логарифмическое неравенство - страница 2
Решить логарифмические неравенства \( \log_2(1-3x)\leqslant4 \)
\( \log^2_2x-\log_2x\leqslant6 \)
Решение: $$ \log_2(1-3x)\leqslant4\\ \log_2(1-3x)\leqslant\log_216\\ 1-3x\leqslant16\\ -3x\leqslant15\\ x\geqslant-5 $$
ОДЗ:
$$ 1-3x\ > \ 0\\ -3x\ > \ -1\\ x\ < \ \frac{1}{3} $$
Ответ: $$ x\in[-5; \frac{1}{3})\Longrightarrow -5+(-4) +(-3)+(-2)+(-1)+0=-15 \\ \log_{ \frac{1}{7}}(2x+3)\ < \ -\log_7(3x-2)\\ $$
ОДЗ:
$$ \left \{ {{2x+3\ > \ 0} \atop {3x-2\ > \ 0}} \right. \\\\ \left \{ {{2x\ > \ -3} \atop {3x\ > \ 2}} \right.\\\\ \left \{ {{x\ > \ -\frac{3}{2} } \atop {x\ > \ \frac{2}{3} }} \right.\\\\x\in(\frac{2}{3};+\infty) \\ -\log_7(2x+3)\ < \ -\log_7(3x-2) \ \ \ |\cdot(-1)\\ \log_7(2x+3)\ > \ \log_7(3x-2) \\ \Downarrow \\ 7\ > \ 1\\ 2x+3\ > \ 3x-2\\ -x\ > \ -2-3\\ x\ < \ 5\\\\ x\in( \frac{2}{3};5)\Longrightarrow x=1,2,3,4 $$
Ответ: 4 целых решения
$$ \log^2_2x-\log_2x\leqslant6 $$
ОДЗ:
x > 0
$$ \log_2x=t \Longrightarrow x=2^t $$ замена, где $$ t\in(-\infty;+\infty) \\ t^2-t-6\leqslant0 \\ D=1+24=25; \sqrt D=5 \\ t_{1/2}= \frac{1\pm5}{2} \\ x_1=-2 \\ x_2=3 $$
__+__-2__-__3__+__
$$ \boxed{\leqslant} t\in[-2;3] \\ -2\leqslant\log_2x\leqslant3 \\ \log_2 \frac{1}{4}\leqslant\log_2x\leqslant\log_28 \\ \Downarrow \left \{ \frac{1}{4}\leqslant x\leqslant8 \atop {x > 0}\right. \\ x\in[ \frac{1}{4};8] \\ x=1,2,3,4,5,6,7,8 $$
Ответ: 8 целых решений
Решить логарифмические неравенства 1) \(\log_4\frac{2x-1}{x+1} < -\frac{1}{2}\)
2) \(\log_{\frac{x}{3}}x > \log_x3-\frac{5}{2}\)
3) \(\log_2(9^{x-1}+7) < \log_2(3^{x-1}+1)\)
4) \(\log_{0,5}(x^2+1) \leq \log_{0,5}(2x-5)\)
Решение: 1. 0 < (2x-1)/(x+1) < 1/2.⇔{ 2(x-1/2) /(x+1) >0 ; (2x-1)/(x+1) - 1/2 <0. ⇔
{ 2(x-1/2) /(x+1) >0 ; 3(x -1)/(x+1)<0.
//////////(-1) - (1/2) ////////////////////////
- (-1) /////////////////////////(1) ////////
ответ: x∈ (1/2 ; 1).
-
2. Log_x/3 x > Log_x 3 - 5/2 ;
ОДЗ: { x >0 ; x ≠ 1 ; x/3 ≠ 1.⇔ x ∈(0;1) U(1;3) U(3; ∞).
1/(Log_x x/3) > Log_x 3 - 5/2 ;
1/(1 -Log_x 3) > Log_x 3 - 5/2 ;
замена t =Log_x 3 ;
1/(1-t) > t -5/2 ;
(2t² -7t +7)/2(1-t) >0 ; но 2t² -7t +7> 0 для всех t т. к. D =7² -4*2*7 = -7<0.
