\{ \frac{1}{3}\cdot3-(-6);\frac{1}{3}\cdot(-9)-2\} =\{1+6;-3-2\}=\{7;-5\} \\ 2)\overrightarrow {AB}=\{0-(-6);5-1\} =\{6;4\}, \\ \overrightarrow {DC}=\{6-0;-4-(-8)\} =\{6;4\} $$
Векторы равны, так как равны их координаты. И векторы одинаково направлены.
Противоположные стороны равны и параллельны. Доказано, что АВСD- параллелограмм
$$ \overrightarrow {BC}=\{6-0;-4-5\} =\{6;-9\}, \\ \overrightarrow {BC}\cdot \overrightarrow {CD}=6\cdot6+4\cdot(-9)=0 $$
Векторы $ \overrightarrow {BC}$ и $\overrightarrow {CD} $ ортогональны, но значит и векторы $ \overrightarrow {BC}$ и $\overrightarrow {AB}$ ортогональны $$ \overrightarrow {AD}=\{0-(-6);-8-(-1)\} =\{6;-9\}, \\ \overrightarrow {CD}\cdot \overrightarrow {AD}=6\cdot6+4\cdot(-9)=0 $$
Векторы $ \overrightarrow {CD}$ и $ \overrightarrow {AD}$ ортогональны,
Доказано, что в параллелограмме три угла по 90°, но значит и четвертый угол тоже 90°, так как сумма углов четырехугольника равна 90°
$$ x_O= \frac{x_A+x_C}{2}= \frac{-6+6}{2}=0 \\y_O= \frac{y_A+y_C}{2}= \frac{1-4}{2}=- \frac{3}{2}, $$
точки A(4;5) и С(-2;-1) являются противоположными вершинами квадрата ABCD. Найдите координаты остальных вершин и координаты точки которая делит сторону BC пополам.

Решение: Задача не имеет одного решения. По поводу середины стороны ВС - вершины s могут идти по часовой стрелке или против. Но координаты вершин известны:
A(4;5) и C(-2;-1). Координаты соответствуют границам квадрата - правая сторона проходит по х=4, левая - по х=-2. Верхняя - по у=5, нижняя - по у=-1. Проверяем - это действительно квадрат со стороной 6.
Вершины квадрата
Вариант расположения по часовой стрелке
D(-2;5) А(4;5)
С(-2;-1) В(4;-1)
Или (Вариант расположения против часовой стрелки)
В(-2;5) А(4;5)
С(-2;-1) D(4;-1)
Соответственно координата точки, которая делит сторону ВС пополам - Е(1;-1) или Е(-2;2).
Точки А (-2;1) В(2;3) и С (4;-1) середины сторон треугольника. Найдите координаты его вершин

Решение: Точки А (-2;1) В(2;3) и С (4;-1) середины сторон треугольника.
Найдите координаты его вершин
Координаты середины отрезка равны полусуммам координат его концов.
Пусть вершины нашего треугольника К(Х1;Y1), M(X2;Y2), N(X3;Y3), а середины сторон КМ, MN и KN - точки А, В и С соответственно.
Тогда Х1+Х2= -4. Y1+Y2 = 2.
Х2+Х3 = 4. Y2+Y3 = 6.
Х1+Х3 = 8. Y1+Y3 = -2.
Решая эти системы для Х и для Y, получаем:
Х1-Х2=4, Х1=4+Х2, 4+2*Х2 =-4, отсюда Х1=0, Х2= -4.
Y2-Y1=8, Y2=8+Y1, 2Y1+8=2, отсюда Y1= -3, Y2=5.
X3=8-Х1=8, Y3=1.
Итак, вершины треугольника K(0;-3), M(-4;5), N(8;1).

<< < 12 3 4 > >>

даны координаты вершин - страница 2

точки A(4;5) и С(-2;-1) являются противоположными вершинами квадрата ABCD. Найдите координаты остальных вершин и координаты точки которая делит сторону BC пополам.

Точки А (-2;1) В(2;3) и С (4;-1) середины сторон треугольника. Найдите координаты его вершин