многочлен »
представить в виде многочлена
Представьте степень двучлена в виде многочлена, используя бином Ньютона и треугольник Паскаля:
1) (x-1)^5
2) (x+1)^7
Решение: 1) (x-1)^5
Треугольник Паскаля k(1)=1, k(2)=5, k(3)=10, k(4)=10, k(5)=5, k(6)=1
C0/5=C5/5=1
C1/5=C4/5=5!/1!4!=5
C2/5=C3/5=5!/3!2!=1*2*3*4*5/1*2*3*1*2=120/12=10
(x-1)^5 = x^5-5x^4+10x³-10x²+5x-1
(x+1)^7
Треугольник Паскаля k(1)=1, k(2)=7, k(3)=21, k(4)=35, k(5)=35, k(6)=21, k(7)=7, k(8)=1
C0/7=C7/7=1
C1/7=C6/7=7!/1!6!=7
C2/7=C5/7=7!(5!2!)=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3*4*5*1*2=5040/240=21
C3/7=C4/7=7!/3!2!=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3*4*1*2*3=5040/144=35
x^7+7x^6+21x^5+35x^4+35x^3+21x^2+7x+1
Представьте выражение в виде многочлена.
1) (1\2a-1\3b^2)^3 (Одна вторая a минус одна третья б во второй степени, скобка закрывается все в третьей степени)
2) (1\6х^2+1\2y^3)^3
Решите уравнение.
1)6(х+1)^2+2(x-1)(x^2+x+1)-2(x+1)^3=39
Решение: $$ 1)\;\left(\frac12a-\frac13b^2\right)^3=\left(\frac12a\right)^3-3\cdot\left(\frac12a\right)^2\cdot\left(\frac12b^2\right)+3\left(\frac12a\right)\cdot\left(\frac13b^2\right)^2-\left(\frac13b^2\right)^3=\\=\frac18a^3-\frac38a^2b^2+\frac3{18}ab^4-\frac1{27}b^6 \\ 2)\;\left(\frac16x^2+\frac12y^3\right)^3=\left(\frac16x^2\right)^3+3\cdot\left(\frac16x^2\right)^2\cdot\left(\frac12y^3\right)+3\cdot\left(\frac16x^2\right)\cdot\left(\frac12y^3\right)^2+\\+\left(\frac12y^3\right)^3=\frac1{216}x^6+\frac1{24}x^4y^3+\frac18x^2y^6+\frac18y^9 \\ 3)\;6(x+1)^2+2(x-1)(x^2+x+1)-2(x+1)^3=32\\6(x^2+2x+1)+2(x^3-1)-2(x^3+3x^2+3x+1)=32\\6x^2+12x+6+2x^3-2-2x^3-6x^2-6x-2=32\\6x+2=32\\6x=30\\x=5 $$
Докажите, что свободный член многочлена p(x) равен значению этого многочлена в точке x = 0.
Докажите, что сумма всех коэффициентов стандартного вида многочлена p(x) равна p(1).
Решение: Рассмотрим многочлен в общем виде:
$$ p(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+.+a_{n-1}x+a_{n} $$
1) Находим p(0):
$$ p(0)=a_0\cdot0^n+a_1\cdot0^{n-1}+.+a_{n-1}\cdot0+a_{n}=0+0+.+0+a_n=a_n $$
Значит, значение многочлена в точке 0 равно свободному члену
2) Находим p(1):
$$ p(1)=a_0\cdot1^n+a_1\cdot1^{n-1}+.+a_{n-1}\cdot1+a_{n}=a_0+a_1+.+a_{n-1}+a_n $$
Значит, значение многочлена в точке 1 равно сумме коэффициентов
Какие значения может принимать sin ( a+ b + g) если при этих a,b,g многочлен от x : x^4 + 2^(3sin a) x^2+x(под корнем; 2^(1-sin b) - cosg ) + sin^2b+ cos^2g является квадратом некоторого многочлена относительно х?
Решение: Рассмотрим сам многочлен в общим виде, для этого откинем $$ sinb;sina;cosg $$
$$ x^4+ax^2+bx+c $$ по условию он должен быть, квадратом некого многочлена.
Заметим что в этом многочлене есть $$ bx $$, а он не возможен при квадрате, и заметим то что старшая степень равна $$ 4 $$.
Тогда наш многочлен есть двучлен вида $$ (x^2+t)^2=x^4+2tx^2+t^2 $$. Что есть частный случаи многочлена.
Тогда запишем $$ x^4+2^{3sina}*x^2+x\sqrt{2^{1-sinb}-cosg}+sin^2b+cos^2g=(x^2+a)^2 $$
То есть
$$ 2^(1-sinb)=cosg\\ t^2=sin^2b+cos^2g $$
Заметим что $$ sin^2b+cos^2g = 1 $$ так как оно противоречит условию $$ 2^(1-sinb)=cosg $$ что не имеет решений.
$$ t^2=sin^2b+cos^2g $$
Рассмотрим функцию $$ f(a;b)=sin^2b+cos^2g $$ очевидно $$ max=2\\ x=\frac{\pi}{2};y=-\pi $$.
То есть наше значение $$ t \leq \sqrt{2} $$. Что согласуется с значение
$$ 8^{sina} \leq 8\\ sina \leq 1 $$.
Заметим что при $$ (x^2+\sqrt{2})^2=x^2+2\sqrt{2}+2 $$
Выше было сказано при каких значениях это справедливо, заметим что
$$ 8^{sina}=2\sqrt{2}\\ sina=\frac{1}{2}\\ a=\frac{\pi}{6} $$
Тогда $$ sin(a+b+g)=sin(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}-\pi)=sin(\frac{-2\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2} $$
Так же с обратным значением оно равно $$ \frac{\sqrt{3}}{2} $$
Ответ $$ +-\frac{\sqrt{3}}{2} $$
1. Записать в виде многочлена и объяснить аbc+cab (вверху над выражениями
— )
2) Какой цифрой заканчивается а )15⁹+26⁹+39⁹ б)99⁹⁹ и еще выше степени ⁹⁹ степень⁹.
Решение: Abc с чертой вверху -это запись трехзначного числа.
например, 367 и тогда a=3, b=6, c=7
a - количество сотен, в выражении запишется как 100*а
b - количество десятков, в выражении запишется как 10*b
c - количество единиц, в выражении запишется как 1*с
итак, abc(черта вверху) + cab(черта вверху) =
= 100a + 10b + с + 100с + 10а + b = 100*(a+c) + 10*(a+b) + b+c
2)
15 в любой степени закончится цифрой 5 (т. к. 5*5 = 25)
26 в любой степени закончится цифрой 6 (т. к. 6*6 = 36)
39 в четной степени закончится цифрой 1 (т. к. 9*9 = 81)
в нечетной степени закончится цифрой 9 (т. к. 9*1 = 9)
а) сумма заканчивается цифрой 0 (т. к. 5+6+9 = 20)
б) 99⁹ (в нечетной степени) закончится на 9, т. е. получится вновь нечетный показатель степени
и 99 с нечетным показателем степени закончится на 9
