логарифм »

логарифмическое неравенство

  • Решить логарифмические неравенства: 1) \( \log_3(2x^2+x-1) > \log_3^2 \)
    2) \( \log_{0,5}(2x+3) > 0 \)
    3) \(\log_{\frac{1}{3}}(20-x) < \log_{\frac{1}{3}}(2(x+1)^2)\)


    Решение: Второе
    $$ log_{0,5}(2x+3) \ > \ 0 \\ \\ 2x+3\ < \ 0,5^0 \\ \\ 2x+3\ < \ 1 \\ \\ x_1\ < \ -1 \\ x_2\ > \ - \frac{3}{2} $$

    1. 
    $$ log_3(2x^2 + x -1) \ > \ log_32 $$
    Запишем ОДЗ:
    $$ x^2 + x -1 \ > \ 0 $$, так как тело логарифма не может быть отрицательным или равным 0 по определению. Решаем это неравенство.
    $$ x^2 + x -1 \ > \ 0 x^2 + x - 1 = 0 D^2 = 1 + 8 = 9 \sqrt{D} =\\= 3 x_1 = \frac{1}{2} x_2 = -1 ++++(-1)-( 1/2)++++ (-\infty;-1)(1/2;+\infty) $$
    Это ОДЗ. Значения х, при которых неравенство может иметь решение. 
    Теперь решаем логарифмическое неравенство.
    $$ log_3(2x^2 + x -1) \ > \ log_32 2x^2 + x -1 = 2 2x^2 + x -3 = 0 D^2 = 25 \sqrt{D} =5 x_1 = 1 x_2 = -1,5 $$
    1>1/2 и -1.5 < -1 => наши корни удовлетворяют ОДЗ. Строим числовую прямую слева - направо.
    $$ ++++(-1.5)-(1) + + + + $$
    Выбираем "плюс", так как у нас >0. 
    Ответ: $$ (\infty;-1.5)U(1;+\infty) $$
    2.
    ОДЗ: 2х+3>0 => x>-3/2
    $$ log_{0.5}(2x+3) \ > \ 0 0.5 = 1/2 = 2^{-1} log_{2^{-1}}(2x+3) \ > \\ 0 -log_2(2x+3)\ > \ 0 | *(-1) log_2(2x+3)\ < \ 0 log_2(2x+3)\ < \ log_21 \\ 2x+3\ < \ 1 \\2x\ < \ -2\\x\ < \ -1$$
    Итак, у нас x < -1 и по ОДЗ x>-3/2. Значит, значение х принадлежит 
    $$- \frac{3}{2} \ < \ x \ < \ -1$$
    Ответ: $$- \frac{3}{2} \ < \ x \ < \ -1$$
    3.
    Также ОДЗ. 
    $$ \left \{ {{20-x \ > \ 0} =\ > \ x\ < \ 20 \atop {2(x+1)^2\ > \ 0}} \right. $$
    Второе выражение всегда больше нуля, так как квадрат. Но из него мы должны понять, что х не может быть равен -1, иначе будет 0 в логарифме. 
    Числовая прямая ОДЗ
    $$ ++++(-1)++++(2)- $$
    х<20, но исключая точку x = (-1). Можно записать так $$x\ < \ \frac{20}{[-1]} $$ - не деление, а исключение. 
    Решаем неравенство. 
    $$20-x\ < \ 2(x+1)^2 \\r \ 0 2x^2 + 5x - 18 = 0 D^2 = 169 \sqrt{D} = 13 x_1 = \frac{-5 + 13}{2} = 2 x_2 = - \frac{18}{4} =\\ - \frac{9}{2} +++(-1)+++(20)- +(-4.5)-(2)+++ (-\infty;-4.5)U(2;20)$$
    Ответ:
    \(-\infty;-4.5)U(2;20)\)

  • Решите логарифмические неравенства: 1.log₂/₃(x²-2,5x) < -1
    2. log₃(log₁/₂(x²-1)) < 1
    3.log₁/₅(x-10)-log₁/₅(x+2) ≥ -1


    Решение: 1.log₂/₃(x²-2,5x)<-1
    По определению логарифма найдем  ОДЗ
    x²-2,5x>0 кроме того log₂/₃3/2=-1 и учитывя, что функция
    у=log₂/₃х убывающая, получаем: 
    log₂/₃(x²-2,5x)>log₂/₃3/2 или x²-2,5x>3/2
    {x(x-2,5)>0 {x(x-2,5)>0 
     x²-2,5x>3/2 ·2, 2x²-5x-3>0
    D=5²-4·2·(-3)=25+24=49.√D=7,x₁=(5+7)/4=3,x₂=-0,5
    (x-3)(x+0,5)>0
    ///////////////////////////////////// ////////////////////////////////////
    - 0,5-0-2,5-3->x
     ////////////////// //////////////////////////
    Ответ: х∈(-∞;-0.5)∪(3;+∞)
    2. log₃(log₁/₂(x²-1))<1
    По определению логарифма:
     log₃(log₁/₂(x²-1)), log₁/₂ (1/2)³=3, тогда имеем: log₁/₂(x²-1)< log₁/₂ (1/2)³ 
     Функция y=log₁/₂x убывающая, поэтому:
    {x²-1>0 {(x-1)(x+1)>0 (x-1)(x+1)>0
    x²-1> (1/2)³, x²-1>8, (x-3)(x+3)>0
    log₁/₂(x²-1)>0,x²-1<1,x²-2<0, (x-√2)(x+√2)<0
    ////////////////////// //////////////////////////////
      ///////////////////////////////////
    -3-√2-1- 1- √2-3->x
      /////////////////////////////////////// //////////////////////////////////////////////
    x∈∅
    3.log₁/₅(x-10)-log₁/₅(x+2)≥-1
    По свойству логарифмов:
    .log₁/₅(x-10)-log₁/₅(x+2)=log₁/₅(x-10)/(x+2)≥log₁/₅5 и одз неравенства
    {x>10, x>10
    (x-10)/(x+2)≤5,
    x-10 x-10-5x-10 -4x-20 (x+5)
    -5≤0, ≤0, ≤0, ≥0,(x+5)(X+2)≥0
      x+2 x+2 x+2 x+2
      //////////////////////////////////////////
    -5-2- 10->x
    /////////////////////////// //////////////////////////////////////////////////////////////
     Ответ:x∈(10;+∞)

