логарифм »

логарифмическое неравенство - страница 3

  • Решить логарифмические неравенства \( \log_2(1-3x)\leqslant4 \)
    \( \log^2_2x-\log_2x\leqslant6 \)


    Решение: $$ \log_2(1-3x)\leqslant4\\ \log_2(1-3x)\leqslant\log_216\\ 1-3x\leqslant16\\ -3x\leqslant15\\ x\geqslant-5 $$
    ОДЗ:
    $$ 1-3x\ > \ 0\\ -3x\ > \ -1\\ x\ < \ \frac{1}{3} $$
    Ответ: $$ x\in[-5; \frac{1}{3})\Longrightarrow -5+(-4) +(-3)+(-2)+(-1)+0=-15 \\ \log_{ \frac{1}{7}}(2x+3)\ < \ -\log_7(3x-2)\\ $$
    ОДЗ:
    $$ \left \{ {{2x+3\ > \ 0} \atop {3x-2\ > \ 0}} \right. \\\\ \left \{ {{2x\ > \ -3} \atop {3x\ > \ 2}} \right.\\\\ \left \{ {{x\ > \ -\frac{3}{2} } \atop {x\ > \ \frac{2}{3} }} \right.\\\\x\in(\frac{2}{3};+\infty) \\ -\log_7(2x+3)\ < \ -\log_7(3x-2) \ \ \ |\cdot(-1)\\ \log_7(2x+3)\ > \ \log_7(3x-2) \\ \Downarrow \\ 7\ > \ 1\\ 2x+3\ > \ 3x-2\\ -x\ > \ -2-3\\ x\ < \ 5\\\\ x\in( \frac{2}{3};5)\Longrightarrow x=1,2,3,4 $$
    Ответ: 4 целых решения
    $$ \log^2_2x-\log_2x\leqslant6 $$
    ОДЗ:
    x > 0
    $$ \log_2x=t \Longrightarrow x=2^t $$ замена, где $$ t\in(-\infty;+\infty) \\ t^2-t-6\leqslant0 \\ D=1+24=25; \sqrt D=5 \\ t_{1/2}= \frac{1\pm5}{2} \\ x_1=-2 \\ x_2=3 $$
    __+__-2__-__3__+__
    $$ \boxed{\leqslant} t\in[-2;3] \\ -2\leqslant\log_2x\leqslant3 \\ \log_2 \frac{1}{4}\leqslant\log_2x\leqslant\log_28 \\ \Downarrow \left \{ \frac{1}{4}\leqslant x\leqslant8 \atop {x > 0}\right. \\ x\in[ \frac{1}{4};8] \\ x=1,2,3,4,5,6,7,8 $$
    Ответ: 8 целых решений

  • Решить логарифмические неравенства 1) \(\log_4\frac{2x-1}{x+1} < -\frac{1}{2}\)
    2) \(\log_{\frac{x}{3}}x > \log_x3-\frac{5}{2}\)
    3) \(\log_2(9^{x-1}+7) < \log_2(3^{x-1}+1)\)
    4) \(\log_{0,5}(x^2+1) \leq \log_{0,5}(2x-5)\)


    Решение: 1. 0 < (2x-1)/(x+1) < 1/2.⇔{ 2(x-1/2) /(x+1) >0 ; (2x-1)/(x+1) - 1/2 <0. ⇔
    { 2(x-1/2) /(x+1) >0 ; 3(x -1)/(x+1)<0.
    //////////(-1) - (1/2) ////////////////////////
    - (-1) /////////////////////////(1) ////////
    ответ:  x∈ (1/2 ; 1).
    -
    2.  Log_x/3 x > Log_x 3 - 5/2 ;
    ОДЗ: { x >0 ; x ≠ 1 ; x/3  ≠ 1.⇔ x ∈(0;1) U(1;3) U(3; ∞).
    1/(Log_x x/3)  > Log_x 3  - 5/2 ;
    1/(1 -Log_x 3) > Log_x 3  - 5/2 ;
    замена t =Log_x 3 ;
    1/(1-t) > t -5/2 ;
    (2t² -7t +7)/2(1-t)  >0 ; но 2t² -7t +7> 0 для всех  t  т. к. D =7² -4*2*7 = -7<0.
    следовательно 1 - t > 0 т. е. 1 - Log_x 3 >0 ⇔1 - 1/Log_3 x >0 ⇔ 
    (Log_3 x -1)/ (Log_3 x) > 0 ⇔ (t - 1) / t >0 ⇔ t(t  - 1) >0⇔[ t<0 ; t >1.
    [Log_3 x  <0  ; Log_3 x >1.⇔  [ 03. 

    ответ:  x∈    x∈(0;1) U(3;∞).
    -
    3. Log_2 ( 9^(x-1) +7) < Log_2 (3^(x-1) +1) ;
     ОДЗ : x∈(-∞ ; ∞) т. к. 9^(x-1) +7 > 7 и   3^(x-1) +1 >1
    основание логарифма 2>1, поэтому
     9^(x-1) +7 < 3^(x-1) +1 ;
    замена t = 3^(x-1) ;
    t² +7 < t +1 ;
    t² -t +6 < 0 * * *но  t² -t +6 = (t-1/2)² +23/4 > 0 поэтому t ∈ ∅. * ** 
     
    ответ:  x ∈ ∅. 
    -
    4. Log_0,5 (x² +1) ≤  Log_0,5 (2x -5) ;
     ОДЗ : 2x -5 > 0 ⇒x∈ (2,5 ;∞). 
    Log_0,5 (2x -5) ≥ Log_0,5 (x² +1) ;
    основание логарифма 0<0,5<1, поэтому
    0< 2x -5 ≤ x² +1 ⇔ { x² -2x +6 ≥ 0 ; 2x -5 >0 ;  x² +1 ≥2x -5.
     {  x >2,5 ; x² -2x +6 ≥ 0 ⇔  {  x >2,5 ; (x -1)² +5 ≥ 0. ⇔{ x >2,5 ;x∈R.
    ответ:  x ∈ (2,5 ; ∞).

