представить многочлен в виде произведения - страница 2
1. представьте многочлен в виде произведения
а) х в 3 степени-64*х
б) 3*х во степени - 75*у во 2 степени
2. Решить уравнение
а) у в 3 степени +9*у=0
б)(х+3) во 2 степени-49=0
в)(у-4) во 2 степени-(у+3) во 2 степени=0
Решение: X³ - 64x = x * ( x² - 64 ) = x * ( x - 8 ) * ( x + 8 )
3x ² - 75y² = 3 * ( x² - 25y² ) = 3 * ( x - 5 ) * ( x + 5 )
-
y³ + 9y = 0
y * ( y + 9 ) = 0
y = 0
y + 9 = 0 ; y = - 9
Ответ 0 ; - 9
-
( x + 3 )² - 49 = 0
( x + 3 - 7 )*( x + 3 + 7 ) = 0
( x - 4 )*( x + 10 ) = 0
x- 4 = 0 ; x = 4
x + 10 = 0 ; x = - 10
Ответ 4 ; - 10
-
( y - 4 )² - ( y + 3 )² = 0
( y - 4 - ( y + 3 )) *( y - 4 + ( y + 3 ) ) = 0
( y - 4 - y - 3 )*( y - 4 + y + 3 ) = 0
- 7 * ( 2y - 1 ) = 0
2y - 1 = 0 ; 2y = 1 ; y = 0,5
Ответ 0,5Умножение многочлена на многочлен. При нахождении произведения многочленов, используйте умножение одночлена на многочлен: а)(2x²+7x-3)(x+3) решение: б)(x³-11xy+5y)(xy-x) решение: в)(a-b-c+k)(1-ac) решение: г)(9m²-5mn+n²)(3m-n) решение: д)(¾ab-2b²+½ )(a+6b)
Решение: А)(2x²+7x-3)(x+3) решение:
сначала умножаем 2х² на х, потом 7х на х, потом (-3) на х, теперь также умножаем на второе слагаемое второй скобки- число 3: потом 2х² на 3, потом 7х на 3, потом (-3) на 3
И все складываем
(2x²+7x-3)(x+3)=2х²·х+7х·х+(-3)·х+2х²·3+7х·3+(-3)·3=2х³+7х²-3х+6х²+21х-9=[7х² и 6х²- подобные, складываем их получаем 13х²; -3x и 21х тоже подобные, складываем и получаем 17х]
Ответ. =2х³+13х²+17x-9
б)(x³-11xy+5y)(xy-x) решение:
=x³·xy-11xy·xy+5y·xy-x³·x-11xy·(-x)+5y·(-x)=x⁴y-11x²y²+5xy²-x⁴+11x²y-5xy
в)(a-b-c+k)(1-ac)=a·1-b·1-c·1+k·1+a·(-ac)-b·(-ac)-c·(-ac)+k·ac=a-b-c+k-a²c+abc+ac²+ack
г)(9m²-5mn+n²)(3m-n)=9m²·3m-5mn·3m+n²·3m+9m²·(-n)-5mn·(-n)+n²·(-n)=27m³-15m²n+3mn²-9m²n+5mn²-n³=[27m³ и (-n³) - подобные; -15m²n и -9m²n тоже подобные; 3mn² и 5mn² также подобные]
=26n³-24m²n+8 mn²
д)(¾ab-2b²+½ )(a+6b)=(¾ab)·a-2b²·a+½ ·a+(¾ab)·6b-2b²·6b+½ ·6b=(¾)a²b-2ab²+(½)a+(18/4)ab²-12b³+3b==(¾)a²b+(½)a+(14/4)ab²-12b³+3b=(¾)a²b+(½)a+(7/2)ab²-12b³+3b
1) Разложить многочлен на множители, предварительно выделив полный квадрат. в)x^2-2xy-3y^2= д)p^2-5p+6= ж)x^2+x-12= и)x^2-x-12= 2) Представить целое выражение в виде произведения многочленов. а)86x-43y+2ax-ay= б)10by-25bx-6ay+15ax= в)x^2+xy-xz-yz= г)m^4+2-m-2m^3= д)5a^2-5ab+5b^2-5ab= е)y-y^2-y^3+y^4= ж)b^3+b^2c-b^2d-bcd= з)x^2y-z^2x+y^2x-yz^2=
