многочлен n-й степени - страница 3
Пусть p(x) это многочлен степени n такой, что |p(x)|<1 для всех действительных x таких, что |x|≤1. Верно ли, что |p(2)|< \( 4^{n} \)
Решение: $$ P(x)=ax^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+a_{4}x^{n-4}+...+a_{k}x^{n-k}\\ -1 \leq x \leq 1 $$
оценим каждое слагаемое
$$ P(x)=ax^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+a_{4}x^{n-4}+...+a_{k}x^{n-k}\\ -1 \leq x \leq 1 \\ P(1) = a+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+....+a_{k}<1\\ P(1) = a+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+....+a_{k}>-1 $$
положим что
$$ a_{1}=a_{2}=a_{3}=...=a_{k}\\ P(1)=k*a_{k}<1\\ a_{k}<\frac{1}{k}\\ k\in N $$
видно что $$ a_{k}<1 $$
$$ P(2)=a*2^{n}+a_{1}*2^{n-1}+a_{2}*2^{n-2}+...+a_{k}*2^{n-k} \leq \ 2^n+2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^{n-k} $$
$$ a=1\\ S_{geom} =2(2^n-1)=2^{n+1}-2<4^n \\ 2^{2n}-2*2^n+2>0\\ D<0 $$
а так как оценка идет сверху то она и справедлива снизу, верно
Решить многочлен высшей степени)) 5x^3-15x^2-x+3=0
Решение: $$ 5x^3-15x^2-x+3=0 $$
Группируем:
$$ (5x^3-15x^2)-(x-3)=0 \\ 5x^2(x-3)-(x-3)=0 $$
Выносим общую скобку за скобки:
$$ (x-3)(5x^2-1)=0 $$
Приравниваем каждую скобку к нулю и получаем:
$$ (x-3)(5x^2-1)=0 \\ \left[\begin{array}{cc}x-3=0\\ 5x^2-1=0\\ \end{array} \right. \left[\begin{array}{cc}x=3\\ 5x^2=1\\ \end{array} \right. \left[\begin{array}{cc}x=3\\ x^2= \frac{1}{5} \\ \end{array} \right. \left[\begin{array}{cc}x=3\\ x=6 \frac{1}{25} \\ \end{array}\right.$$
Доказать теорему, что многочлен в степени n не может иметь более nкорней
Решение: Корень многочлена (не равного тождественно нулю) над полем k — это элемент (либо элемент расширения поля k), такой, что выполняются два следующих равносильных условия:Данный многочлен делится на многочлен ;подстановка элемента c вместо x обращает уравнениев тождество.Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.Говорят, что корень имеет кратность , если рассматриваемый многочлен делится на и не делится на Например, многочлен имеет единственный корень, равный кратности 2. Выражение «кратный корень» означает, что кратность корня больше единицы.Найти многочлен f(x) минимальной степени,который в точках: \( x_1=4;x_2=3;x_3=2;x_4=1;x_5=-1 \) принимает значения: \( f_1=27;f_2=18;f_3=11;f_4=6;f_5=2 \)
Решение: f(x+1)-f(x)=2x+1;f(x)=x^2+a+2x+1
f(x)=x^2+2x+3
Точек пять, значит минимальный многочлен, который задается этими точками четвертой (5-1=4)степени
Будем его искать в следующем виде
$$ P(x)=C_1+C_2(x-x_1)+C_3(x-x_1)(x-x_2)+\\+C_4(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)+\\+C_5(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4); $$
$$ P(4)=27;\\ C_0=27; $$
$$ P(3)=18=27+c_2(3-4)=27-c_2;\\ c_2=\frac{18-27}{3-4}=9; $$
$$ P(2)=11=27+9*(2-4)+c_3(2-3)*(2-4);\\ C_3=\frac{11-9}{1*2}=1; $$
$$ P(1)=6=27-9*(1-3)+(1-3)*(1-2)+\\+c_4*(1-3)*(1-2)*(1-1);\\ C_4=-\frac{6-47}{1*2*3}=-\frac{41}{6}; $$
$$ P(-1)=2=27+9*(-1-3)+(-1-3)*(-1-2)-\\-\frac{41}{6}*(-1-3)*(-1-2)*(-1-1)+\\+c_5*(-1-3)*(-1-2)*(-1-1)*(-1-4);\\ c_5=\frac{2-113}{4*3*2*5}=-\frac{37}{40}; $$
окончательно
$$ P(x)=27+9(x-4)+(x-4)(x-3)-\\-\frac{41}{6}(x-4)(x-3)(x-2)-\\-\frac{37}{40}(x-4)(x-3)(x-2)(x-1) $$
Докажите, что многочлены, содержащий только четные степени одной и той же переменной, не меняет своего значения при изменении знака этой переменной напротивоположный
Решение: Любое число (даже отрицательное) в чётной степени будет числом положительным.
