логарифмическое неравенство - страница 3

Логарифмическое неравенство $\sqrt{ log_{9}(3x^2-4x+2)} > log_{3}(3x^2-4x+2) -1$

Решение: Сразу напрашивается замена $log_{3}(3x^2-4x+2)=t$ . Тогда
$\sqrt{ \frac{1}{2} t} \ > \ t-1$
Если t<1 неравенство выполняется при любом t≥0. Значит часть решения выглядит так: 0≤t<1
Если t≥1 мы имеем право возвести обе части в квадрат:
$\frac{1}{2}t\ > \ t^2-2t+1 \\ 2t^2-5t+2\ < \ 0 \\ \frac{1}{2} \ < \ t\ < \ 2$
Объединим оба полученных промежутка и получим 0≤t<2. Возвращаемся к замене:
$0 \leq log_{3}(3x^2-4x+2)\ < \ 2 \\ log_31\ \leq log_{3}(3x^2-4x+2)\ < \ log_39 \\ 1\ \leq 3x^2-4x+2\ < \ 9$
Решаем и получаем ответ: (-1; 1/3] U [1; 7/3)
Логарифмическое неравенство: $\frac{\log_2(3\cdot 2^{x-1} -1)}{x}\geq 0$

Решение: Найдем область определения дроби в левой части. Знаменатель определен при $xeq 0$ , числитель определен, если
$3\cdot 2^{x-1}-1> 0 \\ 3\cdot 2^{x-1}> 1 \\ 2^{x-1} > \frac{1}{3} \\ x-1 > log_2(\frac{1}{3}) \\ x > log_2(\frac{1}{3})+1$
Заметим, что $log_2(\frac{1}{3})+1=-log_2(3)+1<0$
Таким образом, область определения дроби
$(log_2(\frac{1}{3})+1;0)\cup(0;+\infty)$
Найдем значения аргумента, при которых числитель неотрицателен:
$log_2(3\cdot 2^{x-1}-1)\geq 0 \\ 3\cdot 2^{x-1}-1\geq 1 \\ 3\cdot 2^{x-1}\geq 2 \\ 2^{x-1} \geq \frac{2}{3} \\ x-1 \geq log_2(\frac{2}{3}) \\ x \geq log_2(\frac{2}{3})+1 \\ log_2(\frac{2}{3})+1=log_2(2)-log_2(3)+1=2-log_2(3)>0.$
Таким образом, на интервале $(log_2(\frac{1}{3})+1;0)$ и числитель и знаменатель принимают отрицательные значения, поэтому дробь принимает положительные значения и все точки этого интервала нам подойдут.
На интервале $(0;log_2(\frac{2}{3})+1))$ числитель принимает отрицательные значения, а знаменатель принимает положительные значения, поэтому дробь принимает отрицательные значения.
На луче $[log_2(\frac{2}{3})+1;+\infty)$ числитель принимает неотрицательные значения, знаменатель принимает положительные значения, поэтому дробь принимает неотрицательные значения и все точки этого луча нам подойдут.
Ответ: $(log_2(\frac{1}{3})+1;0)\cup[log_2(\frac{2}{3})+1;+\infty).$
Логарифмическое неравенство $\log_2(\log_{\frac{1}{3}}\log_5 x) > 0$

Решение: $log_2(log_{\frac{1}{3}}log_5x)\ > \ 0\\\\ODZ:\; \; \left \{ {{x\ > \ 0,\; log_5x\ > \ 0} \atop {log_{\frac{1}{3}}(log_5x)\ > \ 0}} \right. \; \left \{ {{x\ > \ 0,\; x\ > \ 1} \atop {0\ < \ log_5x\ < \ 1}} \right. \; \left \{ {{x\ > \ 1} \atop {1\ < \ x\ < \ 5}} \right. \; \; \Rightarrow \; \; 1\ < \ x\ < \ 5\\\\log_{\frac{1}{3}}(log_5x)\ > \ 1\; \; \Rightarrow \; \; 0\ < \ log_5x\ < \ \frac{1}{3}\; \; \Rightarrow \; \; 1\ < \ x\ < \ \sqrt[3]5\\\\Otvet:\; \; x\in (1,\sqrt[3]5)\\$
Логарифмическое неравенство $log_{\frac{1}{6}} (3x-4) > -1$

