координаты »

координаты вершины

  • Сумма коэффициентов квадратного трехчлена равна 2. Найдите его корни если координаты вершины графика соответствующей ему квадратной функции (4; -2,5)


    Решение: Координаты вершины графика квадратного трехчлена позволяют придать ему следующий вид: а(х - 4)² - 2,5, т. е. ах² - 8ах + (16а-2,5)
    Используем сумму коэффициентов:
    а - 8а + 16а - 2,5 = 2
    9а = 4,5
    а = 0,5
    Итак, 0,5х² - 4х + 5,5 = 0,5(х - 4)² - 2,5 - это квадратный трехчлен из условия.
    Находим корни из уравнения 0,5(х - 4)² - 2,5 = 0.
    (х - 4)² = 5 
    $$ x_{1,2}=4 \pm \sqrt5 $$
    Ответ: $$ 4 \pm \sqrt5 $$

  • Даны вершины пирамиды А1, А2, А3, А4. Средствами векторной алгебры найти:
    -площадь грани А1 А2 А3 ;
    -объем пирамиды А1 А2 А3 A4
    -длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4.
    Координаты вершины
    А1 (3, 6, 1)
    А2 (6, 1, 4)
    А3 (3,6, 10)
    А4 (7, 5, 4)


    Решение: Координаты векторов А1А2 ( 6-3;1-6;4-1;)= ( 3; -5; 3)
      А1А3 ( 0; -12; 9)
      А1А4 (4; -1; 3; )
    S(A1A2A3)= (l A1A2l*l A1A3l*sinα)/2, где α- угол между векторами А1А2 и А1А3, модуль вектора а =√(х²+y²+z²), т е
    l A1A2l= √(9+25+9)= √(43), lA1A3l=√(144+81)=√(225)=15, 
    если α -угол между векторами а и в, то cosα=(x1x2+y1y2+z1z2)/(lal*lbl),
    cosα= (0+60+27)/(15√(43)=87/(15√(43)=29/(5√(43),
    sinα = √(1-cos²α)=√(1-29²/(25*43))=√((25*43-29²)/(25*43))= √((1075-841)/(25*43)= √((234)/(25*43) =(√(2*3*39))/5√(43),
    S(A1A2A3)=(lA1A2l*lA1A3l*sinα)/2= (15*√(43)*√(2*3*39))/(2*5√(43))=
    (3*√(2*3*39))/2 = 9√(6,5),
    V(A1A2A3A4)=+-(1/6)*( определитель из строк ( 3;-5; 3); (0; -12;9 );
    ( 4; -1; 3 ))= +-(1/6)(9*(-12)- 5*9*4+0+ 12² +9*3 -0)= +-(9/6)( -12-20+16+3)
    = +-(3/2)*(-13)=39/2, V(A1A2A3A4)=(1/3)*S(A1A2A3)*H, H=(3*V(пир)/S(осн)= (3*39/2)/((9√(6,5))= √(6,5),
     Ответ: S(A1A2A3)=9√(6,5) 
      V(A1A2A3A4)= 39/2
      H=√(6,5)

  • Даны вершины пирамиды А1, А2, А3, А4. Средствами векторной алгебры найти:
    1) длину ребра А1А2;
    2) угол между ребрами А1А2 и А1А3;
    3) площадь грани А1А2А3 ;
    4) объем пирамиды А1А2А3A4
    5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4.
    Координаты вершины:
    A1(3, 6, 1)
    A2(6, 1, 4)
    A3(3,6, 10)
    A4(7, 5, 4)


    Решение: 1) Вектор A₁A₂ = A₂ - A₁ = (6, 1, 4) - (3, 6,1) = (3,5, 3). Длина вектора равна |A₁A₂| = $$ \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{43} $$
    2) Вектор A₁A₃ = (0,12, 9). Его длина |A₁A₃|= 15. Угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₃ вычисляется по формуле:
    $$ cos(a) = \frac{A1A2}{|A1||A2|} $$
    A₁A₂ ⁻ A₁A₃ = 3 ⁻ 0 + (-5) ⁻(-12) + 3 ⁻ 9 = 87;
    |A₁A₂| ⁻ |A₁A₃| = 15√43
    Отсюда cos(a) = $$ \frac{87}{15\sqrt{43}} = \frac{29\sqrt{43}}{215} $$

  • Даны вершины пирамиды А1, А2, А3, А4. Средствами векторной алгебры найти:
    1) длину ребра А1А2;
    2) угол между ребрами А1А2 и А1А3;
    3) площадь грани А1А2А3 ;
    4) объем пирамиды А1А2А3A4
    5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4.
    Координаты вершины
    А1(2, 3, 1) А2(4, 1,2) А3(6, 3, 7) А4(-5,4, 8)
    с подробным ответом


    Решение: 1) Найти длины ребер А1А2; А1А3; А1А4.
    Длину ребер пирамиды (любой фигуры) будем рассматривать как расстояние между точками. Расстояние между точками ищется по формулеd=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√подставляем координаты точек в формулу и получаем длины ребер 
    А1А2=(−2−4)2+(1+1)2+(0−3)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=7
    А1А3=(0−4)2+(−5+1)2+(1−3)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=6
    А1А4=(3−4)2+(2+1)2+(−6−3)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=91−−√