многочлен »
разложить многочлен на множители - страница 6
Помогите разложить многочлен на множители \(x^4-10x^3+38x^2-65x+40=0\)
Решение: $$ x^4-10x^3+38x^2-65x+40=0\\(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)=\\=adx^4+(ae+bd)x^3+(af+be+cd)x^2+(bf+ce)x+cf\\\begin{cases}ad=1\\ae+bd=-10\\af+be+cd=38\\bf+ce=-65\\cf=40\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=d=1\\e+b=-10\\8+be+5=38\\5b+8e=-65\\c=8\\f=5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=1\\b=-5\\c=8\\d=1\\e=-5\\f=5\end{cases}\\x^4-10x^3+38x^2-65x+40=(x^2-5x+8)(x^2-5x+5)\\x^2-5x+8=0\\D=25-4\cdot8=25-32=-7<0\;pew.\;HET\\x^2-5x+5=0\\D=25-4\cdot5=5\\x_1=\frac{5-\sqrt5}2,\;x_2=\frac{5+\sqrt5}2 \\ x^4-10x^3+38x^2-65x+40=(x^2-5x+8)\left(x-\frac{5+\sqrt5}2\right)\left(x-\frac{5-\sqrt5}2\right) $$
Как разложить многочлен на множители m^4+2-m-2m^3
Решение: $$ m^{2}+2-m-2m^{3} \\ (m^{2}-m)+(2-2m^{3}) \\ m(m-1)+2(1-m^{3} ) $$Это и есть разложение на множители, там конечно же если тебе нужно продолжить просто вторую скобку раскрой как разность кубов
1. Разложить многочлен на множители:
а) а4 –18а2 + 81;
б) а5 + а3 – а2 –1;
в) а5 +3а4 – 4а3 – 12а2;
г) а4 + 2а3 – 2а –1;
д) а4 + а2 + 1.
2. Решить уравнение разложением на множители:
а) 9х3 – 18х2 = х – 2;
б) у3 – у2 = у – 1;
в) х3 – 3х2 – 3х + 1 = 0;
г) х4 – 2х3 + 2х – 1 = 0;
д) х5 + 5х3 – 6х2 = 0.
Решение: №1
а) а4 –18а2 + 81=(a2-9)^2=(a2-9)(a2-9);
б) а5 + а3 – а2 –1=a2(a3-1)+a3-1=(a3-1)(a2+1);
в) а5 +3а4 – 4а3 – 12а2=;a4(a+3)-3a2(a+3)=(a+3)(a4-3a2);
г) а4 + 2а3 – 2а –1=(a2+1)(a2-1)+2a(a2-1)=(a2-1)(a2+1+2a; д) а4 + а2 + 1= а4 + 2а2 + 1-a2=(a2+1)2 -a2=(a2-a+1)(a2+a+1).№ 2
а) 9х3 – 18х2 = х – 2
9x2(x-2)-(x-2)=0
(x-2)(9x2-1)=0
(x-2)(3x-1)(3x+1)=0
x-2=0 ; 3x-1=0 ; 3x+1=0
x=2 ; x=1/3 ; x=-1/3
б) у3 – у2 = у – 1;
y2(y-1)-(y-1)=0
(y-1)(y2-1)=0
(y-1)(y-1)(y+1)=0
y-1=0 y+1=0
y=1 y=-1
в) х3 – 3х2 – 3х + 1 = 0;
х3+1 – 3х(x +1) = 0;
(x+1)(x2-x+1)-3x(x+1)=0
(x+1)(x2-x+1-3x)=0
(x+1)(x2-4x+1)=0
x+1=0 x2-4x+1=0
x=-1 D=16-4*1=12
x=-1 x=2±√3г) х4 – 2х3 + 2х – 1 = 0
x4-1 -2x(x2-1)=0
(x2-1)(x2+1)-2x(x2-1)=0
(x2-1)(x2+1-2x)=0
x2-1=0 x2-2x+1=0
(x-1)(x+1)=0 D=4-4*1=0
x=±1 x=-b/2a=1
д) х5 + 5х3 – 6х2 = 0
x2(x3+5x-6)=0
x2=0 | x3+5x-6=0
x=0 | x3-1+5x-5=0
x=0 | (x-1)(x2+x+1)+5(x-1)=0
x=0 | (x-1)(x2+x+6)=0
x=0 | x-1=0 | x2+x+6=0
x=0 | x=1 | D=1-4*6=-23 - Нет корней.разложить многочлен на множители:
а)7x^2+5xy-12y^2
б)5x^2-8xy+3y^2
Решение: $$ А) a=7, b=5y, c= -12y^{2} \\ D= 25y^2+ 4\cdot7\cdot 12y^{2} = 361y ^{2};\\ x_1= \frac{-5y- \sqrt{ 361y^{2} } }{14} = \frac{-5y-19y}{14} =\\ = \frac{24y}{14} = -\frac{12y}{7} \\ ;x2 = \frac{-5y+19y}{14} = y \\ 7 x^{2} + 5xy - 12 \\ y^{2} = (x-y)(7x+12y)$$
x^2+6x+8 - разложить многочлен на множители выделением полного квадрата двучлена и использованием формулы разности квадратов.