Решение: $log_{\frac{1}{6}} (3x-4) > -1$
ОДЗ: $3x-4>0 \\ x>\frac{4}{3} \\ 0<\frac{1}{6}<1 \\ 3x-4< (\frac{1}{6})^{-1} \\ 3x-4<6 \\ 3x<6+4 \\ 3x<10 \\ x<\frac{10}{3}$
итого
$\frac{4}{3} < x < \frac{10}{3} \\ х є (\frac{4}{3};\frac{10}{3})$
Логарифмическое неравенство $log_3(2-3^x) < x+1-log_34$

Решение: $log_3(2-3^x)\ < x+1-log_34 \\ \\ log_3(2-3^x)+log_34\ < \ (x+1)\cdot log_33 \\ \\ log_3(2-3^x)\cdot 4\ < \ log_33^{x+1} \\ \\ \left \{ {{2-3^x\ > \ 0} \atop {(2-3^x)\cdot 4 \ < \ 3^{x+1} }} \right. \\ \left \{ {{2-3^x\ > \ 0} \atop {8-4\cdot 3^x \ < \ 3\cdot3^{x} }} \right. \\ \\ \left \{ {{3^x\ < \ 2} \atop {8\ < \ 7\cdot3^{x} }} \right. \\ \\ \frac{8}{7}\ < \ 3^x\ < \ 2 \\ \\ log_3{ \frac{8}{7}}\ < \ x\ < \ log_32$
Логарифмическое неравенство, Решить $\log_{10}^2100x -7\log_{10}x \geq 8$

Решение:
ОДЗ x>0
(lg100+lgx)²-7lgx-8≥0
(2+lgx)²-7lgx-8≥0
4+4lgx+lg²x-7lgx-8≥0
lg²x-3lgx-4≥0
lgx=a
a²-3a-4≥0
a1+a2=3 U a1*a2=-4⇒a1=-1 U a2=4
a-1≤a U a≥4⇒lgx≤-1 U lgx≥4⇒x≤0,1 U x≥10000
x∈(0;0,1] U [10000;∞)
Логарифмическое неравенство, решить $log_{ \frac{3x-4}{x+1} } (2x^2-3x) \geq log_{ \frac{3x-4}{x+1}} (17x-20-3x^2)$

Решение: $log_{ \frac{3x-4}{x+1} } (2x^2-3x) \geq log_{ \frac{3x-4}{x+1}} (17x-20-3x^2)$
ОДЗ:
$\frac{3x-4}{x+1} > 0 \\ \frac{3x-4}{x+1} = 1 \\ 2x^2-3x > 0 \\ 17x-20-3x^2 > 0 \\ \frac{3x-4}{x+1}-1 = 0$ (1)
$\frac{3x-4}{x+1} > 0$ (2)
$x(2x-3) > 0$ (3)
$3x^2-17x+20 < 0$ (4)
(1) $\frac{3x-4-x-1}{x+1} = 0 \\ \frac{2x-5}{x+1} = 0 \\ 2x-5 = 0 \\ x+1 = 0 \\ x = 2.5 \\ x = -1$
(2) решаем методом интервалов и получаем x∈ (-∞;-1) $(1 \frac{1}{3}; +∞)$
(3) решаем методом интервалов x∈ (-∞; 0) (1.5;+ ∞)
(4) $3 x^{2} -17x+20=0 \\ D=289-240=49 \\ x_1=4 \\ x_2=1 \frac{2}{3}$
решаем методом интервалов и получаем x∈ (1 $\frac{2}{3}$ ;4)
объединяем все случаи и получаем
$(1 \frac{2}{3} ;2,5) (2.5;4)$
переходим к решению неравенства и рассмотрим 2 случая:
1)
$\left \{ {0 < \frac{3x-4}{x+1} < 1} \atop {2x^2-3x \leq 17x-20-3x^2} \right. \\ 5x^2-20x+20 \leq 0 \\ x^2-4x+4 \leq 0 \\ (x-2)^2 \leq 0 \\ x=2 \\ \left \{ { \frac{3x-4}{x+1} > 0} \atop {\frac{3x-4}{x+1} < 1} \right. \\ \left \{ { \frac{3x-4}{x+1} > 0} \atop {\frac{2x-5}{x+1} < 0} \right.$
общее решение этого случая: {2}