теперь объясню для тебя на примере: 1 в квадрате будет 1. -1 в квадрате тоже будет один, так как ты умножаете отрицательное число на отрицательное, а - на - даёт +. то же самое с четвёртой степенью, например. 2 в четвёртой 16. и -2 в четвёртой 16, так как сначала ты, умножая - на -, получаете +, потом снова - и, наконец, окончательно опять +1. Упростите вырожение (х-3)в кваадрате+х(х=9)= 2.b в квадрате=49-(b-7)вквадрате= 3 Разложите на мнодители многочлен b в 6 степени-3b в 4 степени-2bв квадрате+6= 4.хв квадрате+6х+5= СПАСИБО
Решение: (х-3)2 + x(x+9)(x-3)(x+3) + x2 + 9x
X2- 9-3x -9
2x2+6x
1) (х-3) в квадрате +х(х+9)= хв квадрате +9-6х+хв квадрате+9=2хв квадрате -6х+18= х в квадрате - 3х +9
2) в в вквадрате +49 -(в-7)в квадрате= в в квадрате +49 - ( в в квадрате +49 - 14в)= в в квадрате +49 - в в квадрате -49 +14в= 14в
3) в в 6 степени - зв в 4 степени - 2в в квадрате +6= в в 4 степени( в в квадрате - 3) -2( в в квадрате - 3)= (в в 4 степени -2)(в в квадрате - 3)
Разложите на множители многочлен: 1) (х(во 2й степени) - 4) + (2+х)
2) (х( во 2й степени) -9) +(3+х)
Решение: (x²-4)+(2+x)=(x-2)(x+2)+(x+2)=(x+2)(x-2+1)=(х+2)(х-1)
(х²-9)+(3+х)=(х-3)(х+3)+(х+3)=(х+3)(х-3+1)=(х+3)(х-2)1. (x² - 4) + (2 + х) = (х - 2)(х + 2) + (х + 2) = (х - 2 + 1)(х + 2) = (х - 1)(х + 2). Первое слагаемое - это разность квадратов чисел х и 2, то есть (x² - 4). После выделения множителей у разности квадратов мы выносим за скобку общий множитель. 2. (х² - 9) + (3 + х) = (х - 3)(х + 3) + (х + 3) = (х - 3 + 1)(х + 3). Первое слагаемое - разность квадратов чисел х и 3, то есть (х² - 9). Опять-таки после разложения разности квадратов на множители выносим общий множитель за скобку.
Определите многочлен А и найдите его степень, используя правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого.
а) А+(12у^2+6y-1)=-10+9
б) (-6x^2+7x-11)-A=2x^2+2x-1
в) A-(6a^2_5ab+b^3)=4b^3-11ab
г) (25x^5-13x^3+7)+A=15x^5-13x^2
Решение: Знаю никаких 50 б тут нет, и да под твоим заданием пишется сколько ты баллов даете ;) но помогу все равно
а) А + (12у² + 6y - 1) = -10 + 9
А = -10 + 9 - (12y²+6y-1)
A = -1 - 12y² - 6y + 1
A = -12y² - 6y
б) (-6x² + 7x - 11) - A = 2x² + 2x - 1
A = -6x² + 7x - 11 - 2x² - 2x + 1
A = -8x² + 5x - 10
в) A - (6a² - 5ab + b³) = 4b³ - 11ab
A - 6a² + 5ab - b³ = 4b³ - 11ab
A = 4b³ - 11ab + 6a² - 5ab + b³
A = 5b³ + 6a² -16ab
г) (25x⁵ - 13x³ + 7) + A = 15x⁵ - 13x²
A = 15x⁵ - 13x² - 25x⁵ + 13x³ - 7
A = -10x³ - 7В многочлен: 1 (а+b)(c-d) 2 (x-6)(x-4)
3 (a-3)(a+7)
4 (11-c)(c+8)
5 (d+13)(2d-1)
6 (3y-5)(2y-12)
7 2x(2-й степени)-3)(х(2-й степени)+4)
8 (х-6)(х(2-й)-2х+9)
9 (5х-у)(2х(2-й)+ху-3у(2-й))
10 b(6b+7)(3b-4)
Решение: Аналогично остальные7 2x(2-й степени)-3)(х(2-й степени)+4)
8 (х-6)(х(2-й)-2х+9)
9 (5х-у)(2х(2-й)+ху-3у(2-й))
10 b(6b+7)(3b-4)
Разложить многочлены на множители: а4(а в 4 степени) – а2(а во 2 степени) + 6а +6 х2 ( х во 2 степени)– 9 – 2ах – 6а
Решение: a^4-a^2+6a+6
Из первого и второго члена выносим a^2, из третьего и четвертого выносим 6
Получаем:
a^2*(a^2-1) + 6*(a+1)Где первая скобка - это формула. (a^2-1)=(a-1)(a+1). Используем это:
a^2*(a-1)*(a+1)+6*(a+1)
Выносим общую часть:
(a+1)*(a^2*(a-1)+6)
x^2-9-2ax-6a=(x-3)(x+3)-2a*(x+3)=(x+3)(x-3-2a)