следовательно 1 - t > 0 т. е. 1 - Log_x 3 >0 ⇔1 - 1/Log_3 x >0 ⇔
(Log_3 x -1)/ (Log_3 x) > 0 ⇔ (t - 1) / t >0 ⇔ t(t - 1) >0⇔[ t<0 ; t >1.
[Log_3 x <0 ; Log_3 x >1.⇔ [ 0
ответ: x∈x∈(0;1) U(3;∞).
-
3. Log_2 ( 9^(x-1) +7) < Log_2 (3^(x-1) +1) ;
ОДЗ : x∈(-∞ ; ∞) т. к. 9^(x-1) +7 > 7 и 3^(x-1) +1 >1
основание логарифма 2>1, поэтому
9^(x-1) +7 < 3^(x-1) +1 ;
замена t = 3^(x-1) ;
t² +7 < t +1 ;
t² -t +6 < 0 * * *но t² -t +6 = (t-1/2)² +23/4 > 0 поэтому t ∈ ∅. * **
ответ: x ∈ ∅.
-
4. Log_0,5 (x² +1) ≤ Log_0,5 (2x -5) ;
ОДЗ : 2x -5 > 0 ⇒x∈ (2,5 ;∞).
Log_0,5 (2x -5) ≥ Log_0,5 (x² +1) ;
основание логарифма 0<0,5<1, поэтому
0< 2x -5 ≤ x² +1 ⇔ { x² -2x +6 ≥ 0 ; 2x -5 >0 ; x² +1 ≥2x -5.
{ x >2,5 ; x² -2x +6 ≥ 0 ⇔ { x >2,5 ; (x -1)² +5 ≥ 0. ⇔{ x >2,5 ;x∈R.
ответ: x ∈ (2,5 ; ∞).
решить логарифмические неравенства 4.74 \(2\log_x^{-1}36+\log_6(x+1)\leq1\)
4.75 \(2\log_2(x-1)-\log_2(2x-4) > 1\)
4.76 \(\log_2(x-1)-\log_2(x+1)+\log_{\frac{x+1}{x-1}}2 > 0\)
Решение: Использованы свойства логарифмов, метод интервалов1
ОДЗ
x>0,x≠1,x+1>0⇒x>-1
x∈(0;1) U (1;∞)
2log^-1(x)36=log(6)x
log(6)x+log(6)(x+1)≤1
log(6)(x²+x)≤1
x²+x≤6
x²+x-6≤0
x1+x2=-1 U x1*x2=-6⇒x1=-3 U x2=2
-3≤x≤2 U x∈(0;1) U (1;∞)
Ответ x∈(0;1) U (1;2]
2
ОДЗ
x-1>0⇒x>1
2x-4>0⇒x>2
x∈(2;∞)
log(2)[(x-1)²/(2x-4)]>1
(x-1)²/(2x-4)>2
(x-1)²/(2x-4)-2>0
(x²-2x+1-4x+8)/(2x-4)>0
(x²-6x+9)/(2x-4)>0
(x-3)²/(2x-4)>0
x-3=0⇒x=3
2x-4=0⇒x=2
_ + +
-(2)-(3)-
Ответ x∈(2;3) U (3;∞)
3
ОДЗ
x-1>0⇒x>1
x+1>0⇒x>-1
(x+1)/(x-1)>0⇒x<-1 U x>1
(x+1)/(x-1)≠1⇒x+1≠x-1
x∈(1;∞)
log[(x+1)/(x-1)]2>log(2)(x+1)-log(2)(x-1)
log[(x+1)/(x-1)]2>log(2)[(x+1)/(x-1)]
log[(x+1)/(x-1)]2>1/log[(x+1)/(x-1)]
log[(x+1)/(x-1)]2=a
a-1/a>0
(a²-1)/a>0
(a-1)(a+1)/a>0
a=1 a=-1 a=0
_ + _ +
-(-1)-(0)-(1)-
-1
(x-1-2x-2)/(x+1)<0
(x+3)/(x+1)<0⇒-3
(x+1)/(x-1)<2
(x+1-2x+2)/(x-1)<0
(3-x)/(x-1)<0
x<1 U x>3 U x>1
Ответ x∈(3;∞)
Решить логарифмические неравенства 1) \(\log_{\frac{1}{2}}(2x-\frac{1}{8}) < 2\)
2) \(\log_2(x-1)\leq \log_2(2x+3)\)
