многочлен »

многочлен n-й степени

  • Корни многочлена равны x1,x2,x3,x4 найдите корни многочлена той же степени и с теми же коэффицентами но записанными в обратном порядке


    Решение:  Здесь можно использовать симметрию корней уравнения. 
    Положим что наше уравнение имеет вид
     $$ ax^4+bx^3+cx^2+d=0 $$ 
     пусть корень этого уравнения равен $$ x_{1} $$, то корень уравнение той же степени только записанные в обратном порядке равен $$ \frac{1}{x_{1}} $$, то есть они равны обратным к соответственным корням 

  • Найти многочлен наименьшей степени, среди корней которого есть числа 1, 2, 3 и коэффициент при старшей степени равен1

    Выберите один ответ:
    1)x^3-4x^2+9x-6
    2)x^3+6x^2-13x-3
    3)x^3-6x^2-11x-4
    4)x^3-6x^2+11x-6


    Решение:

    Корни многочлена - числа, обращающие его при подстановке в ноль, значит составим произведение (х-1)*(х-2)*(х-3), очевидно, если подставлять числа 1, 2, 3 в это выражение, его значение будет равно нулю. Осталось лите раскрыть скобки, умножая их по очереди: (х-1)*(х-2)*(х-3)= (х^2-2х-х+2)*(х-3)= (х^2-3х+2)*(х-3)=x^3-3x^2-3x^2+9x+2x-6=x^3-6x^2+11x-6 Ваш ответ под номером 4

    Сумма корней 1+2+3=6  произведение корней равно 6
    воспользуемся обобщенной теоремой Виета
    для 3-й степени x1+x2+x3=-b  x1*x2*x3=-c
    b=-6  c=-6 таким свойством обладает многочен 4)
    ответ 4)

  • Алгебраические уравнения. Разложите на множители многочлен1)4x(в 4 степени)+4x(в 3 степени)-25х(во 2 степени)-x+6.


    Решение: Одним из корней может быть делитель свободного члена 6:+-1;+-2;+-3;+-6
    Проверим х=2  4*16+4*8-25*4-2+6=64+32-100-2+6=0
    4x^4+4x³-25x²-x+6  /x-2
    4x^4-8x³  4x³+12x²-x-3
    __________
       12x³-25x²
       12x³-24x²
       ____________
       -x²-x
       -x²+2x
       ____________
       -3x +6
       -3x+6
       _________
       0
    4x³+12x²-x-3=4x²(x+3)-(x+3)=(x+3)(4x²-1)=(x+3)(2x-1)(2x+1)
    4x^4+4x³-25x²-x+6 =(x-2)(x+3)(2x-1)(2x+1)

  • 1. Преобразуйте в многочлен: 1) (а – 3)2(степень ) 2) (2у + 5)2(степень) 3) (4а – b)( 4а + b) 4) (х2 + 1)( х2 – 1) 2. Разложите на множители: 1) с2 –0,25 2) х2 – 8х + 16 Решите уравнение: 9у2 – 25 = 0


    Решение: В решении будет значок ^ это означает степень, например x^2 это "x" в квадрате. И условия я прописывать не буду, пишу сразу решение.

    1. 1)=а^2-2*3*a+3^2=a^2-6a+9 

      2) = 4y^2+2*2*a*5+25=4y^2+20a+25

      3)= (4a)^2-b^2=16a^2-b^2

      4)=(x^2+1)(x^4-2x+1)=x^6-2x^4+x^2+x^4-2x^2+1=x^6-x^4-x^2+1

    2. 1)=(c-0.5)(c+0.5)

      2)=(x-4)^2

    3. 9y^2-25=0 (3y-5)(3y+5)=0 3y-5=0 3y=5 y=5\3 или 3y+5=0 3y=-5 y= -5\3 Ответ: y= +- 5\3

  • Что такое многочлен n-ой степени?


    Решение: Самая высокая степень - n

    Многочленом n - ой степени (относительно x) называется многочлен вида: , где - числа, а x - переменная; - члены многочлена, - коэффициенты, - старший член многочлена, - свободный член многочлена. Степень многочлена - это степень старшего члена.

  • Найдите корни многочлена.а) x (в квадрате) - 7х б) 2х-5
    в)у(в кубе) - 4у
    в)у(в четвертой степени) - 16


    Решение:

    Необходимо приравнять к 0 каждый многочлен.