2) $\left \{ {{ \frac{3x-4}{x+1}\ > \ 1 } \atop {2x^2-3x \geq 17x-20-3x^2}} \right. \\ (x-2)^2 \geq 0$ x - любое число
$\frac{2x-5}{x+1} > 0$
общее решение этого случая : x∈ (-∞;-1) (2.5;+∞)
объединяем 1 и 2 случаи x∈ (-∞; -1) {2} ( 2.5;+∞)
находим в пересечении с ОДЗ и получаем
Ответ: {2} (2.5; 4)

$log frac x- x x - x geq log frac x- x x- - x ОДЗ frac x- x frac x- x x - x x- - x frac x- x - frac x- x x x- x - x frac x- -x- x frac x- x x- x x . x - решаем методом интерва...$
Решите неравенство $\frac{\log_9(2-x)-\log_{15}(2-x)}{\log_{15}x-\log_{25}x}\leq \log_{25}9$

Решение: ОДЗ:
$2-x\ > \ 0 \ \Rightarrow \ x\ < \ 2 \\ x\ > \ 0 \\ \\ \log_{15}x-\log_{25} x = 0 \ \Rightarrow \ \log_{15}x = \log_{25}x \ \Rightarrow \ x = 1 \\ \\ \boxed{0\ < \ x\ < \ 1; \ \ 1\ < \ x\ < \ 2} \\ \frac{\frac{\ln(2-x)}{\ln9} - \frac{\ln(2-x)}{\ln15}}{\frac{\ln x}{\ln15} - \frac{\ln x}{\ln 25}} \leq \frac{\ln 9}{\ln 25}\\ \frac{\ln(2-x) \cdot (\ln15 - \ln9) \cdot \ln 15 \cdot \ln 25}{\ln x \cdot (\ln 25 - \ln 15) \cdot \ln 9 \cdot 15} \leq \frac{2 \ln 3}{2 \ln 5} \\ \\ \frac{\ln (2-x) \cdot \ln \frac{5}{3} \cdot 2\ln5}{\ln x \cdot \ln \frac{5}{3} \cdot 2\ln 3} \leq \frac{\ln 3 }{\ln 5} \\ \\ \\ \frac{\ln (2-x) \cdot \ln5}{\ln x \cdot \ln 3} \leq \frac{\ln 3 }{\ln 5}\ \\ \\ \frac{\ln (2-x) \cdot \ln^2 5}{\ln x \cdot \ln^2 3} \leq 1$
Функция $\frac{\ln (2-x) \cdot \ln^2 5}{\ln x \cdot \ln^2 3}$ убывает на всем промежутке (0Следовательно решением будет промежуток ОДЗ (на котором функция существует): $0\ < \ x\ < \ 1 \ \cup \ 1\ < \ x\ < \ 2$
Логарифмическое неравенство $\log_{\frac{x}{x-1}}5 \leq \log_{\frac{x}{2}}5$

Решение: Для начала записываем ОДЗ
$\frac{x}{x-1} > 0 \\ \frac{x}{x-1} = 1$
$\frac{x}{2} > 0 \\ \frac{x}{2} = 1 \\ x = 1$
Дальше перевернем логарифмы, перейдем к основанию 5.
$\frac{1}{log \frac{x}{yx-1} } \leq \frac{1}{log \frac{x}{2} } \\ log _{5} \frac{x}{x-1} \geq log _{5} \frac{x}{2}$
Основание логарифма 5>1, значит при переходе к алгебраическому неравенству менять знак неравенства не надо.
$\frac{x}{yx-1} \geq \frac{x}{2} \\ \frac{2x}{x-1} \geq \frac{x(x-1)}{x-1} \\ \frac{- x^{2} +3x}{x-1} \geq 0 \\ \frac{x(3-x)}{x-1} \geq 0$
На числовую ось наносим все нули дробно рационального уравнения и ОДЗ. то есть x=0, x=3 и x = 1
Расставляем знаки в интервалах. получаем ответ (-∞,0] U (1, 3]
теперь проверим, все ли из ответа входит в ОДЗ.
Точка x=2 выкидываем из ответа, и промежуток (-∞,0].
В ответ пойдет (1,2)U(2,3]
Логарифмические неравенства: $\log_{x-1}0,5 > 0,5$
$\log_{0,5}\log_2\log_{x-1}9 > 0$
$\log_{0,2}^2(x-1) > 4$