Решение: С учётом ОДЗ придётся решать системы неравенств:
а) 2х - 1/8 >0 ⇒ 2x > 1/8 ⇒ x > 1/16
2x - 1/8 > 1/4 ⇒2х > 3/8 ⇒ x> 3/16
Ответ: х > 3/16
б) х -1 > 0 ⇒ x > 1 ⇒ x >1
2x +3 > 0 ⇒ x > -1,5 ⇒ x > -1,5
x - 1 ≤ 2x +3 ⇒-x ≤ 4 ⇒ x ≥ - 4
Ответ: х >1Решить логарифмические неравенства и уравнение. 1) log 9 (x) - log 3 (x) = log 1/27 (5)
2) log 1/4 (3x-8) < -2
3) log x^3-9x^2+27x-27 (9-x) больше или равно 0
То, что в скобках, это логарифмируемые числа
Решение: $$ Log_9x-Log_3x=Log_{1/27}5 Log_{3^2}x-Log_3x=\\=Log_{3^{-3}}5 1/2Log_3x-Log_3x=-1/3Log_35 log_3( \sqrt{x}/x)=\\=Log_35^{-1/3} 1/ \sqrt{x} =1/5^{1/3} \sqrt{x} =5^{1/3} x=5^{2/3} $$
**************
$$ Log_{1/4}(3x-2)\ < \ -2 \\ 3x-2\ > \ 0; x\ > \ 2/3 $$
так как основание меньше 1 то неравенство меняет знак
$$ 3x-2\ > \ (1/4)^{-2} \\ 3x-2\ > \ 16 \\ x\ > \ 6 $$
******************
$$ Log_{x^3-9x^2+27x-27}(9-x) \geq 0 \\ x^3-9x^2+27x-27=0 (x-3)^3=0 x=3 $$
ОДЗ X>3.x≠4
1) 3
решений нет
2) x>4
$$ 9-x \geq 1 8 \geq x $$
решение (4;8]
решить логарифмические неравенства/системы неравенств. 1) \(\begin{cases}\frac{2x^2 - 10x +6}{x-5}\leq x \\ 1+\log_6 (4-x) \leq \log_6 (16-x^2)\end{cases}\)
2) \(\frac{3\log_2x}{2+\log_2x} \leq 2\log_2x - 1\)
Решение: 1
a)(2x²-10x+6)/(x-5) -x≤0
(2x²-10x+6-x²+5x)/(x-5)≤0
(x²-5x+6)/(x-5)≤0
(x-2)(x-3)/(x-5)≤0
x=2 x=3 x=5
_ + _ +
-
2 3 5
x∈(-∞;2] U [3;5)
b)4-x>0⇒x<4
(16-x²)>0⇒(4-x)(x+x)>0⇒-4
24-6x-16+x²≤0
x²-6x+8≤0
(x-2)(x-4)≤0
x∈[2;4]
общее x∈(-∞;2] U [3;5) U x∈[2;4]⇒x=2 U x∈[3;4]
2
x>0
2+log(2)x≠0⇒log(2)x≠-2⇒x≠1/4
x∈(0;1/4) U (1/4;∞)
3log(2)x/(2+log(2)) -2log(2)x+1≤0
(3log(2)x-4log(2)x+2-2log²(2)x+log(2)x(/(2+log(2)x)≤0
2(1-log²(2)x)/(2+log(2)x)≤0
log(2)x=a
2(1-a)(1+a)/(2+a)≤0
a=1 a=-1 a=-2
+ _ + _
-
-2 -1 1
-2
x∈(1/4;1/2] U [2;∞)Логарифмические неравенства: a) \(\log_3(x^2+2x) < 1\)
б) \(\log_{0,5}(2x^2+3x+1) \geq 2\log_{0,5}(x-1)\)
в) \(\log_2^2x+2\log_2x-3 > 0\)
Решение: №1а) log (x^2+2x)<1
3
log (x^2+2x)< log 3
3 3
тк 3>1 то:
x^2+2x<3
x^2+2x-3<0
D=16
