многочлен »

представить в виде многочлена

  • Представьте степень двучлена в виде многочлена, используя бином Ньютона и треугольник Паскаля:
    1) (x-1)^5
    2) (x+1)^7


    Решение: 1) (x-1)^5
    Треугольник Паскаля k(1)=1, k(2)=5, k(3)=10, k(4)=10, k(5)=5, k(6)=1
    C0/5=C5/5=1
    C1/5=C4/5=5!/1!4!=5
    C2/5=C3/5=5!/3!2!=1*2*3*4*5/1*2*3*1*2=120/12=10
    (x-1)^5 = x^5-5x^4+10x³-10x²+5x-1
    (x+1)^7
    Треугольник Паскаля k(1)=1, k(2)=7, k(3)=21, k(4)=35, k(5)=35, k(6)=21, k(7)=7, k(8)=1
    C0/7=C7/7=1
    C1/7=C6/7=7!/1!6!=7
    C2/7=C5/7=7!(5!2!)=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3*4*5*1*2=5040/240=21
    C3/7=C4/7=7!/3!2!=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3*4*1*2*3=5040/144=35
    x^7+7x^6+21x^5+35x^4+35x^3+21x^2+7x+1

  • Представьте выражение в виде многочлена.
    1) (1\2a-1\3b^2)^3 (Одна вторая a минус одна третья б во второй степени, скобка закрывается все в третьей степени)
    2) (1\6х^2+1\2y^3)^3
    Решите уравнение.
    1)6(х+1)^2+2(x-1)(x^2+x+1)-2(x+1)^3=39


    Решение: $$ 1)\;\left(\frac12a-\frac13b^2\right)^3=\left(\frac12a\right)^3-3\cdot\left(\frac12a\right)^2\cdot\left(\frac12b^2\right)+3\left(\frac12a\right)\cdot\left(\frac13b^2\right)^2-\left(\frac13b^2\right)^3=\\=\frac18a^3-\frac38a^2b^2+\frac3{18}ab^4-\frac1{27}b^6 \\ 2)\;\left(\frac16x^2+\frac12y^3\right)^3=\left(\frac16x^2\right)^3+3\cdot\left(\frac16x^2\right)^2\cdot\left(\frac12y^3\right)+3\cdot\left(\frac16x^2\right)\cdot\left(\frac12y^3\right)^2+\\+\left(\frac12y^3\right)^3=\frac1{216}x^6+\frac1{24}x^4y^3+\frac18x^2y^6+\frac18y^9 \\ 3)\;6(x+1)^2+2(x-1)(x^2+x+1)-2(x+1)^3=32\\6(x^2+2x+1)+2(x^3-1)-2(x^3+3x^2+3x+1)=32\\6x^2+12x+6+2x^3-2-2x^3-6x^2-6x-2=32\\6x+2=32\\6x=30\\x=5 $$

  • Докажите, что свободный член многочлена p(x) равен значению этого многочлена в точке x = 0.
    Докажите, что сумма всех коэффициентов стандартного вида многочлена p(x) равна p(1).


    Решение: Рассмотрим многочлен в общем виде:
    $$ p(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+.+a_{n-1}x+a_{n} $$
    1) Находим p(0):
    $$ p(0)=a_0\cdot0^n+a_1\cdot0^{n-1}+.+a_{n-1}\cdot0+a_{n}=0+0+.+0+a_n=a_n $$
    Значит, значение многочлена в точке 0 равно свободному члену
    2) Находим p(1):
    $$ p(1)=a_0\cdot1^n+a_1\cdot1^{n-1}+.+a_{n-1}\cdot1+a_{n}=a_0+a_1+.+a_{n-1}+a_n $$
    Значит, значение многочлена в точке 1 равно сумме коэффициентов

  • Какие значения может принимать sin ( a+ b + g) если при этих a,b,g многочлен от x : x^4 + 2^(3sin a) x^2+x(под корнем; 2^(1-sin b) - cosg ) + sin^2b+ cos^2g является квадратом некоторого многочлена относительно х?


    Решение: Рассмотрим сам многочлен в общим виде, для этого откинем $$ sinb;sina;cosg $$
    $$ x^4+ax^2+bx+c $$ по условию он должен быть, квадратом некого многочлена. 
    Заметим что в этом многочлене есть $$ bx $$, а он не возможен при квадрате, и заметим то что старшая степень равна $$ 4 $$. 
    Тогда наш многочлен есть двучлен  вида $$ (x^2+t)^2=x^4+2tx^2+t^2 $$. Что есть частный случаи многочлена. 
    Тогда запишем $$ x^4+2^{3sina}*x^2+x\sqrt{2^{1-sinb}-cosg}+sin^2b+cos^2g=(x^2+a)^2 $$
    То есть
    $$ 2^(1-sinb)=cosg\\ t^2=sin^2b+cos^2g $$
    Заметим что $$ sin^2b+cos^2g = 1 $$ так как оно противоречит условию $$ 2^(1-sinb)=cosg $$ что не имеет решений. 
    $$ t^2=sin^2b+cos^2g $$ 
    Рассмотрим функцию $$ f(a;b)=sin^2b+cos^2g $$ очевидно $$ max=2\\ x=\frac{\pi}{2};y=-\pi $$. 
    То есть наше значение $$ t \leq \sqrt{2} $$. Что согласуется с значение 
    $$ 8^{sina} \leq 8\\ sina \leq 1 $$. 
    Заметим что при $$ (x^2+\sqrt{2})^2=x^2+2\sqrt{2}+2 $$
     Выше было сказано при каких значениях это справедливо, заметим что 
     $$ 8^{sina}=2\sqrt{2}\\ sina=\frac{1}{2}\\ a=\frac{\pi}{6} $$ 
      Тогда $$ sin(a+b+g)=sin(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}-\pi)=sin(\frac{-2\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2} $$ 
    Так же с обратным значением оно равно $$ \frac{\sqrt{3}}{2} $$ 
     Ответ $$ +-\frac{\sqrt{3}}{2} $$

  • 1. Записать в виде многочлена и объяснить аbc+cab (вверху над выражениями
    — )
    2) Какой цифрой заканчивается а )15⁹+26⁹+39⁹ б)99⁹⁹ и еще выше степени ⁹⁹ степень⁹.