    а) x в квадрате - 7х = 0

    х*(х - 7) = 0

    х = 0 х = 7

    Ответ: 0; 7.

    б) 2х - 5 = 0

    2х = 5

    х =2,5

    Ответ: 2,5.

    в) у в кубе - 4у = 0

    у * (у в квадрате - 4) = 0

    у = 0 у в квадрате - 4 = 0

      у = 2 у = -2

    Ответ: -2; 0; 2.

    г)y в 4й степени - 16 = 0

    у в 4 степени = 16

    у = 2 у = -2

    Ответ: -2; 2.

  • Запишите данные выражения как произведение двух многочленов первой степени с целыми коэффициентами: 3(y - 4x)(x + 1/3y). б) 8(z- 3/4y)(y +1/2z )


    Решение: 3(y - 4x)(x + 1/3y)

    Внесем тройку во второй множитель.

    3(y - 4x)(x + 1/3y)=(y-4x)(3x+1/y)


    8(z- 3/4y)(y + 1/2z )

    Напомню, что 8=4*2. Поэтому 4 внесем в первый множитель, а 2 во второй множитель

    8(z- 3/4y)(y + 1/2z )=(4z-3/y)(2y+1/z)

  • Замените степень произведением и преобразуйте это произведение в многочлен:
    а) (b+4)^2
    б) (a+3)^3
    в) ( x-1)^4


    Решение: $$ (b+4)^2=(b+4)(b+4)=b^2+4b+4b+16=b^2+8b+16, \\ (a+3)^3=(a+3)(a+3)(a+3)=(a^2+3a+3a+9)(a+3)=\\=(a^2+6a+9)(a+3)=a^3+3a^2+6a^2+18a+9a+27=\\=a^3+9a^2+27a+27 $$


    $$ (x-1)^4=(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)=\\=(x^2-x-x+1)(x^2-x-x+1)=(x^2-2x+1)(x^2-2x+1)=\\=x^4-2x^3+x^2-2x^3+4x^2-2x+x^2-2x+1=\\=x^4-4x^3+6x^2-4x+1. $$

  • Даны три многочлена:
    P1(a)=2а3 степени+3а 2 степени-а+1
    P2(a)=4а4 степени+6а3 степени-2а2 степени+2а
    P3(a)=2а5 степени+3а4 степени-а 3 степени+а 2 степени.

    Найдите:
    A)P(a)= P1(a)-P2(a)+P3(a)

    Б)P(a)=P1(a)+P2(a)-P3(a)


    Решение:

    P₁(a)=2а³+3а²-а+1
    P₂(a)=4а⁴+6а³-2а²+2а
    P₃(a)=2а⁵+3а⁴-а³+а²


    A) P ( a ) = P₁( a )-P₂( a )+P₃( a ) =
    = (    2а³ + 3а² - а + 1) - (4а⁴ + 6а³ - 2а² + 2а) + (2а⁵ + 3а⁴ - а³ + а²)=
    = 2а³ + 3а² - а + 1 - 4а ⁴- 6а³ + 2а² - 2а + 2а⁵ + 3а⁴ - а³ + а²=
    = 2а⁵ - а⁴ - 5а³ + 6а² - 3а +1


    Б) P( a ) = P₁( a ) + P₂( a ) - P₃( a ) =
    = (    2а³ + 3а² - а + 1) + (4а⁴ + 6а³ - 2а² + 2а) - (2а⁵ + 3а⁴ - а³ + а²)=
    = 2а³ + 3а² - а + 1 + 4а ⁴+ 6а³ - 2а² + 2а - 2а⁵ - 3а⁴ + а³ - а²=
    = - 2а⁵ + а⁴ + 9а³ + а + 1



  • Найдите значение многочлена 6a3-a10+4a3+a10-8a3+a при а=-3
    все цифры которые идут после ’a’ - степени.


    Решение: ^-знак степени
    6a^3-a^10+4a^3+a^10-8a^3+a           
       -для удобства подстановки сократим многочлен (ищем подобные)
    сокращаем а^3:
    6а^3+4a^3-8a^3=10a^3-8a^3=2a^3
    теперь сокращаем а^10:
    -a^10+a^10=0
    тогда получается:    
    2a^3+a
    теперь подставляем значение и решаем:
    2*(-3)^3+(-3)=2*(-27)+(-3)=-54-3=-57

1 2 3 > >>