x1=1
x2=-3
Ответ: от -3 до 1 не включая эти числа
б) log (2x^2+3x+1)>=2log (x-1)
0,5 0,5
log (2x^2+3x+1)>=log (x-1)^2
0,5 0,5
Тк 0,5 < 1 ->
2x^2+3x+1<=(x-1)^2
2x^2+3x+1<= x^2-2x+1
x^2+5x<=0
x(x+5)<=0
Ответ: х - от -5 до 0 включая эти числа
1)
log_3 (x^2+2x)<1,
log_3 (x^2+2x)
a=3>1,
x^2+2x<3,
x^2+2x>0;
x^2+2x-3<0,
x^2+2x-3=0,
x1=-3, x2=1,
-3
x^2+2x>0,
x^2+2x=0,
x(x+2)=0,
x1=-2, x2=0,
x<-2, x>0,
xЄ(-3;-2)U(0;1)
2)
log_0.5 (2x^2+3x+1)>=2log_0.5 (x-1),
log_0.5 (2x^2+3x+1)>=log_0.5 (x-1)^2,
x-1>0,
x>1,
a=0.5<1,
2x^2+3x+1<=(x-1)^2,
2x^2+3x+1>0,
2x^2+3x+1<=x^2-2x+1,
x^2+5x<=0,
x(x+5)<=0,
x(x+5)=0,
x1=-5, x2=0,
-5<=x<=0,
2x^2+3x+1>0,
2x^2+3x+1=0,
D=1,
x1=-1, x2=-1/2,
x<-1, x>-1/2,
нет решений
3)
log^2_2 x+2log_2-3>0,
log_2 x=t,
t^2+2t-3>0,
t^2+2t-3=0,
t1=-3, t2=1,
(t+3)(t-1)>0,
t<-3, t>1,
log_2 x<-3,
log_2 x
x<1/8,
log_2 x>1,
log_2 x>log_2 2,
x>2,
xЄ(-оо;1/8)U(2;+oo)
Решить логарифмические неравенства: 4.68 \(\log_{0,49}7^{\frac{5}{7x}} > 2,5\log_{0,7}7\)
4.69 \(2\log_3x-\log_{\frac{1}{3}}(4-x) \leq \log_3(x-1)^2+2\log_9(10-x)\)
4.70 \(\log_{\frac{1}{2}}(\log_8\frac{x^2-2x}{x-3}) < 0\)
Решение:68
log(0,7)7^(5x/14)>log(0,7)7^(2,5)
7^(5x/14)<7^(5/2)
5x/14<5/2
x<5/2:5/14
x<7
x∈(-∞;7)
69
ОДЗ
x>0;4-x>0⇒x<4;x-1≠0⇒x≠1;10-x>0⇒x<10
x∈(0;1) U (1;4)
log(3)x²+log(3)(4-x)≤log(3)(x-1)²+log(3)(10-x)
log(3)x²(4-x)≤log(3)(x-1)²(10-x)
x²(4-x)≤(x-1)²(10-x)
4x²-x³-10x²+x³+20x-2x²-10+x≤0
8x²-21x+10≥0
D=441-320=121
x1=(21-11)/16=5/8
x2=(21+11)/16=2
x≤5/8 U x≥2
x∈(0;5/8] U [2;4)
70
ОДЗ
{x(x-2)/(x-3)>0
{log(8)x(x-2)/(x-3)>0⇒x(x-2)/(x-3)>1⇒
x(x-2)/(x-3)>1
(x²-2x-x+3)/(x-3)>0
(x²-3x+3)/(x-3)>0
x²-3x+3>0 при любом х, т. к. D=-3<0⇒x-3>0⇒x>3
x∈(3;∞)
log(8)x(x-2)/(x-3)>1
x(x-2)/(x-3)>8
(x²-2x-8x+24)/(x-3)>0
(x²-10x+24)/(x-3)>0
x²-10x+24=0
x1+x2=10 U x1*x2=24⇒x1=4 u x2=6
x-3=0⇒x=3
_ + _ +
-(3)-(4)-(6)-
3
x∈(3;4) U (6;∞)
Логарифмические неравенства 1. Решите неравенство \(\log_{\frac{1}{5}}(3x+4) \geq -2\) и укажите его наименьшее целочисленное решение.