Решение: №1.в) $$ x^2-2xy-3y^2=x^2-2xy+y^2-y^2-3y^2=(x-y)^2-4y^2=\\=(x-y)^2-(2y)^2=(x-y+2y)(x-y-2y)=(x+y)(x-3y) $$
д) $$ p^2-5p+6=p^2-6p+p+9-3=\\=p^2-2\cdot3p+9+p-3=(p-3)^2+p-3=(p-3)(p-3+1)=(p-3)(p-2) $$
ж) $$ x^2+x-12=x^2+8x-7x+16-28=x^2+2\cdot4x+16-7x-28=\\=(x+4)^2-7(x+4)=(x+4)(x+4-7)=(x+4)(x-3) $$
и) $$ x^2-x-12=x^2-8x+7x+16-28=x^2-2\cdot4x+16+7x-28=\\=(x-4)^2+7(x-4)=(x-4)(x-4+7)=(x-4)(x+3) $$
№2.
а) $$ 86x-43y+2ax-ay=43(2x-y)+a(2x-y)=(2x-y)(43+a) $$
б) $$ 10by-25bx-6ay+15ax=10by-6ay-25bx+15ax=\\=2y(5b-3a)-5x(5b-3a)=(5b-3a)(2y-5x) $$
в) $$ x^2+xy-xz-yz=x(x+y)-z(x+y)=(x+y)(x-z) $$
г) $$ m^4+2-m-2m^3=m^4-2m^3-m+2=m^3(m-2)-(m-2)=(m-2)(m^3-1)=\\=(m-2)(m-1)(m^2+m+1) $$
д) $$ 5a^2-5ab+5b^2-5ab=\\=5a^2-10ab+5b^2=5(a^2-2ab+b^2)=5(a-b)^2=5(a-b)(a-b) $$
е) $$ y-y^2-y^3+y^4=y^4-y^3-y^2+y=y(y^3-y-y^2+1)=y(y(y^2-1)-(y^2-1))=\\=y(y^2-1)(y-1)=y(y+1)(y-1)(y-1) $$
ж) $$ b^3+b^2c-b^2d-bcd=b(b^2+bc-bd-cd)=b(b(b+c)-d(b+c))=b(b+c)(b-d) $$
з) $$ x^2y-z^2x+y^2x-yz^2=x^2y+y^2x-z^2x-yz^2=xy(x+y)-z^2(x+y)=(x+y)(xy-z^2) $$
1)
в) $$ x^2-2xy-3y^2=x^2-2xy+y^2-4y^2=(x-y)^2-(2y)^2=(x-y-2y)(x-y+2y)=(x-3y)(x+y) $$
д) $$ p^2-5p+6=p^2-4p+4-p+2=(p-2)^2-(p-2)=(p-2)(p-2-1)=(p-2)(p-3) $$
ж) $$ x^2+x-12=x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{49}{4}=(x+\frac{1}{2})^2-(\frac{7}{2})^2=(x+\frac{1}{2}-\frac{7}{2})(x+\frac{1}{2}+\frac{7}{2})=(x-3)(x+4) $$
и) $$ x^2-x-12=x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{49}{4}=(x-\frac{1}{2})^2-(\frac{7}{2})^2=(x-\frac{1}{2}-\frac{7}{2})(x-\frac{1}{2}+\frac{7}{2})=(x-4)(x+3) $$
2)
а) 86х-43у+2ах-ау=43(2х-у)+а(2х-у)=(2х-у)(43+а)
б) 10by-25bx-6ay+15ax=5b(2y-5x)-3a(2y-5x)=(2y-5x)(5b-3a)
в) $$ x^2+xy-xz-yz=x(x+y)-z(x+y)=(x+y)(x-z) $$
г) $$ m^4+2-m-2m^3=m^3(m-2)-(m-2)=(m-2)(m^3-1) $$
д) $$ 5a^2-5ab+5b^2-5ab=5a(a-b)-5b(a-b)=5(a-b)(a-b) $$
е) $$ y-y^2-y^3+y^4=y(1-y^2)-y^2(1-y^2)=y(1-y^2)(1-y) $$
ж) $$ b^3+b^2c-b^2d-bcd=b^2(b+c)-bd(b+c)=b(b+c)(b-d) $$
з) $$ x^2y-z^2x+y^2x-yz^2=xy(x+y)-z^2(x+y)=(x+y)(xy-z^2) $$
1. Представьте в виде произведения многочленов:
а) а^{3} + 8;
б) 8n^{3} - 27;
в) p^{3} - 64p^{3}.
