разложить многочлен на множители - страница 7
Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приемов.
1. 81-(с^2+6с)^2
16m^2-(m-n)^2
2. 16-(x^2-2xy+y^2)
4-p^2-2pq-q^2)
3.c^2-d^2+6c+9
r^2-s^2-10s-25
Решение: Во всех примерах проверяется ваше умение использовать разность квадратов и умение сворачивать квадратный многочлен в полный квадрат.
1. 81-(с^2+6с)^2=9^2 - (с^2+6с)^2=(9-с^2-6с)(9+с^2+6с)=(9-с^2-6с)(с+3)^2
16m^2-(m-n)^2=(4m)^2-(m-n)^2=(4m-m+n)(4m+m-n)=(3m+n)(5m-n)
2. 16-(x^2-2xy+y^2)=4^2-(x-y)^2=(4-x+y)(4+x-y)
4-(p^2-2pq-q^2)=2^2-(p-q)^2=(2-p+q)(2+p-q)
3.c^2-d^2+6c+9=(c+3)^2-d^2=(c+3-d)(c+3+d)
r^2-s^2-10s-25=r^2-(s^2+10s+25)=r^2-(s+5)^2=(r+s+5)(r-s-5)
Как решить уравнение Тема - Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно. Вот такое (2х+3) (3х-6)=0
Решение: (2х+3)(3х-6) - это многочлен, разложенный на множители
6х²-12х+9х-18=6х²-3х-18, это сам многочлен.
Эти действия применяются для решения уравнений, сокращений и т. д.
(2х+3)(3х-6)=0
Решение:
2х+3=0
2х=-3
х1=-3/2
3х-6=0
3х=6
х2=6/3=2
Чтобы данное уравнение было равно 0, один из множителей должен быть равен 0. Отсюда получается 2 корня, при которых уравнение равно 0. Можно решить уравнение при помощи дискриминанта:
6х²-3х-18=0
D=9-4*6*(-18)=441
x1=(3-21)/12=-18/12=-3/2
x2=(3+21)/12=24/12=2
Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приемов: 34,8. a) 4m^3 -4n^3
b) 13a^3 +13b^3;
34.9. a) 6x^5y - 24xy^3;
b) 0,1x^4y -2,7xy^4;
34.10. a) (m+3)^3 -8;
b) (c-1)^3+27;
34.11. a) (x^2+1)^2 - 4x^2;
b) (y^2+2y)^2 -1;
34.12. в) 81-(c^2+6c)^2;
г) 16m^2 - (m-n)^2
Решение: 34.8
а) 4m³-4n³=4(m³-n³)=4(m-n)(m²+mn+n²)
б) 13а³+13b³=13(a³+b³)=13(a+b)(a²-ab+b²)
в) 15с³+15d³=15(c³+d³)=15(c+d)(c²-cd+d²)
г) 21s³-21t³=21(s³-t³)=21(s-t)(s²+st+t²)
34.9
a) 6x⁵y-24xy³=6xy(x⁴-4y²)=6xy(x²-2y)(x²+2y)
б) 0,1х⁴у-2,7ху⁴=0,1ху(х³-27у³)=0,1ху(х-3у)(х²+3ху+9у²)
в) 0,3у²-2,7у⁶=0,3у²(1-9у⁴)=0,3у²(1-3у²)(1+3у²)
г) 3а⁴b²+24ab⁵=3ab²(a³+8b³)=3ab²(a+2b)(a²-2ab+4b²)
34.10
a) (m+3)³-8³=(m+3-2)((m+3)²+2(m+3)+2²)=(m+1)(m²+6m+9+2m+6+4)=
=(m+1)(m²+8m+19)
б) (с-1)³+27=(с-1+3)((с-1)²-3(с-1)+3²)=(с+2)(с²-2с+1-3с+3+9)=
=(с+2)(с²-5с+13)
в) (а-12)³-125=(а-12-5)((а-12)²+5(а-12)+5²)=(а-17)(а²-24а+144+5а-60+25)=
=(а-17)(а²-19а+109)
г) (b+4)³+64=(b+4+4)((b+4)²-4(b+4)+4²)=(b+8)(b²+8b+16-4b-16+16)=
=(b+8)(b²+4b+16)
34.11
a) (x²+1)²-4x²=(x²+1-2x)(x²+1+2x)=(x²-2x+1)(x²+2x+1)=(x-1)²(x+1)²
б) (у²+2у)²-1=(у²+2у-1)(у²+2у+1)=(у²+2у-1)(у+1)²
в) 81-(с²+6с)²=(9-(с²+6с))(9+с²+6с)=(9-с²-6с)(с²+6с+9)=(9-с²-6с)(с+3)²
г) 16m²-(m-n)²=(4m-(m-n))(4m+m-n)=(4m-m+n)(5m-n)=(3m+n)(5m-n)
34.12
в) 16-(х²-2ху+у²)=16-(х-у)²=(4-(х-у))(4+х-у)=(4-х+у)(4+х-у)
г) 4-p²-2pq-q²=4-(p²+2pq+q²)=4-(p+q)²=(2-(p+q))(2+p+q)=(2-p-q)(2+p+q)(3a-b)(a+b)+(b-3a)(b+3a) надо разложить на множители. (тема - разложение многочленов на множители разными приёмами).
Решение: (3a-b)(a+b)+(b-3a)(b+3a)=(3a-b)(a+b)-(-b+3a)(-b-3a)=(3a-b)(a+b)-(3a-b)(-3a-b)==(3a-b)(a+b-3a-b)=(3a-b)*(-2a)
мы всегда можем вынести минус один за скобку и поменять знаки на противоположные в самой скобке, что мы и сделали
(3a-b)(a+b)+(b-3a)(b+3a)=3a^2+2ab-b^2+(b-3a)*(b+3a)=3a^2+2ab-b^2+b^2-9a^2=3a^2+2ab-9a^2=-6a^2+2ab
I. Разложите многочлены на множители, группируя одночлены разными способами:
а). xy+xz+6y+6z
б). 4а+4b+bx+ax
II. Заключите два последних слагаемых в скобки, поставив перед ними знак " - ", и затем выполните разложение на множители:
а). x(y+z)-2y-2z
б). a(b+c)-b-c
B). a(b-c)-4b+4c
c). a(a-b)-ac+bc
III. Разложите на множители:
А). ab+ac-b-c
б). mn-m+n-1
B). bd-ad+3a-3b
c). 2b-2c+ab-ac
Решение: а).xy+xz+6y+6z= x(y+z)=6(y+z)= (x+6)(y+z)б).4a+4b+bx+ax=4(a+b)+x(a+b)=(4+x)(a+b)
а). x(y+z)-2y-2z=x(y+z)-2(y+z)=(x-2)(y+z)
б). a(b+c)-b-c=a(b+c)-1*(b+c)=(a-1)(b+c)
B). a(b-c)-4b+4c=a(b-c)-4(b-c)=(a-4)(b-c)
c). a(a-b)-ac+bc=a(a-b)-c(a-b)=(a-c)(a-b)
А). ab+ac-b-c=a(b+c)-1*(b+c)=(a-1)(b+c)
б). mn-m+n-1=m(n-1)+1*(n-1)=(m+1)(n-1)
B). bd-ad+3a-3b=d(b-a)-3(b-a)=(d-3)(b-a)
c). 2b-2c+ab-ac=2(b-c)+a(b-c)=(2+a)(b-c)
