многочлен »

разложить многочлен на множители

  • Многочлен x⁴-4x³+2x²+12x-15 разложить на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами (квадратичные множители - с отрицательным дискриминантом). Один из его корней равен 2+i.


    Решение: $$ x^{4}-4 x^{3}+2 x^{2} +12x+15=0 $$

    Раскладываем с помощью МНК (метода неопределенных коэффициентов)
    Знаем, что любое уравнение четвертой степени раскладывается на два квадратных по принципу:

    $$ ( x^{2} +ax+b)( x^{2} +cx+d)=\\= x^{4}+ x^{3}(c+a)+ x^{2} (d+a+b)+x(ab+bc)+db $$

    имеем систему
    $$ \left\{ {c+a=-4 \atop d+a+b=2} \right. \left\{ {ad+bc=12 \atop bd=-15} \right. $$

    рассмотрим методом подбора 
    в= -3 d=5
    a=-4-c
    подставим во второе

    $$ (-4-c)*5-3c=12 - 8c=32 c=-4 a=0 $$

    проверим по второму уравнению
    d+a+b= 5+0-3= 2

    нам подходит. Тогда запишем в виде

    $$ ( x^{2} +ax+b)( x^{2} +cx+d)= ( x^{2} -3)( x^{2} -4x+5) $$

    рассмотрим второй множитель

    $$ x^{2} -4x+5=0 D=16-20 < 0 $$

    корней нет

    $$ (x- \sqrt{3})(x+ \sqrt{3})( x^{2} -4x+5) $$



  • 1. Разложите на множители: а) 15m^2+10m; б) y(y-6)+5(y-6)
    2. Найдите значение x, при котором разность значений выражений (7-x)(x+5) и (4-x) равна 15
    3. Найдите три последовательных натуральных четных числа, если произведение первых двух из них на 72 меньше произведения двух последних.


    Решение: 1) 15m^2+10m= 5m(3m+2)

     y(y-6)+5(y-6)=(y+5)*(y-6)^2

    2) 7

    #1

    Разложите на множители:

    а) 15m^2+10m = 5m * (3m+2)

    б) y(y-6)+5(y-6) = (y-6) * (y+5)

    #2

    Найдите значение x, при котором разность значений выражений (7-x)(x+5) и (4-x) равна 15

    (7-x)(x+5) - (4-x) =15

    7x+35-x^2-5x - 4+x -15 =0

    x^2 -3x-16=0

    D=(-3)^2+16*4=73

    x1= 1/2(3 - √73)

    x2= 1/2(3 + √73)

  • 1. Преобразуйте в многочлен: а) (х + 4)2; в) (2у + 5)(2у – 5); б) (3b – с)2; г) (у 2 – х)(у 2 + х). 2. Разложите на множители: а) 1/9– а2; б) b2 + 10b+ 25. 3. Выполните действия: а) 3(1 + 2ху)(1 – 2ху); в) (а + b)2 – (а – b)2. б) (х 2 – у 3) 2;


    Решение: 1.а)х^2+8х+16
    б)9в^2-6вс+с^2
    в)4у^2-25
    г)у^4-х^2
    2.а)(1/3-а)(1/3+а)
    б)(в+5)^2
    3.а)3-12х^2y^2
    б)x^4-2x^2*y^3+y^9
    в)a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)=4ab

    1.а) (х + 4)^2=x^2+8x+16  в) (2у + 5)(2у – 5)=4y^2-25
          б) (3b – с)^2=9b^2-6bc+c^2 г) (у 2 – х)(у 2 + х)=y^4+x^2
    2.а) 1/9– а^2=(1\3-a)(1\3+a) б) b^2 + 10b+ 25=(b+5)^2
    3.а) 3(1 + 2ху)(1 – 2ху)=3(1-4x^2y^2)=3-12x^2y^2
          б) (х 2 – у 3) 2=x^4-2x^2y^3+y^6
              в) (а + b)2 – (а – b)2=a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab

  • 2) Разложите многочлен на множитель:
    а) a^3-a^2+a-1
    б) x^2-xy-9x+9y
    в) m^2-8m+12
    3) Решите уравнение:
    а)m(m-5)+8(m-5)=0
    б) y(y+2)+y+2=0


    Решение: 3) m(m-5)+8(m-5)=0
    (m-5)(m+8)=0
    Ответ: m=5, m=-8
    2) y(y+2)+y+2=0
    (y+2)(y+1)=0
    y=-2, y=-1

    2) Разложите многочлен на множитель: 
    а) a^3-a^2+a-1=(a-1)(a^2+1)
    б) x^2-xy-9x+9y=x(x-9)-y(x-9)=(x-9)(x-y)
    в) m^2-8m+12 по теореме Виета сумма равна 8, произведение 12. очевидно, m=6 и m=2. Тогда m^2-8m+12=(m-6)(m-2)

  • разложение многочлена на множители способом группировки: 16m(в квадрате)-24mn+10mk-15nk.12x(в квадрате)-12xy+7x-7y. 20px+15xy-12py-25x(в квадрате). 42mk(в квадрате)+28mn(в квадрате)-27nk(в квадрате)-18n(в кубе)


    Решение: 16m(в квадрате)-24mn+10mk-15nk; (16m^2 + 10mk) + (-15nk - 24mn); 2m(8m+5k)+3n(8m+5k); (8m+5k)(2m+3n)

    12x(в квадрате)-12xy+7x-7y; (12x^2-12xy)+(7x-7y); 12x(x-y)+7(x-y); (x-y)(12+7)

    20px+15xy-12py-25x(в квадрате); (20px-12py)+(15xy-25x^2); 4p(5x-3y)-5x(5x-3y); (4p-5x)(5x-3y)

    42mk(в квадрате)+28mn(в квадрате)-27nk(в квадрате)-18n(в кубе); (42mk^2-27nk^2)+(28mn^2-18n^3); 3k^2(14m-9n)+2n^2(14m-9n); (3k^2+2n^2)(14m-9n)

1 2 3 > >>