2. Представьте в виде многочлена стандартного вида:
(а + 4b)^{3} + (a - 4b)^{3}
Решение: А) а^{3} + 8 = a³ + 2³ = (a + 2)(a² - 2a + 4)
б) 8n^{3} - 27 = (2n)³ - 3³ = (2n - 3)(4n² + 6n + 9)
в) p^{3} - 64p^{3} = - 63p³
или, можно и по формулам
p^{3} - 64p^{3} = p³ - (4p)³ = (p - 4p)(p² + 4p² + 16p²) = - 3p(21p²) = - 63p³
2. Представьте в виде многочлена стандартного вида:
(а + 4b)³ + (a - 4b)³ = (a + 4b + a - 4b)](a + 4b)² - (a + 4b)(a - 4b) + (a - 4b)²] =
= 2a[a² + 8ab + 16b² - a² + 16b² + a² - 8ab + 16b²] =
= 2a(a² + 48b²)
Упростите выражение и найдите его значение:
(4х-3)(16х в 2 степени + 12х +9)-9(х в 3 степени - 3) при х= одной пятой 1/5
х(х в 2 степени- 4х)-(х-з)(х в 2 степени + 3х + 9) при x=1/2 одной второй
(2у+х в 2 степени)(4у в 2 степени - 2х в 2 степени у+х в 4 степени)-(х в 3 степени+у)(х в 3 степени-1) при х=1, у=-1
(у-2) в второй степени + у(у+4) при у=-о.5
4р(р-5)-(2р-3 в 2 степени) при р=1,25
Представьте данный многочлен в виде произведения двучлена и трехчлена:
27х в 3 степени + 0.001
125у в 3 степени + m в 6 степени
343а в 9 степени - 216
Преобразуйте в многочлен стандартного вида: (а+2) в 3 степени
(х-5) в 3 степени
Решение: 1.1)(4x-3)*(16x²+12x+9)-9(x³-3) x=1/5=0.2-2.2*12.04-9*(-2.992)=-26.488+26.928=0.44
2)x*(x²-4x)-(x-3)*(x²+3x+9) x=1/2=0.5
0.5*(-1.75)-(2.5*10.75)=-0.875-26.875=-27.75
3)(2y+x²)*(4y²-2x²+y+x^4)-(x³+y)*(x³-1) x=1 y=-1
(-1*2-1+1)=-2
4)(y-2)²+y(y+4) y=-0.5
6.25-1.75=4.5
5)4p(p-5)-((2p-3)²) p=1.25
-18.75-0.25=-19
2.1)27x³+0.001=3³x³+0.1³=(3x)³+0.1³=(3x+0.1)³
2)125y³+m^6=5³y³+(m²)³=(5y)³+(m²)³=(5y+m²)³
3)343a^9-216=7³(a³)³-6³=(7a³)³-6³=(7a³-6)³
3.1)(a+2)³=а³+6а²+12а+8
2)(х-5)³=х³-15х²+75х-125
1) Разложить на множители
а) 2х(х-1)-3(х-1)
б)ab+ac+4b+4c
2) УПРОСТИТЬ ВЫРАЖЕНИЯ
-0,4а(2а²+3)(5-3а²)
3) ПРЕДСТАВИТЬ МНОГОЧЛЕН В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
а) а²+ab-3a-3b б) kp-kc-px+cx+c-p
Решение: 1. А) 2х(х-1)-3(х-1)=(2х-3)(х-1)
б) аb+ac+4b+4c=(ab+ac)+(4b+4c)=a(b+c)+4(b+c)=(a+4)(b+c).
