многочлен »

разложить многочлен на множители - страница 5

  • Дан многочлен 2х3+х2а-2ах-а2. применяя его для разложения на множители способ группировки можно поступить так а) сгруппировать попарно 1-й и 2-й 3-й и 4-й члены б) сгруппировать попарно 1-й и 3-й 2-й и 4-й члены в) сгруппировать попарно 1-й и 4-й 2-й и 3-й члены В каких случаях группировка окажется удачной и приведёт к разложению многочлена на множители а в каких нет?


    Решение: Решение 
    а) 2х³ + х²а - 2ах - а² = (2х³ + х²а) - (2ах + а²) = x²(2x + a) -  a(2x + a) =
    = (2x + a)*(x² - a) - группировка удачнaя 
    б) 2х³ + х²а - 2ах - а² = (2x³ - 2ax) + ( x²a - a²) = 2x(x² - a) + a( x² - a) =
    = (x² - a)*(2x + a) группировка удачнaя 
    в) 2х³ + х²а - 2ах - а² = (2х³ - а²) + (х²а - 2ах) = (2х³ - а²) + ax(x - 2) -
    - группировка не удачная 

  • при каком значение p в разложении на множители многочлена x^2+px-10 содержится множитель (x-2)


    Решение: Попробуй такой метод:
    представь многочлен
    x^2+px-10 как
    произведение (х-2)(х+у), получается
    х^2+px-10=(х-2)(х+у)
    х^2+px-10=х^2+ху-2х-2у
    как мы видим, свободные члены равны
    -10=-2у, откуда следует у=5, подставляем
    х^2+px-10=х^2+5х-2х-10
    х^2+px-10=х^2+3х-10
    отсюда следует, что р=3
    ОТВЕТ: р=3

  • Квадратный трехчлен. Выведите формулу разложения квадратного трехчлена ах2 + вх + с, где а =\= 0, на линейные множители.


    Решение: Квадратным трёхчленом называется многочлен вида \( ax^{2}\) + вх + с, где a,b,c - числа, x - переменная, причём a не равно нулю.

    Формула разложения квадратного трёхчлена представляется в виде:

    (ax - ax1)(x- x2), выведем данную формулу.

    \( ax^{2} \) + вх + с

    Вынесем a за скобки, тогда получим:

    a(\( x^{2}\) + в/aх + с/a).

    Из теоремы Виета для квадратичной функции известно, что

    x1*x2 = c/a

    x1 + x2 = -b/a. Здесь и далее x1 и x2 - корни квадратного уравнения \( ax^{2}\) + вх + с = 0.

    Преобразуем в соответствии с теоремой Виета:

    a(\( x^{2}\) - (x1 + x2) х + x1x2) =>

    => a((\( x^{2}\) - xx1) - (x2x - x1x2)) = >

    => a(х (х — x1) — x2(х — x1)) = > a(x - x1)(x - x2) =>

    => (ax - ax1)(x - x2).

  • Разложите на множители многочлен, найдя подбором один из его целых корней
    \( x^{3} +5 x^{2} -18 \)


    Решение: х³+5х²-18
    Один из целых корней равен (-3).
    (-3)³+5*(-3)²-18=-27+45-18=0
    Разделим многочлен на (х+3)
    х³+5х²-18  I  (x+3)
    x³+3x²  x²+2x-6
       2x²-18
       2x²+6x
       -6x-18
       -6x-18
       0
    x³+5x²-18=(x+3)(x²+2x-6)
    В принципе уже многочлен разложен на множители, но можно  продолжить:
    x²+2x-6=0
    D=2²+24=28
    √28=√(4*7)=2√7
    x1=(-2-2√7)/2=-1-√7
    x2=-1+√7

    x²+2x-6=(x+1+√7)(x+1-√7)
    x³+5x²-18=(x+3)(x+1+√7)(x+1-√7)

  • Разложение многочленов на множители. Решите уравнение: x³ + 5x² + 10x +25 =0


    Решение: Решаем с помощью Формулы Кардано
     Заменим $$ x=y- \frac{5}{3} $$, получаем
    $$ (y- \frac{5}{3} )^3+5(y- \frac{5}{3} )^2+10(y- \frac{5}{3} )+25=0\\ y^3-5y^2+ \frac{25}{3} y- \frac{125}{27} +5y^2- \frac{50}{3}y+ \frac{125}{9} +10y- \frac{50}{3}y+25=0\\ y^3+ \frac{5}{3}y+ \frac{475}{27}=0 $$
    Сделаем подстановку Виета
     $$ y=t- \frac{5}{9t} $$, тогда получаем
    $$ t^3- \frac{5}{3} t+ \frac{25}{27t} - \frac{125}{729t^3} + \frac{5}{3} t- \frac{25}{27t} + \frac{475}{27} =0\\ \\ t^3- \frac{125}{729t^3}+\frac{475}{27}=0 \\ t^6+\frac{475}{27}t^3-\frac{125}{729}=0 $$
    Пусть $$ \sqrt[3]{a} =t $$, тогда
    $$ a^2+\frac{475a}{27}-\frac{125}{729}=0 $$
    Дальше квадратное уравнение
    $$ D=b^2-4ac=\frac{8375}{27} \\ a_{1,2}= \dfrac{-\frac{475}{27}\pm\frac{5 \sqrt{335} }{3 \sqrt{3} }}{2} $$
    Возвращаясь к заменам, получим ответ
    $$ x=\frac{-10+ \sqrt[3]{-1900+60 \sqrt{1005} }+ \sqrt[3]{-1900-60 \sqrt{1005} } }{6} $$

<< < 345 6 7 > >>