многочлен »

разложить многочлен на множители - страница 3

  • Дан многочлен 2х3+х2а-2ах-а2. применяя его для разложения на множители способ группировки можно поступить так а) сгруппировать попарно 1-й и 2-й 3-й и 4-й члены б) сгруппировать попарно 1-й и 3-й 2-й и 4-й члены в) сгруппировать попарно 1-й и 4-й 2-й и 3-й члены В каких случаях группировка окажется удачной и приведёт к разложению многочлена на множители а в каких нет?


    Решение: Решение 
    а) 2х³ + х²а - 2ах - а² = (2х³ + х²а) - (2ах + а²) = x²(2x + a) -  a(2x + a) =
    = (2x + a)*(x² - a) - группировка удачнaя 
    б) 2х³ + х²а - 2ах - а² = (2x³ - 2ax) + ( x²a - a²) = 2x(x² - a) + a( x² - a) =
    = (x² - a)*(2x + a) группировка удачнaя 
    в) 2х³ + х²а - 2ах - а² = (2х³ - а²) + (х²а - 2ах) = (2х³ - а²) + ax(x - 2) -
    - группировка не удачная 

  • при каком значение p в разложении на множители многочлена x^2+px-10 содержится множитель (x-2)


    Решение: Попробуй такой метод:
    представь многочлен
    x^2+px-10 как
    произведение (х-2)(х+у), получается
    х^2+px-10=(х-2)(х+у)
    х^2+px-10=х^2+ху-2х-2у
    как мы видим, свободные члены равны
    -10=-2у, откуда следует у=5, подставляем
    х^2+px-10=х^2+5х-2х-10
    х^2+px-10=х^2+3х-10
    отсюда следует, что р=3
    ОТВЕТ: р=3

  • Квадратный трехчлен. Выведите формулу разложения квадратного трехчлена ах2 + вх + с, где а =\= 0, на линейные множители.


    Решение: Квадратным трёхчленом называется многочлен вида \( ax^{2}\) + вх + с, где a,b,c - числа, x - переменная, причём a не равно нулю.

    Формула разложения квадратного трёхчлена представляется в виде:

    (ax - ax1)(x- x2), выведем данную формулу.

    \( ax^{2} \) + вх + с

    Вынесем a за скобки, тогда получим:

    a(\( x^{2}\) + в/aх + с/a).

    Из теоремы Виета для квадратичной функции известно, что

    x1*x2 = c/a

    x1 + x2 = -b/a. Здесь и далее x1 и x2 - корни квадратного уравнения \( ax^{2}\) + вх + с = 0.

    Преобразуем в соответствии с теоремой Виета:

    a(\( x^{2}\) - (x1 + x2) х + x1x2) =>

    => a((\( x^{2}\) - xx1) - (x2x - x1x2)) = >

    => a(х (х — x1) — x2(х — x1)) = > a(x - x1)(x - x2) =>

    => (ax - ax1)(x - x2).

  • Разложите на множители многочлен, найдя подбором один из его целых корней
    \( x^{3} +5 x^{2} -18 \)


    Решение: х³+5х²-18
    Один из целых корней равен (-3).
    (-3)³+5*(-3)²-18=-27+45-18=0
    Разделим многочлен на (х+3)
    х³+5х²-18  I  (x+3)
    x³+3x²  x²+2x-6
       2x²-18
       2x²+6x
       -6x-18
       -6x-18
       0
    x³+5x²-18=(x+3)(x²+2x-6)
    В принципе уже многочлен разложен на множители, но можно  продолжить:
    x²+2x-6=0
    D=2²+24=28
    √28=√(4*7)=2√7
    x1=(-2-2√7)/2=-1-√7
    x2=-1+√7

    x²+2x-6=(x+1+√7)(x+1-√7)
    x³+5x²-18=(x+3)(x+1+√7)(x+1-√7)

  • Разложение многочленов на множители. Решите уравнение: x³ + 5x² + 10x +25 =0


    Решение: Решаем с помощью Формулы Кардано
     Заменим $$ x=y- \frac{5}{3} $$, получаем
    $$ (y- \frac{5}{3} )^3+5(y- \frac{5}{3} )^2+10(y- \frac{5}{3} )+25=0\\ y^3-5y^2+ \frac{25}{3} y- \frac{125}{27} +5y^2- \frac{50}{3}y+ \frac{125}{9} +10y- \frac{50}{3}y+25=0\\ y^3+ \frac{5}{3}y+ \frac{475}{27}=0 $$
    Сделаем подстановку Виета
     $$ y=t- \frac{5}{9t} $$, тогда получаем
    $$ t^3- \frac{5}{3} t+ \frac{25}{27t} - \frac{125}{729t^3} + \frac{5}{3} t- \frac{25}{27t} + \frac{475}{27} =0\\ \\ t^3- \frac{125}{729t^3}+\frac{475}{27}=0 \\ t^6+\frac{475}{27}t^3-\frac{125}{729}=0 $$
    Пусть $$ \sqrt[3]{a} =t $$, тогда
    $$ a^2+\frac{475a}{27}-\frac{125}{729}=0 $$
    Дальше квадратное уравнение
    $$ D=b^2-4ac=\frac{8375}{27} \\ a_{1,2}= \dfrac{-\frac{475}{27}\pm\frac{5 \sqrt{335} }{3 \sqrt{3} }}{2} $$
    Возвращаясь к заменам, получим ответ
    $$ x=\frac{-10+ \sqrt[3]{-1900+60 \sqrt{1005} }+ \sqrt[3]{-1900-60 \sqrt{1005} } }{6} $$

  • Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения:
    36а⁴-25
    216х³-1
    100b²-140bx²+49x⁴
    125b³+27
    (5a-1/5)²
    (3a-5b²)(9a²+15ab²+25b⁴)
    (0,8x+5)(5-0,8x)
    (7x+0,4)²
    (6y+1)(36y²-6y+1)
    25x²+60xy+36y²


    Решение: 36a^4 - 25 = (6a^2)^2 - 5^2 = (6a^2 - 5)(6a^2 + 5)
    216x^3 - 1 = (6x)^3 - 1^3 = (6x-1)(36x^2+6x+1)
    100b^2 - 140bx^2 + 49x^4 = (10b - 7x^2)^2=(10b-7x^2)(10b-7x^2)
    125b^3 + 27 = (5b + 3)(25b^2 - 15b + 9)
    (5a - 1/5)^2 = 25a^2 - 2a + 1/25)
    (3a - 5b^2)(9a^2 + 15ab^2 + 25b^4) = (3a)^3 - (5b^2)^3 = 27a^3 - 125b^6
    (0,8x+ 5)(5 - 0,8x) = (5 + 0,8x)(5 - 0,8x) = 5^2 - (0,8x)^2  = 25 - 0,64x^2
    (7x+ 0,4)^2 = 49x^2 + 5,6x + 0,16
    (6y + 1)(36y^2 - 6y + 1) = (6y)^3 + 1^3 = 216y^3 + 1
    25x^2 + 60xy + 36y^2 = (5x + 6y)^2 = (5x + 6y)(5x + 6y).

  • Разложение многочленов на множители:

    а)a^3b-2a^2b^2+ab

    б)5a+5b-ay-by

    в)a-5b+a^2-5ab

    г)8a-8b-3b^2+3ab

    д)a^4-a^2+6a+6


    Решение: a) ab(a^2-2ab+1)=ab(a-1)^2

    б) a(5-y)+b(5-y)=(5-y)(a+b)

    в) a(1+a)-5b(1+a)=(1+a)(a-5b)

    г) 8(a-b)+3b(-b+a)=(a-b)(8-3b)

    д) a^2(a^2-1)+6(a+1)=a^2(a-1)(a+1)+6(a+1)=(a+1)(a^2(a-1)+6)

    как то так

    а) a³b-2a²b²+ab=ab(a²-2ab+1)=ab(a-1)²

    б) 5a+5b-ay-by=5(a+b)-y(a+b)=(a+b)(5-y)

    в) a-5b+a²-5ab=a(1+a)-5b(1+a)=(1+a)(a-5b)

    г) 8a-8b-3b²+3ab=8(a-b)+3ab(a-b)=(a-b)(8+3ab)

    д) a⁴-a²+6a+6=a²(a²-1)+6(a+1)=a²(a-1)(a+1)+6(a+1)=(a+1)(a²(a-1)+6)=(a+1)(a³-a²+6)

  • Решить уравнение разложение многочленов на множители: -¾x² +½(2-x³)=1


    Решение: $$ -\frac{3}{4}x^{2}+\frac{1}{2}(2-x^{3})=1|*4 \\ -3x^{2}+2(2-x^{3})=4 \\ -3x^{2}+4-2x^{3}-4=0 \\ -3x^{2}-2x^{3}=0|*(-1) \\ 3x^{2}+2x^{3}=0 \\ x^{2}(3+2x)=0 \\ x^{2}=0 $$    или  $$ 3+2x=0 \\ x=0 $$                       $$ 2x=-3 $$

                                                 $$ x=-1,5 $$

    Ответ: 0; -1,5

  • Решите уравнение тема разложение многочленов на множители 2x^3+4x^2-8x-16=0


    Решение: 2x³ + 4x² - 8x - 16 =0 
    2x²(x + 2) - 8(x + 2) = 0 (группируем)
    (2x² - 8)(x + 2) = 0 (вытащим двойку из первого множителя)
    2(x² - 4)(x + 2) = 0 (разложим x² - 4 как разность квадрата)
    2(x - 2)(x + 2)(x + 2) = 0 (получаем такое выражение)
    Отсюда видно, что выражение будет равно 0 если произведение слева равно 0. x*y*z = 0 только тогда, когда хотя бы один из множителей x, y или z равен 0
    Тогда произведение равно нулю если:
    1) x - 2 = 0
    \( x_{1}\) = 2
    2) x + 2 = 0
    \( x_{2} \) = -2
    Ответ: \(x_{1, 2}\) = 2; -2

  • Решите уравнение на тему Разложение многочленов на множители
    а) х (х+2)=0
    б) (х+1)(х+4)=0
    в) z (z-1.6)=0
    г) (у+2)(у-6)=0


    Решение: X ( x+ 2) =0
    Произведение равно 0, когда один из множителей равен 0, значит,
    x = 0
    x + 2 = 0
    x = - 2
    (x + 1)(x + 4) = 0
    x+ 1 = 0
    x = - 1
    x + 4 = 0
    x = - 4
    z( z - 1,6) = 0
    z = 0
    z - 1,6 = 0
    z = 1,6
    (y + 2)( y - 6) =0
    y+ 2 = 0
    y = - 2
    y - 6 = 0
    y = 6

    А) произведение двух множителей равно 0, еси один из них, или оба равны 0: х(х+2)=0 следует либо х=0, либо х+2=0. Отсюда получаем два решения: х=0 и х=-2
    б) аналогично: либо х+1=0, либо х+4+0. Имеем х=-1 и х=-4
    в) z=0 - это первый корень и z-1,6 =0, т. е z=1,6
    г) в 4-м уравнении получаем у=-2 и у=6

<< < 123 4 5 > >>