Представить многочлен в виде произведения №1) x²-xy-4x+4y=
(№2)ab-ac-bx+cx+c-b=
разложить на множители №1) a(a+3)-2(a+3)=
(№2) ax-ay+5x-5y=
разложите на множители №1) x(x-y)+a(x-y)=
(№2) 2a-2b+ca-cb=
Представить многочлен в виде произведения №1)2a-ac-2c+c²=
(№2) bx+by-x-y-ax-ay=
решите уравнение №1) 9x-6(x-1)-5(x+2) (№2) 7-4(3x-1)=5(1-2x)
упростите выражения№1) 2a(a+b-c)-2b(a-b-c)+2c(a-b+c)=
(№2) 3x(x+y+c)-3y(x-y-c)-3c(x+y-c)=
Решение: $$ x^2-xy-4x+4y=x(x-y)-4(x-y)=(x-4)(x-y); $$a(a+3)-2(a+3)=(a-2)(a+3);
ax-ay+5x-5y=a(x-y)+5(x-y)=(a+5)(x-y);
x(x-y)+a(x-y)=(x+a)(x-y);
2a-2b+ca-cb=2(a-b)+c(a-b)=(c+2)(a-b);
$$ 2a-ac-2c+c^2=a(2-c)-c(2-c)=(a-c)(2-c); $$
bx+by-x-y-ax-ay=b(x+y)-1*(x+y)-a(x+y)=(b-1-a)(x+y);
№1) 9x-6(x-1)-5(x+2) -это не уравнение
7-4(3x-1)=5(1-2x);
7-12x+4=5-10x;
-12x+10x=5-7-4;
-2x=-6;
x=-6:(-2);
x=3 - решение
$$ 2a(a+b-c)-2b(a-b-c)+2c(a-b+c)=\\=2a^2+2ab-2ac-2ab+2ab^2+2bc+2ac-2bc+2c^2=2a^2+2b^2+2c^2; \\ 3x(x+y+c)-3y(x-y-c)-3c(x+y-c)=\\=3x^2+3xy+3xc-3xy+3y^2+3yc-3cx-3cy+3c^2=3x^2+3y^2+3c^2; $$
№1) x²-xy-4x+4y= x(x-y)-4(x-y)=(x-4)(x-y)
(№2)ab-ac-bx+cx+c-b=a(b-c)-x(b-c)-(b-c)=(b-c)(a-x-1)
разложить на множители №1) a(a+3)-2(a+3)= (a-2)(a+3)
(№2) ax-ay+5x-5y=a(x-y)+5(x-y)=(x-y)(a+5)
разложите на множители №1) x(x-y)+a(x-y)= (x+a)(x-y)
(№2) 2a-2b+ca-cb=2(a-b)+c(a-b)=(2+c)(a-b)
Представить многочлен в виде произведения №1)2a-ac-2c+c²=a(2-c)-c(2-c)=(a-c)(2-c)
(№2) bx+by-x-y-ax-ay=b(x+y)-(x+y)-a(x+y)=(x+y)(b-1-a)
решите уравнение №1) 9x-6(x-1)=5(x+2)
9x-6x+6=5x+10
3x-5x=4
-2x=4 x=-2
(№2) 7-4(3x-1)=5(1-2x)
7-12x+4=5-10x
11-5=12x-10x
2x=-6 x=-3
упростите выражения№1) 2a(a+b-c)-2b(a-b-c)+2c(a-b+c)=
2a^2+2ab-2ac-2ab+2b^2+2bc+2ac-2bc+2c^2=2a^2+2b^2+2c^2=2(a^2+b^2+c^2)
