координаты »

координаты вершины

  • Сумма коэффициентов квадратного трехчлена равна 2. Найдите его корни если координаты вершины графика соответствующей ему квадратной функции (4; -2,5)


    Решение: Координаты вершины графика квадратного трехчлена позволяют придать ему следующий вид: а(х - 4)² - 2,5, т. е. ах² - 8ах + (16а-2,5)
    Используем сумму коэффициентов:
    а - 8а + 16а - 2,5 = 2
    9а = 4,5
    а = 0,5
    Итак, 0,5х² - 4х + 5,5 = 0,5(х - 4)² - 2,5 - это квадратный трехчлен из условия.
    Находим корни из уравнения 0,5(х - 4)² - 2,5 = 0.
    (х - 4)² = 5 
    $$ x_{1,2}=4 \pm \sqrt5 $$
    Ответ: $$ 4 \pm \sqrt5 $$

  • Даны вершины пирамиды А1, А2, А3, А4. Средствами векторной алгебры найти:
    -площадь грани А1 А2 А3 ;
    -объем пирамиды А1 А2 А3 A4
    -длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4.
    Координаты вершины
    А1 (3, 6, 1)
    А2 (6, 1, 4)
    А3 (3,6, 10)
    А4 (7, 5, 4)


    Решение: Координаты векторов А1А2 ( 6-3;1-6;4-1;)= ( 3; -5; 3)
      А1А3 ( 0; -12; 9)
      А1А4 (4; -1; 3; )
    S(A1A2A3)= (l A1A2l*l A1A3l*sinα)/2, где α- угол между векторами А1А2 и А1А3, модуль вектора а =√(х²+y²+z²), т е
    l A1A2l= √(9+25+9)= √(43), lA1A3l=√(144+81)=√(225)=15, 
    если α -угол между векторами а и в, то cosα=(x1x2+y1y2+z1z2)/(lal*lbl),
    cosα= (0+60+27)/(15√(43)=87/(15√(43)=29/(5√(43),
    sinα = √(1-cos²α)=√(1-29²/(25*43))=√((25*43-29²)/(25*43))= √((1075-841)/(25*43)= √((234)/(25*43) =(√(2*3*39))/5√(43),
    S(A1A2A3)=(lA1A2l*lA1A3l*sinα)/2= (15*√(43)*√(2*3*39))/(2*5√(43))=
    (3*√(2*3*39))/2 = 9√(6,5),
    V(A1A2A3A4)=+-(1/6)*( определитель из строк ( 3;-5; 3); (0; -12;9 );
    ( 4; -1; 3 ))= +-(1/6)(9*(-12)- 5*9*4+0+ 12² +9*3 -0)= +-(9/6)( -12-20+16+3)
    = +-(3/2)*(-13)=39/2, V(A1A2A3A4)=(1/3)*S(A1A2A3)*H, H=(3*V(пир)/S(осн)= (3*39/2)/((9√(6,5))= √(6,5),
     Ответ: S(A1A2A3)=9√(6,5) 
      V(A1A2A3A4)= 39/2
      H=√(6,5)

  • Даны вершины пирамиды А1, А2, А3, А4. Средствами векторной алгебры найти:
    1) длину ребра А1А2;
    2) угол между ребрами А1А2 и А1А3;
    3) площадь грани А1А2А3 ;
    4) объем пирамиды А1А2А3A4
    5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4.
    Координаты вершины:
    A1(3, 6, 1)
    A2(6, 1, 4)
    A3(3,6, 10)
    A4(7, 5, 4)


    Решение: 1) Вектор A₁A₂ = A₂ - A₁ = (6, 1, 4) - (3, 6,1) = (3,5, 3). Длина вектора равна |A₁A₂| = $$ \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{43} $$
    2) Вектор A₁A₃ = (0,12, 9). Его длина |A₁A₃|= 15. Угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₃ вычисляется по формуле:
    $$ cos(a) = \frac{A1A2}{|A1||A2|} $$
    A₁A₂ ⁻ A₁A₃ = 3 ⁻ 0 + (-5) ⁻(-12) + 3 ⁻ 9 = 87;
    |A₁A₂| ⁻ |A₁A₃| = 15√43
    Отсюда cos(a) = $$ \frac{87}{15\sqrt{43}} = \frac{29\sqrt{43}}{215} $$

  • Даны вершины пирамиды А1, А2, А3, А4. Средствами векторной алгебры найти:
    1) длину ребра А1А2;
    2) угол между ребрами А1А2 и А1А3;
    3) площадь грани А1А2А3 ;
    4) объем пирамиды А1А2А3A4
    5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4.
    Координаты вершины
    А1(2, 3, 1) А2(4, 1,2) А3(6, 3, 7) А4(-5,4, 8)
    с подробным ответом


    Решение: 1) Найти длины ребер А1А2; А1А3; А1А4.
    Длину ребер пирамиды (любой фигуры) будем рассматривать как расстояние между точками. Расстояние между точками ищется по формулеd=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√подставляем координаты точек в формулу и получаем длины ребер 
    А1А2=(−2−4)2+(1+1)2+(0−3)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=7
    А1А3=(0−4)2+(−5+1)2+(1−3)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=6
    А1А4=(3−4)2+(2+1)2+(−6−3)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=91−−√

  • ABCD - параллелограмм. Найдите координаты вершины C, если А(-2;2), B(1;4), D(4;5).