Решение: X^2+6x+8 это не разложение квадрата суммы. так как вместо 8 должно стоять 9. чтобы добавить до полного квадрата двучлена надо прибавит 1. а чтобы наши действия были законными сразу же вычтем 1. (x^2+6x+8+1)-1=(x^2+6x+9)-1=
(x+3)^2-1 это мы выделили полный квадрат двучлена, теперь применим формулу разности квадратов (x+3)-первое число, 1-второе число, единица в любой степени всегда=1. Получаем (x+3)^2-1^2=((x+3)-1)*((x+3)+1)=(x+3-1)*(x+3+1)=(x+2)*(x+4). Вот и все! Если хочете можно проверить-перемножить скобки-получится исходный квадратный трехчленЗадание по алгебре 7 класс, разложить многочлен на множители: а3+6а2+12а+7
Решение: Если данное выражение имеет при целочисленьом разложении(расмотрим как уравнение, приравняв к 0, то-если есть целые корни, то они из сомножителей свободного члена - числа 7, это теорема Виета для кубичаских уравнений )
пусть $$ a_1,\ a_2,\ a_3 $$ ? тогда имеем
$$ \left \{ {{a_1+a_2+a_3=-6} \atop {a_1\cdot a_2+a_1\cdot a_3+a_2\cdot a_3=12}}\atop{a_1\cdot a_2\cdot a_3=-7} \right. $$
целыми множителями числа -7, есть 4 числа $$ \pm1;\ \pm7;\\ $$
подставим-1
$$ (-1)^3+6\cdot(-1)^2+12\cdot(-1)+7=-1+6\cdot1-12+7=\\ =-1+6-12+7=13-13=0;\\ x_1=-1;\\ a^3+a^2+5a^2+5a+7x+7=0;\\ a^2\cdot(a+1)+5a\cdot(a+1)+7(a+1)=0;\\ (a+1)\cdot(a^2+5a+7)=0;\\ $$
далее квадратный множитель через дискриминант
$$ a^2+5a+7=0;\\ D=25-42=-17<0;\ a_2\ a_3=\varnothing $$
тогда имеем;
$$ а^3+6a^2+12^а+7=(a+1)\cdot(a^2+5a+7) $$
Разложить многочлен на множители:
1)-a^2+2ab-b^2;
2) 1/3х^2+2/3х+1/3;
3) ax-2a^2x^2+a^3x^3;
4) 4-x^2-2xy-y^2;
5) m^6-1+2m^2-m^4;
6) (2+m)-(2+m)^2-(2+m)^3;
7) (m-n)p^2-2p(m-n)+(m-n);
8) (x-y)z^2+2z(y-x)+(x-y);
9) x(x-y)+y(y-x)-y^2;
10) 16+2(m+n-2)-n(m+n-2)-m(m+n-2);
11) (3-x)^2-(x+4)^2=7;
12) (1-3x)^2-12=(3x+5)^2;
13) (3-x^2)^2-(5-x^2)^2=0
Решение: 1) -(a^2-2ab+b^2) = -(a-b)^2=-(a-b)(a-b)
2)(1+2x+x^2(приводим к общему знаменателю))/3x^2=((x+1)(x+1))/3x^2
3)ax(1-2ax+a^2x^2)=ax(1-a^2x^2)(1-a^2x^2)
4)4-(x^2+2xy+y^2) = 4-(x+y)^2=(2-x-y)(2+x+y)
5)
6)
7)(m-n)(p^2-2p+1)=(m-n)(p-1)(p-1)
8)(x-y)z^2 - 2z(x-y) + (x-y) = (x-y)(z^2-2z+1)=(x-y)(z-1)(z-1)
9)(x-y)(x-y) - y^2=(x-y)^2 - y^2=(x-y-y)(x-y+y)=x(x-2y)
10)16+(m+n-2)(2-n-m)=16-(m+n-2)^2=(4-m-n+2)(4+m-n-2)=(6-m-n)(2+m-n)
11)(3-x-x-4)(3-x+x+4)=7
-(2x+1)*7=7
2x+1=-1
2x+2=0
2(x+1) = 0