    Решение: Abc с чертой вверху -это запись трехзначного числа.
    например, 367 и тогда a=3, b=6, c=7
    a - количество сотен, в выражении запишется как 100*а
    b - количество десятков, в выражении запишется как 10*b
    c - количество единиц, в выражении запишется как 1*с
    итак, abc(черта вверху) + cab(черта вверху) =
    = 100a + 10b + с + 100с + 10а + b = 100*(a+c) + 10*(a+b) + b+c
    2)
    15 в любой степени закончится цифрой 5 (т. к. 5*5 = 25)
    26 в любой степени закончится цифрой 6 (т. к. 6*6 = 36)
    39 в четной степени закончится цифрой 1 (т. к. 9*9 = 81)
       в нечетной степени закончится цифрой 9 (т. к. 9*1 = 9)
    а) сумма заканчивается цифрой  0 (т. к. 5+6+9 = 20)
    б) 99⁹ (в нечетной степени) закончится на 9, т. е. получится вновь нечетный показатель степени
    и 99 с нечетным показателем степени закончится на 9

  • Как представить выражение в виде многочлена 1)(х+у) в 3 степини 2)(c-d) в 3 степени 3)(p+g) в 3 степени 4)(p-g) в 3 степени 5)(2+а) в 3 степени 6)(3-g) в 3 степени 7)(х-2) в 3 степени 8) (4+х) в 3 степени 9) (a+2b) в 3 степени


    Решение: Применить формулу (а+b)³=a³+3a²b+3ad²+b³
      (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
    (х+у)³=х³+3х²у+3ху²+у³
    (с-d)³=c³-3c²d+3cd²+d³
    (p+g)³=p³+3p²g+3pg³+g³
    (p-g)³=p³-3p²g+3pg²-g³
    (2+a)³=8+12a+6a²+a³
    (3-g)³=27-27g+9g²-g³
    (x-2)³=x³-4x²+12x-8
    (4+x)=64+48x+12x²-x³
    (a+2b)=a³+6a²b+12ab²+8b³

  • Представить в виде многочлена пж
    (а+1)(а+2) (а+3)(а+4)
    (х-1)(х-2)+(х-3)(х-4)


    Решение: $$ (x-1)(x-2)+(x-3)(x-4)= \\ =x^{2} -2x-x+2+ x^{2} -3x-4x+12=2 x^{2} -10x+14 \\ \\ (a+1)(a+2)(a+3)(a+4)= \\ =(a^2+a+2a+2)(a^2+3a+4a+12)=(a^2+3a+2)(a^2+7a+12)= \\ =a^4+7a^3+12a^2+3a^3+21a^2+36a+2a^2+14a+24= \\ =a^4+10a^3+35a^2+50a+24 $$

    x- x- x- x- x - x-x x - x- x x - x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a...

  • Представить в виде многочлена
    (2x-5y+z)^2-(x+3y-z)^2


    Решение: $$ (2x-5y+z)^2-(x+3y-z)^2= \\ =[(2x-5y+z)-(x+3y-z)]*[(2x-5y+z)+(x+3y-z)]= \\ =[2x-5y+z-x-3y+z]*[2x-5y+z+x+3y-z]= \\ =[2x-x-5y-3y+z+z]*[2x+x-5y+3y+z-z]= \\ =(x-8y+2z)(3x-2y)= \\ =(x)*(3x)+(x)*(-2y)+(-8y)*(3x)+(-8y)*(-2y)+ \\ +(2z)*(3x)+(2z)*(-2y)= \\ =(+3x^2)+(-2xy)+(-24xy)+(+16y^2)+(+6xz)+(-4yz)= \\ =3x^2-2xy-24xy+16y^2+6xz-4yz= \\ =3x^2+16y^2-26xy+6xz-4yz $$

  • Представить в виде многочлена выражения : (x+8)(x+2)
    (a-b)(3b-2a)
    2x-(x-3)(x^2+2)


    Решение: 1) x² + 10x + 16
    2) 3ab - 2a² - 3b² + 2ab = 5ab - 2a² - 3b²
    3) 2x - (x³  + 2x - 3x² - 6) = 2x - x³ - 2x + 3x² + 6 = - x³ + 3x² + 6x x ab - a - b ab ab - a - b x - x   x - x - x - x - x x - x x...

  • Представить в виде многочленов:
    а)(-5а+а)(5+ф)
    б)(3х-2у)²
    в)(0,1а³-5в)²
    г)(х-2)(х²+2х+4)


    Решение: а) -25а-5аф+5а+аф=-20а-4аф

    б) 9x²-12xy+4y²

    в) 0.01a⁶-а³в+25в²

    г) x³+2x²+4x-2x²-4x-8=x³-8

    a) первое выражение нужно проверить, чего-то не хватает

    в первой скобке нужно упростить

    -4а(5+а)=-20а-4а^2

    б) квадрат разности

    9x^2-12xy+4y^2

    в) разность квадратов

    0,01a^6-1a^3b+25b^2

    г) разность кубов

    x^3-8

1 2 3 > >>