    Решение: С( 7; 7)
    О - точка пересечения диагоналей
    Диагональ ВД : О( (1+4)/2 ; (4+5) /2 ) ; О (2,5;4,5)
    Диагональ АС: О ( (-2+х) :2 ; ( 2+у) :2)
                                     (-2+х)/2 = 2,5           (2+у)/2 = 4,5
                                      -2+х = 5                   2+у =9
                                       х = 7                       у = 7

    C(x;y) = ?
    Вектор АB : →AB = (xB - xA ; yB - yA) = (1-(-2) ; 4-2) = (3;2) 
      →DC = →AB ⇒ (xC - xD ; yC - yD) = (3;2)
      (x - 4 ; y - 5) = (3 ; 2) ⇒ 
      x -4 = 3 ⇒ x = 7
      y - 5 = 2 ⇒ y = 7
      ⇒ C(x;y) = C(7;7)

  • Найдите координаты вершины D прямоугольника ABCD, а также его периметр. При A(11; 6), B(11; -8), C(-7;-8)


    Решение: 1 клетка- 1 ед. отрезок. Чертила на весь лист. Значит при черении полуается, что Тока D (-7;6). Длина равна 9 см. Ширина- 7см. Отсюда (7+9)*2=32 см.

  • Найдите координаты вершины D прямоугольника ABCD, если A(10,2),B(10,0),C(0,2)


    Решение: Для начала построим координатные оси Х и Y. Координаты точки обозначаются в скобках (X,Y) на первом месте стоит Х, а затем Y.
    Получается, что точка А находиться на оси Х на 10-ом ед. отрезке, на Y на 2ед. отрезке и т. д с другими точками.
    По точкам можно построить прямоугольник. Заметим, что расстояние между А и В =  расстояние между D и С. =>  что точка D распологается на 2 ед. отрезка по оси Y ниже точки С. Её координаты (0,0)

  • зная что парабола y=3x2+bx+4 проходит через точку М(-1 и -5) найдите координаты вершины.


    Решение: -1=x

    -5=y

    подставим в уравнение и найдем переменную b:

    -5=3*(-1)^2+b*(-1)+4

    -5=3*1-b+4

    -5=7-b

    -5-7=-b

    -12=-b

    b=12

    подставим b в уравнение:

    y=3x^2+12x+4

    найдем координаты вершины параболы:

    m=-b/2a=-12/2*3=-12/6=-2

    n=3*(-2)^2+12*(-2)+4=3*4-24+4=12-24+4=-8

    таким образом, координаты вершины параболы таковы О (-2;8)

  • Парабола проходит через точки A(0; – 6), B(1; – 9), C(6; 6). Найдите координаты её вершины.


    Решение: Уравнение квадратной параболы в общем виде: у = ах² + вх + с
    Найдём коэффициенты а, в, с
    Подставим координаты точки А
    -6 = а· 0² + в·0 + с → с = -6
    Подставим координаты точки В
    -9 = а·1² + в·1 - 6 → а + в = -3  (1)
    Подставим координаты точки С
    6 = а·6² + в·6 - 6 → 6а + в = 2 → в = 2 - 6а (2)
    Подставим (2) а (1)
    а + 2 - 6а = -3 → а = 1
    Из (2) получим в = -4
    Итак, мы получили уравнение параболы:
    у = х² - 4х - 6
    Абсцисса вершины параболы: m =-в/2а = 4 / 2 = 2
    Ординату вершины параболы найдём,
    подставив в уравнение параболы х = m = 2
    у =  2² - 4 · 2 - 6 = -10
    Ответ: вершиной параболы является точка с координатами (2; -10)

  • В пространстве заданы три точки своими координатами А(-2;3;5), В(1;2;4), С(4;-3;6).
    найдите:
    1. координаты отрезка АВ, АС, ВС;
    2. координаты середины отрезков;
    3. координаты вершины D параллелограмма ABCD


    Решение: 2. Полусумма соответствующих координат
    Середина АВ:  х=(-2+1):2=-0,5; у=(3+2):2=2,5; z=(5+4):2=4,5. (-0,5; 2,5; 4,5)
    Середина АС: х=(-2+4):2=1; у=(3-3):2=0; z=(5+6):2=5,5. (1; 0; 5,5)
    Середина ВС: х=(1+4):2=2,5; у=(2-3):2=-0,5; z=(4+6):2=5. (2,5; -0,5; 5)
    3. Координаты середины диагонали АС равны координатам середины диагонали BD.
    Середина АС: х=1, у=0, z=5,5
    Координаты точки D: х= 2*1-1=1; у=2*0-2=-2; z=2*5,5-4=7. (1; -2; 7)

1 2 > >>