  • решить логарифмические неравенства 4.74 \(2\log_x^{-1}36+\log_6(x+1)\leq1\)
    4.75 \(2\log_2(x-1)-\log_2(2x-4) > 1\)
    4.76 \(\log_2(x-1)-\log_2(x+1)+\log_{\frac{x+1}{x-1}}2 > 0\)


    Решение: Использованы свойства логарифмов, метод интервалов

    1
    ОДЗ
    x>0,x≠1,x+1>0⇒x>-1
    x∈(0;1) U (1;∞)
    2log^-1(x)36=log(6)x
    log(6)x+log(6)(x+1)≤1
    log(6)(x²+x)≤1
    x²+x≤6
    x²+x-6≤0
    x1+x2=-1 U x1*x2=-6⇒x1=-3 U x2=2
    -3≤x≤2 U x∈(0;1) U (1;∞)
    Ответ x∈(0;1) U (1;2]
    2
     ОДЗ
    x-1>0⇒x>1
    2x-4>0⇒x>2
    x∈(2;∞)
    log(2)[(x-1)²/(2x-4)]>1
    (x-1)²/(2x-4)>2
    (x-1)²/(2x-4)-2>0
    (x²-2x+1-4x+8)/(2x-4)>0
    (x²-6x+9)/(2x-4)>0
    (x-3)²/(2x-4)>0
    x-3=0⇒x=3
    2x-4=0⇒x=2
       _  +  +
    -(2)-(3)-
    Ответ x∈(2;3) U (3;∞)
    3
    ОДЗ
    x-1>0⇒x>1
    x+1>0⇒x>-1
    (x+1)/(x-1)>0⇒x<-1 U x>1
    (x+1)/(x-1)≠1⇒x+1≠x-1
    x∈(1;∞)
    log[(x+1)/(x-1)]2>log(2)(x+1)-log(2)(x-1)
    log[(x+1)/(x-1)]2>log(2)[(x+1)/(x-1)]
    log[(x+1)/(x-1)]2>1/log[(x+1)/(x-1)]
    log[(x+1)/(x-1)]2=a
    a-1/a>0
    (a²-1)/a>0
    (a-1)(a+1)/a>0
    a=1  a=-1  a=0
       _  +  _  +
    -(-1)-(0)-(1)-
    -1(x-1)/(x+1)<2
    (x-1-2x-2)/(x+1)<0
    (x+3)/(x+1)<0⇒-3a>1⇒log[(x+1)/(x-1)]2>1
    (x+1)/(x-1)<2
    (x+1-2x+2)/(x-1)<0
    (3-x)/(x-1)<0
    x<1 U x>3 U x>1
    Ответ x∈(3;∞)

    Использованы свойства логарифмов метод интервалов ОДЗx x x x - x U log - x log xlog x log x log x x x x x x- x x - U x x - x - U x - x U x U Ответ x U  ОДЗx- x x- x x log x-...

  • Решить логарифмические неравенства 1) \(\log_{\frac{1}{2}}(2x-\frac{1}{8}) < 2\)
    2) \(\log_2(x-1)\leq \log_2(2x+3)\)


    Решение: С учётом ОДЗ придётся решать системы неравенств:
    а) 2х - 1/8 >0 ⇒ 2x > 1/8 ⇒ x > 1/16
      2x - 1/8 > 1/4 ⇒2х > 3/8 ⇒ x> 3/16
    Ответ: х > 3/16
    б) х -1 > 0 ⇒ x > 1 ⇒  x >1
      2x +3 > 0 ⇒ x > -1,5 ⇒ x > -1,5 
      x - 1 ≤ 2x +3 ⇒-x ≤ 4 ⇒ x ≥ - 4
    Ответ: х >1

  • Решить логарифмические неравенства и уравнение. 1) log 9 (x) - log 3 (x) = log 1/27 (5)
    2) log 1/4 (3x-8) < -2
    3) log x^3-9x^2+27x-27 (9-x) больше или равно 0
    То, что в скобках, это логарифмируемые числа


    Решение: $$ Log_9x-Log_3x=Log_{1/27}5 Log_{3^2}x-Log_3x=\\=Log_{3^{-3}}5 1/2Log_3x-Log_3x=-1/3Log_35 log_3( \sqrt{x}/x)=\\=Log_35^{-1/3} 1/ \sqrt{x} =1/5^{1/3} \sqrt{x} =5^{1/3} x=5^{2/3} $$
    **************
    $$ Log_{1/4}(3x-2)\ < \ -2 \\ 3x-2\ > \ 0; x\ > \ 2/3 $$
    так как основание меньше 1 то неравенство меняет знак
    $$ 3x-2\ > \ (1/4)^{-2} \\ 3x-2\ > \ 16 \\ x\ > \ 6 $$
    ******************
    $$ Log_{x^3-9x^2+27x-27}(9-x) \geq 0 \\ x^3-9x^2+27x-27=0 (x-3)^3=0 x=3 $$
    ОДЗ X>3.x≠4
    1) 3$$ (9-x) \leq ((x-3)^3)^0 9-x \leq 1 8 \leq x $$
    решений нет
    2) x>4
    $$ 9-x \geq 1 8 \geq x $$
    решение (4;8]

<< < 123 4 5 > >>