12)1-6x+9x^2-12=9x^2+30x+25
-11-6x-30x-25=0
-36x-36=0
-36(x+1) = 0
13)(3-x^2-5+x^2)(3-x^2+5-x^2) = 0
-2(8-2x^2) = 0
-4(4-x^2) = 0
-4(2-x)(2+x) = 01) вынести общий множитель за скобки \(x^2 + 5xy\)
2) решить уравнение \(7a^6 - 9a^4\)
3) разложить многочлен на множители a(x-y) - (x-y)
Решение: 1) х²+5ху=х(х+5у)
7а⁶-9а⁴=а⁴(7а²-9)
а(х-у)-(х-у)=(х-у)(а-1)
2) х³+25=0
х³=-25
х=-∛25
3)(у-3х)²+(х²+у)(3х-у)=(зх-у)²+(х²+у)(3х-у)=(3х-у)(3х-у+х²+у)=(3х-у)(х²+3х)=
=х(3х-у)(х+3)
1) $$ x^2+5xy=x(x+5y) \\ 7a^6-9a^4=a^4(7a^2-9) \\ a(x-y)-(x-y)=(x-y)(a-1) $$
2) $$ x^3+25=0;x^3=-25;x=- \sqrt[3]{25} $$
3) $$ (y-3x)^2+(x^2+y)(3x-y)=(3x-y)^2+(x^2+y)(3x-y)= \\ =(3x-y)(3x-y+x^2+y)=x(3x-y)(3+x). $$
Разложить многочлен x^3+3x^2-x-3 на множители
Решение: Воспользуемся способом группировки(х3+3x^2)-(X+3)
Вынесем из первой скобки X^2
X^2(x+3)-(X+3)
скобки получили одинаковые
значит мы складываем или вычитаем те числа которые стоят перед одинаковыми скобками, но сами скобки не меняем то есть
(X^2-1)(x+3)
Разложите на множители многочлен:
b^4-b^2-2b-1
Решение: $$ b^4-b^2-2b-1=b^4-(b^2+2b+1)=b^4-(b+1)^2=(b^2)^2-\\ \\ -(b+1)^2=(b^2-(b+1))(b^2+(b+1))=(b^2-b-1)(b^2+b+1) $$ Данное выражение раскладывается на множители следующим образом:
b^4-b^2-2b-1=b^4-(b^2+2b+1)=b^4-(b+1)^2=(b^2-(b+1))*(b^2+(b+1))=(b^2-b-1)(b^2+b+1)
Первую скобку можно также разложить на множители.
Однако в ее разложении будут выражения содержащие корень. Это не совсем удобно поэтому ее раскладывать не стоит.
Но если тебе нужно полное разложение на множители то эта скобка раскладывается на множители следующим образом:
Так как она представляет собой квадратный многочлен, то пользуясь формулой разложения квадратного многочлена на множители получим:
b^2-b-1=(b минус дробь, где числитель равен 1 минус квадратный корень из 5, а знаменатель равен 2) *(b плюс дробь, у которой числитель равен 1 плюс квадратный корень из 5, а знаменатель равен 2)
Выражение b^2+b+1 в действительных числах не раскладывается на множители, но в области комплексных чисел раскладывается на множители. Выражение получается аналогичное тому что я описал выше для первой скобки, только перед каждой скобкой этого разложения нужно поставить число i, являющееся комплексным.
Но если этого ничего не нужно, то вот стандартный ответ:
b^4-b^2-2b-1 = (b^2-b-1)(b^2+b+1)