  • Решить логарифмические неравенства
    1)lg(3x^2+13)<lg(30x-50)
    2)log[2](3x-7)<1
    3)log[1/3] x+2/3-x >1
    4)log[35] (35x+2)<=1(больше либо равно)
    5)log[1/7](2x-1)+log[1/7]x>0


    Решение: 1) логаримы можно убрать и решать неравенство
    3x^2+13<30x-50
    3x^2-30x+63<0 | :3
    x^2-10x+21<0
    x1=7, x2=3
    x є (3;7)
    2) ОДЗ 3x-7>0, x>7/3
    3x-7<2^1
    3x<9
    x<3
    x є (7/3;3)
    3) ОДЗ (x+2)/(3-x)>0, x>-2, x<3
    (x+2)/(3-x)<1/3 | * 3(3-x)
    3x+6<3-x
    4x<-3
    x<-3/4
    Учитывая ОДЗ x є (-2;-3/4)
    4) ОДЗ 35x+2>0, x>-2/35
    35x+2<=35^1
    35x<=33
    x<=33/35
    Учитывая ОДЗ x є (-2/35;33/35] (закрывающая скобка квадратная!)
    5) ОДЗ x>0, x>1/2
     Log(1/7, x(2x-1))>0
    Log(1/7, (2x^2-x))>0
    (2x^2-x)<1
    2x^2-x-1<0
    x1=1, x2=-1/2
    Учитывая ОДЗ x є (1/2;1)

  • Решите логарифмические неравенства 4. \( \log_{\frac{1}{2}}(x+3) \geq -2 \)
    5. \( \log_{\frac{1}{2}}^2x + \log_{\frac{1}{2}}x -2 \leq 0 \)
    6. \( \log_8(x^2-4x+3) < 1\)


    Решение: 1)log1/2(x+3)>=-2  ОДЗ: x+3>0; x>-3
    log1/2(x+3) >= log1/2(4)
    x+3<=4
    x<=4-3
    x<=1
    С учетом ОДЗ х принадлежит (-3;1]
    2) [log1/2(x)]^2+ log1/2(x)-2<=0  ОДЗ: x>0
    Сделаем замену:
    log1/2(x) =t, тогда
    t^2+t-2<=0
    t^2+t-2=0
    D=1^2-4*(-2)=9
    t1=(-1-3)/2=-2
    t2=(-1+3)/2=1
    (t+2)(t-1)<=0
    ______+_____[-2]_______-_____[1]_____+
    t принадлежит [-2;1]
    Делам обратную замену: log1/2(x)>=-2; log1/2(x)<=1
    1) log1/2(x)>=-2
    log1/2(x)>=log1/2(4)
    x<=4
    2)log1/2(x)<=1
    log1/2(x)<=log1/2(1/2)
    x>=1/2
    Соединим все найденные множества решений с учетом ОДЗ:
    _________(0)_______________
       /////////////////////////////////
    _______________[1/2]________
       ///////////////////
    _____________________[4]_______
    ////////////////////////////////////////////
    Ответ: х принадлежит [1/2; 4]
    3)log8(x^2-4x+3)<1  ОДЗ: x^2-4x+3>0; x<1; x>3
    log8(x^2-4x+3)x^2-4x+3<8
    x^2-4x+3-8<0
    x^2-4x-5<0
    x^2-4x-5=0
    D=(-4)^2- 4*(-5)=36
    x1=(4-6)/2=-1
    x2=(4+6)/2=5
    (x+1)(x-5)<0
    Х принадлежит (-1;5)
    Ответ с учетом ОДЗ: (-1;1)U(3;5)
      
      

  • Решить логарифмические неравенства
    1) lg(x^2 – 8) <= lg(2 – 9x)
    2) log4^2x+log4x<=2


    Решение: 1) lg убираем, т. к. одинаковое основание
    \(x^{2}\)-8≤2-9x
    \(x^{2}\)-8-2+9x
    \(x^{2}\)+9x-10=0
    D=81+40=121
    x1=-10
    x2=1
    Используем метод интервалов
    Получает промежуток от [-10;1]
    ОДЗ
    \(x^{2}\) -8 > 0
    \(x^{2}\) > 8
    х>+-√8
    2-9x>0
    -9x>-2
    x<4.5
    Отмечает все точки на луче, смотрим общее значение и выписываем.
1 2 3 > >>