2. Решите неравенство \(\lg(x^2+x-20) < \lg(4x-2)\) и укажите количество его целочисленных решений.
3. Решите неравенство \(\log_{\frac{1}{6}}^2x > 4\)
Решение: $$ \log_{ \frac{1}{5} }(3x+4) \geq -2 $$
Отметим ОДЗ: $$ 3x+4>0 \\ x>- \frac{4}{3} $$
Воспользуемся свойством логарифма
$$ \log_{\frac{1}{5}}(3x+4)+\log_{\frac{1}{5}}(\frac{1}{5})^2 \geq 0 \\ \log_{\frac{1}{5}}(\frac{1}{25}(3x+4)) \geq \log_{\frac{1}{5}}1 $$
Так как 0<1/5<1, то функция убывающая(знак неравенства меняется на противоположный), сделаем это
$$ \frac{1}{25}(3x+4) \leq 1 \\ 3x+4 \leq 25 \\ 3x \leq 21 \\ x \leq 7 $$
С учетом ОДЗ $$ (- \frac{4}{3} ;7] $$
Наименьший корень: -1.
Ответ: -1.
$$ \lg (x^2+x-20)<\lg(4x-2) $$
ОДЗ: $$ \left \{ {{x^2+x-20>0} \atop {4x-2>0}} \right. $$
Воспользуемся свойством логарифма
$$ x^2+x-20<4x-2 \\ x^2-3x-18<0 $$
Корни уравнения x²-3x-18=0,3 и 6
____+_____(-3)___-____(6)____+___>
С учетом ОДЗ: $$ (4;6) $$
Количество целых чисел: 1.
Ответ: 1.
$$ \log_{ \frac{1}{6} }^2x>4 $$
ОДЗ: x>0
$$ \left[\begin{array}{ccc}\log_{\frac{1}{6}}x>2\\\log_{\frac{1}{6}}<-2\end{array}\right. \to \left[\begin{array}{ccc}x<\frac{1}{36}\\x<36\end{array}\right. $$
С учетом ОДЗ: $$ (\frac{1}{36};36) $$
Ответ: $$ x \in (\frac{1}{36};36) $$
Логарифмическое неравенство \(\frac{x^2-4}{\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1)} < 0\)
Решение: 1)x²-4<0⇒log(1/2)(x²-1)>0
x²-4<0⇒(x-2)(x+2)<0 x=2 U x=-2
+ _ +
______________________________
-2 2
x∈(-2;2)
log(1/2)(x²-1)>0
x²-1>0 U x²-1<1
x²-1>0⇒x∈(-≈;-1) U (1;≈)
x²-2<0⇒x∈(-√2;√2)
Объединим x∈(-2;2),x∈(-≈;-1) U (1;≈) и x∈(-√2;√2)⇒х∈(-√2;-1) и (1;√2)
2)x²-4>0⇒log(1/2)(x²-1)<0
x∈(-≈;-2) U (2;≈)
log(1/2)(x²-1)<0
x²-1>0 U x²-1>1
x²-1>0⇒x∈(-≈;-1) U (1;≈)
x²-2>0⇒x∈(-≈;-√2) U (√2;≈)
Объединим x∈(-≈;-2) U (2;≈),x∈(-≈;-1) U (1;≈),(-≈;-√2) U (√2;≈)⇒x∈(-≈;-2) U (2;≈)
Ответ: х∈(-≈;-2)U(-√2;-1); (1;√2); (2;≈)
Логарифмической функцией называется функция вида
y = logax,
где а - некоторое фиксированное положительное число, отличное от 1.
Формула y = logax выражает то же самое, что и формула
аy= х. (1)
Отсюда легко установить связь между логарифмической функцией и показательной функцией
у = аx (2)
Если показательная функция (2) описывает изменение степени в зависимости от изменения ее показателя, то ввиду (1) логарифмическая функция, наоборот, описывает изменение...