координаты »

координаты вершины - страница 2

  • Применение формул расстояния между точками, координат середины отрезка.
    1. Известны координаты вершины ∆ СDЕ, если
    С(-3;4;2), D(1;-2;5),
    Е(-1;-6;4).DК – медиана ∆. Найдите длину DК.
    а) в корне 14 б) в корне 18 в) в корне 15 г) в корне 10
    2. Доказать, что четырехугольник КМРТ является прямоугольником, если К(0;-6;0), М(1;0;1), Р(0;
    0;2), Т(-1; -6; 1).


    Решение: 1.
    координаты K
    $$ K= \frac{C+D}{2}= (\frac{-3-1}{2}; \frac{4-6}{2}; \frac{2+4}{2})=(-2;-1;3);\\ DK=|\overrightarrow{DK}|=\sqrt{(-2-1)^2+(-1-(-2))^2+(3-5)^2}=\\ = \sqrt{(-3)^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14} $$
    вариант а) вкорне 14;
    2.
    найдем координаты векторов, и докажем попарную перпендикулярность и одинаковость параллельных сторон
    (векторы параллельных сторон должны быть одинаковыми(вернее пропорциональным на 1 или -1)
    $$ K(0;-6;0);\\ M(1;0;1);\\ P(0;0;2);\\ T(-1;-6;1);\\ \overrightarrow{KM}=(1-0;0-(-6);1-0)=(1;6;1);\\ \overrightarrow{TP}=(0-(-1);0-(-6);2-1)=(1;6;1);\\ \overrightarrow{PM}=(1-0;0-0;1-2)=(1;0;-1);\\ \overrightarrow{KT}=(0-(-1);-6+(-6);0-1)=(1;0;-1);\\ \overrightarrow{KM}|=|\overrightarrow{TP}|=\sqrt{1^2+6^2+1^2}=\sqrt{1+36+1}=\sqrt{38};\\ |\overrightarrow{PM}|=|\overrightarrow{KT}|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2};\\ \overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{KM}=1\cdot1+6\cdot0+1\cdot(-1)=1+0-1=0; $$
    , действительно параллельные вектора есть(колинеарные), они имеют однаковую длину, а неколинеарные перпендикулярные

  • Даны вершины пирамиды А1 А2 А3 А4.
    координаты вершины:
    А1(3, 6, 1)
    А2(6, 1, 4)
    А3(3,6, 10)
    А4(7, 5, 4)
    а) Записать уравнение грани пирамиды А2 А3 A4 и найти её расстояние от точки А1
    б) Найти проекцию точки А1 на грань А2 А3 A4


    Решение: Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
    Тогда уравнение плоскости имеет вид: 
    (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
    Точка A2  Точка A3  Точка A4
      x  y z x  y z x y z
      6 1 4  3 -6 10 7 5 4
    x-x1 y2-y1 z3-z1 z2-z1 y3-y1 y-y1 x2-x1 x3-x1 z-z1 x-x1 -7 0 6 4 y-y1 -3 1 z-z1 (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) (x-x1) * 0 (x-x1) * 24 (y-y1) * 0 (y-y1) * 6 (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) (z-z1) * -12 (z-z1) * -7
    Уравнение плоскости  A2A3A4 x -x1 0 24 y y1 0 6 z z1 -12 -7 -24 144 6 -6 -5 20
    -24 x + 6 y - 5 z + 158 = 0 или
      24 x - 6 y + 5 z - 158 = 0
    Можно получить это же уравнение так:
    Уравнение грани А2А3А4 (условно BDC).
     | x - Вх y - By z - Bz| 
     |Dx - Вх  Dy - By  Dz - Bz|   = 0
     |Cx -  Вх Cy - By  Cz - Bz| 
      |x - 6 y - 1 z - 4| 
      |7 - 6 5 - 1 4 - 4|  =0
      |3 - 6 -6 - 1 10 - 4|  
      x - 6 y - 1   z - 4
      1 4 0  
      -3 -7 6 =
    = 24·(x - 6) - 6·(y - 1) + 5·(z - 4)  = 24·x - 6·y + 5·z - 158. 
    Направляющий вектор плоскости: N = {24,6,5}
    Уравнение высоты, опущенной из точки A1 на грань A2A3A4:
     имеет вид:
    {x + Ax)/Nx = (y + Ay)/Ny = (z + Az)/Nz;
    (x + 3)/24 = (y + 6)/-6 = (z + 1)/5.