(№2) 3x(x+y+c)-3y(x-y-c)-3c(x+y-c)=3x^2+3xy+3xc-3xy+3y^2+3yc-3xc-3yc+3c^2=3(x^2+y^2+c^2)
1. Выполнить умножение:
а)(x-8)*(x+5)= в)(6a+x)*(2a-3x)=
б)(3b-2)*(4b-2)= г)(c+1)*(С"в квадрате"+3с+2)=
2. Разложить на множители:
a)2x(x-1)-3(x-1)=
б)ab+ac+4d+4c=
3. Представьте многочлен в виде произведения:
а)a"в квадрате"+ab-3a-3b=
б) kp-kc-px+cx+c-p=
4. Упростите выражение:
0,4a(2a"в квадрате"+3)(5-3a"в квадрате")
Решение: 2.а)2x(x-1)-3(x-1)=(х-1)*(2х-3)
б)ab+ac+4d+4c=а(b+c)+4(d+c)
1.
а) x^2+5x-8x-40=x^2-3x-40
б) 12b^2-6b-8b+4=12b^2-14b+4
в) )12a^2-18ax+2ax-3x^2=12a^2-16ax-3x^2
г) c^3+3c^2+2c+c^2+3c+2=c^3+4c^2+5c+2
( x^2 это значит х "в квадрате" )
( ^ знак степени )
3.
а) a"в квадрате"+ab-3a-3b= a(a-3)+b(a-3)= (a-3)*(a+b)
б) kp-kc-px+cx+c-p= -k(c-p)+x(c-p)+(c-p)= (c-p)*(x-k+1)
Представить многочлен в виде произведения:
1)3а³-3b³+5a²-5b²
2)a³-b³+a²-b²
3)a^4-a³b+ab³-b^4
Разложите многочлен на множители:
1)(а-b)³+b³
2)(x-2)³-27
3)8a³+(a-b)³
4)27x³-y³(x-y)³
Решение: 1)3а³-3b³+5a²-5b²=3(a-b)(a²+ab+b²)+5(a-b)(a+b)
2)a³-b³+a²-b²=(a-b)(a²+ab+b²)+(a-b)(a+b)=(a-b)(a²+ab+b²+a+b)
3)a^4-a³b+ab³-b^4=a³(a-b)+b³(a-b)=(a-b)(a³+b³)
1)(а-b)³+b³=a³-3a²b+3ab²-b³+b³=a³-3a²b+3ab²
2)(x-2)³-27=х³-6х²+12х-8-27=х³-6х²+12х-35
3)8a³+(a-b)³=8а³+a³-3a²b+3ab²-b³=9a³-3a²b+3ab²-b³
4)27x³-y³(x-y)³=27х³-у³(х³-3х²у+3ху²-у³)=27х³-у³х³+3х²у²-3ху^5+y^6Представить многочлен в виде произведения двучленов сгруппировав по попарно его члены двумя способами 5а -5b +ах - bх. 2 ) 2bd +8b во 2 степени - 4bc- cd=.
Решение: 5a -5b +ах - bx=(5a -5b) +(ах - bx)=5(a-b)+x(a-b)=(a-b)(5+x)
5a -5b +ах - bx=(5a+ax)-(5b+bx)=a(5+x)-b(5+x)=(5+x)(a-b)
2bd+8b²-4bc-cd=(2bd+8b²)-(4bc+cd)=2b(d+4b)-c(4b+d)=(4b+d)(2b-c)
2bd+8b²-4bc-cd=(2bd-cd)+(8b²-4bc)=d(2b-c)+4b(2b-c)=(d+4b)(2b-c)
