многочлен n-й степени - страница 5
Пусть p(x) это многочлен степени n такой, что |p(x)|<1 для всех действительных x таких, что |x|≤1. Верно ли, что |p(2)|< \( 4^{n} \)
Решение: $$ P(x)=ax^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+a_{4}x^{n-4}+...+a_{k}x^{n-k}\\ -1 \leq x \leq 1 $$
оценим каждое слагаемое
$$ P(x)=ax^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+a_{4}x^{n-4}+...+a_{k}x^{n-k}\\ -1 \leq x \leq 1 \\ P(1) = a+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+....+a_{k}<1\\ P(1) = a+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+....+a_{k}>-1 $$
положим что
$$ a_{1}=a_{2}=a_{3}=...=a_{k}\\ P(1)=k*a_{k}<1\\ a_{k}<\frac{1}{k}\\ k\in N $$
видно что $$ a_{k}<1 $$
$$ P(2)=a*2^{n}+a_{1}*2^{n-1}+a_{2}*2^{n-2}+...+a_{k}*2^{n-k} \leq \ 2^n+2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^{n-k} $$
$$ a=1\\ S_{geom} =2(2^n-1)=2^{n+1}-2<4^n \\ 2^{2n}-2*2^n+2>0\\ D<0 $$
а так как оценка идет сверху то она и справедлива снизу, верно
Решить многочлен высшей степени)) 5x^3-15x^2-x+3=0
Решение: $$ 5x^3-15x^2-x+3=0 $$
Группируем:
$$ (5x^3-15x^2)-(x-3)=0 \\ 5x^2(x-3)-(x-3)=0 $$
Выносим общую скобку за скобки:
$$ (x-3)(5x^2-1)=0 $$
Приравниваем каждую скобку к нулю и получаем:
$$ (x-3)(5x^2-1)=0 \\ \left[\begin{array}{cc}x-3=0\\ 5x^2-1=0\\ \end{array} \right. \left[\begin{array}{cc}x=3\\ 5x^2=1\\ \end{array} \right. \left[\begin{array}{cc}x=3\\ x^2= \frac{1}{5} \\ \end{array} \right. \left[\begin{array}{cc}x=3\\ x=6 \frac{1}{25} \\ \end{array}\right.$$
Доказать теорему, что многочлен в степени n не может иметь более nкорней
Решение: Корень многочлена (не равного тождественно нулю) над полем k — это элемент (либо элемент расширения поля k), такой, что выполняются два следующих равносильных условия:Данный многочлен делится на многочлен ;подстановка элемента c вместо x обращает уравнениев тождество.Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.Говорят, что корень имеет кратность , если рассматриваемый многочлен делится на и не делится на Например, многочлен имеет единственный корень, равный кратности 2. Выражение «кратный корень» означает, что кратность корня больше единицы.Найти многочлен f(x) минимальной степени,который в точках: \( x_1=4;x_2=3;x_3=2;x_4=1;x_5=-1 \) принимает значения: \( f_1=27;f_2=18;f_3=11;f_4=6;f_5=2 \)
Решение: f(x+1)-f(x)=2x+1;f(x)=x^2+a+2x+1
f(x)=x^2+2x+3
Точек пять, значит минимальный многочлен, который задается этими точками четвертой (5-1=4)степени
Будем его искать в следующем виде
$$ P(x)=C_1+C_2(x-x_1)+C_3(x-x_1)(x-x_2)+\\+C_4(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)+\\+C_5(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4); $$
$$ P(4)=27;\\ C_0=27; $$
$$ P(3)=18=27+c_2(3-4)=27-c_2;\\ c_2=\frac{18-27}{3-4}=9; $$
$$ P(2)=11=27+9*(2-4)+c_3(2-3)*(2-4);\\ C_3=\frac{11-9}{1*2}=1; $$
$$ P(1)=6=27-9*(1-3)+(1-3)*(1-2)+\\+c_4*(1-3)*(1-2)*(1-1);\\ C_4=-\frac{6-47}{1*2*3}=-\frac{41}{6}; $$
$$ P(-1)=2=27+9*(-1-3)+(-1-3)*(-1-2)-\\-\frac{41}{6}*(-1-3)*(-1-2)*(-1-1)+\\+c_5*(-1-3)*(-1-2)*(-1-1)*(-1-4);\\ c_5=\frac{2-113}{4*3*2*5}=-\frac{37}{40}; $$
окончательно
$$ P(x)=27+9(x-4)+(x-4)(x-3)-\\-\frac{41}{6}(x-4)(x-3)(x-2)-\\-\frac{37}{40}(x-4)(x-3)(x-2)(x-1) $$
Докажите, что многочлены, содержащий только четные степени одной и той же переменной, не меняет своего значения при изменении знака этой переменной напротивоположный
Решение: Любое число (даже отрицательное) в чётной степени будет числом положительным.
теперь объясню для тебя на примере: 1 в квадрате будет 1. -1 в квадрате тоже будет один, так как ты умножаете отрицательное число на отрицательное, а - на - даёт +. то же самое с четвёртой степенью, например. 2 в четвёртой 16. и -2 в четвёртой 16, так как сначала ты, умножая - на -, получаете +, потом снова - и, наконец, окончательно опять +