    Для вычисления расстояния от точки А1(3; 6; 1) до плоскости 24x - 6y + 5z - 158 = 0 используем формулу:

    d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D| / √A2 + B2 + C2

    Подставим в формулу данные

    d = |24·3 + (-6)·6 + 5·1 + (-158)| = |72 - 36 + 5 - 158|/√(24² + (-6)² + 5²) = 117/√(576 + 36 + 25) = 117/(9√137)  ≈ 4.635708782739415.

  • 1) найдите координаты вершины параболы и определите направление ветви :
    y=x2-4x+3
    y=-x2-12x+1
    y=x2-10x+15
    y=x2-7x+32.5


    Решение: 1) y=x2-4x+3 - ветви направлены вверх

      х=-(-4)/2*1=4/2=2

      у=2*2-4*2+3=4-8+3=-1

     (2,1) - координаты вершины параболы

    2)y=-x2-12x+1 - верви направлены вниз

      х=-(-12)/2*(-1)=12/(-2)=-6

      у=-6*(-6)-12*(-6)+1=-36+72+1=37

     (-6, 37) - координаты вершины параболы

    3)y=x2-10x+15 - верви направлены вверх

      х=-(-10)/2*1=10/2=5

      у=5*5-10*5+15=25-50+15=-10

      (5,10) - координаты вершины параболы

    4)y=x2-7x+32.5 - верви направлены вверх

      х=-(-7)/2*1=7/2=3,5

      у=3,5*3,5-7*3,5+32,5=12,25-24,5+32,5=20,25

    (3,5 ; 20,25) - координаты вершины параболы

    Используенахождение на нахождение вершины параболы:

    Xo= -b/2a, потом поучившееся результат подставим вместо x, то есть находим Уо

    1)xo= -(-4)/2= 2, Уо = 2²-4*2+3= -1

    2) хо= -(-12)/(-2)= -6, Уо = -(-6)²-12*(-6)+1= 37

    3) хо= -(-10)/2= 5, Уо = 5²-10*5+15= -10

    4) хо= -(-7)/2= 7/2, Уо= (7/2)²-7*7/2+ 32.5= 20,25

  • Найдите координаты вершины пораболы и определите направление ветвей у=х(в квадрате)-10х+15 у= -х(в квадрате)-8х+3


    Решение: Направление:

    1) Вверх.

    2) Вниз.

    Координаты вершин:

    1) х=-b/2a=10/2=5
    y=-10

    (5;-10)

    2) x=-b/2a=8/-2=-4

    y=51

    (-4;51) 

    у= х²-10х+15

    Ветви направлены вверх

     х= в/2а= -10/2×1=-5

    у= (-5)²-10×(-5)+15=90

    Вершина параболы (-5;90)

    у=-х²-8х+3

    Ветви направлены вниз

    х= -8\2×(-1)=4

    у= (-4)²-8×4+3=-13

    Вершина параболы (4;-13)

  • Определить координаты вершины параболы -3x^2+2х -4


    Решение: Уравнение параболы будет -3х²+2х-4.
    Координата х параболы определяется из выражения:
    Хо = -в / 2а = -2 / 2*(-3) = -2 / -6 = 1/3.
    Уо = -3*(1/3)²+2*(1/3)-4 = -3/9 +2/3 - 4 = -3(2/3)

  • Длина стороны квадрата abcd равна 6 а координаты вершины a -2. 3. Найдите координаты остальных вершин, зная, что сторона АВ квадрата параллельна оси координат и что начало координат лежит внутри квадрата


    Решение: Возьмём за единичный отрезок 1 см, тогда будут справедливы следующие данные:
    Если А(-2;3), АВ || оси ОХ, то отсчитав нужное количество единичных отрезков можно построить координатную плоскость, а дальше по ней уже рассчитать другие вершины.
    в итоге получим: А(-2;3); В(4;3); С(4;-3); D(-2;-3)

<< < 12