Решение: 1. $log_{x-1} 0.5 > 0.5 \\ x-1 > 0, x-1=1 ⇒\\ x > 1 \;\; и\;\; x=2 \\ log_{x-1} 0.5 > 0.5 log_{x-1} (x-1)\\ log_{x-1} 0.5 > log_{x-1} (x-1)^{0.5}\\ 0.5 >(x-1)^{0.5}\\ 0,25 > x-1\\ x < 1,25\\ 1 < x < 1,25$ 2. $log _{0.5} log_{2} log _{x-1} 9 > 0 x-1 > 0 x-1= 1⇒ x>1 и x= 2 \\ log _{0.5} log_{2} log _{x-1} 9>log _{0.5} 1\\ log_{2} log _{x-1} 9 > log _{2} 2 \\ log _{x-1} 9 > 2 \\ log _{x-1} 9 > log _{x-1} (x-1)^{2} \\ 9 > (x-1)^{2}\\ 0 > (x)^{2}-2x-8\\ (x+2)(x-4) < 0\\ 1 < x < 4$ 3. $log _{0.2} (x-1) > 4 x-1 > 0 ⇒ x > 1\\ log _{0.2} (x-1) > log _{0.2} 0,2 \\ x-1 > 0,0016 \\ x > 1.0016$

<< < 1 23 4 > >>

логарифмическое неравенство - страница 3

Логарифмическое неравенство √log9(3x2−4x+2)>log3(3x2−4x+2)−1√log9(3x2−4x+2)>log3(3x2−4x+2)−1\sqrt{ log_{9}(3x^2-4x+2)} > log_{3}(3x^2-4x+2) -1

Логарифмическое неравенство: log2(3⋅2x−1−1)x≥0\frac{\log_2(3\cdot 2^{x-1} -1)}{x}\geq 0

Логарифмическое неравенство log2(log13log5x)>0\log_2(\log_{\frac{1}{3}}\log_5 x) > 0

Логарифмическое неравенство log16(3x−4)>−1log_{\frac{1}{6}} (3x-4) > -1

Логарифмическое неравенство log3(2−3x)<x+1−log34log_3(2-3^x) < x+1-log_34

Логарифмическое неравенство, Решить log210100x−7log10x≥8\log_{10}^2100x -7\log_{10}x \geq 8

Логарифмическое неравенство, решить log3x−4x+1(2x2−3x)≥log3x−4x+1(17x−20−3x2)log_{ \frac{3x-4}{x+1} } (2x^2-3x) \geq log_{ \frac{3x-4}{x+1}} (17x-20-3x^2)

Решите неравенство log9(2−x)−log15(2−x)log15x−log25x≤log259\frac{\log_9(2-x)-\log_{15}(2-x)}{\log_{15}x-\log_{25}x}\leq \log_{25}9

Логарифмическое неравенство logxx−15≤logx25\log_{\frac{x}{x-1}}5 \leq \log_{\frac{x}{2}}5

Логарифмические неравенства: logx−10,5>0,5\log_{x-1}0,5 > 0,5log0,5log2logx−19>0\log_{0,5}\log_2\log_{x-1}9 > 0log20,2(x−1)>4\log_{0,2}^2(x-1) > 4

Логарифмическое неравенство $\sqrt{ log_{9}(3x^2-4x+2)} > log_{3}(3x^2-4x+2) -1$

Логарифмическое неравенство: $\frac{\log_2(3\cdot 2^{x-1} -1)}{x}\geq 0$

Логарифмическое неравенство $\log_2(\log_{\frac{1}{3}}\log_5 x) > 0$

Логарифмическое неравенство $log_{\frac{1}{6}} (3x-4) > -1$

Логарифмическое неравенство $log_3(2-3^x) < x+1-log_34$

Логарифмическое неравенство, Решить $\log_{10}^2100x -7\log_{10}x \geq 8$

Логарифмическое неравенство, решить $log_{ \frac{3x-4}{x+1} } (2x^2-3x) \geq log_{ \frac{3x-4}{x+1}} (17x-20-3x^2)$

Решите неравенство $\frac{\log_9(2-x)-\log_{15}(2-x)}{\log_{15}x-\log_{25}x}\leq \log_{25}9$

Логарифмическое неравенство $\log_{\frac{x}{x-1}}5 \leq \log_{\frac{x}{2}}5$

Логарифмические неравенства: $\log_{x-1}0,5 > 0,5$
$\log_{0,5}\log_2\log_{x-1}9 > 0$
$\log_{0,2}^2(x-1) > 4$