логарифм »

логарифмическое неравенство - страница 3

  • Логарифмическое неравенство \(\sqrt{ log_{9}(3x^2-4x+2)} > log_{3}(3x^2-4x+2) -1 \)


    Решение: Сразу напрашивается замена $$ log_{3}(3x^2-4x+2)=t $$. Тогда
    $$ \sqrt{ \frac{1}{2} t} \ > \ t-1 $$
    Если t<1 неравенство выполняется при любом t≥0. Значит часть решения выглядит так: 0≤t<1
    Если t≥1 мы имеем право возвести обе части в квадрат:
    $$ \frac{1}{2}t\ > \ t^2-2t+1 \\ 2t^2-5t+2\ < \ 0 \\ \frac{1}{2} \ < \ t\ < \ 2 $$
    Объединим оба полученных промежутка и получим 0≤t<2. Возвращаемся к замене:
    $$ 0 \leq log_{3}(3x^2-4x+2)\ < \ 2 \\ log_31\ \leq log_{3}(3x^2-4x+2)\ < \ log_39 \\ 1\ \leq 3x^2-4x+2\ < \ 9 $$
    Решаем и получаем ответ: (-1; 1/3] U [1; 7/3)

  • Логарифмическое неравенство: \(\frac{\log_2(3\cdot 2^{x-1} -1)}{x}\geq 0\)


    Решение: Найдем область определения дроби в левой части. Знаменатель определен при $$ xeq 0 $$, числитель определен, если 
    $$ 3\cdot 2^{x-1}-1> 0 \\ 3\cdot 2^{x-1}> 1 \\ 2^{x-1} > \frac{1}{3} \\ x-1 > log_2(\frac{1}{3}) \\ x > log_2(\frac{1}{3})+1 $$
    Заметим, что $$ log_2(\frac{1}{3})+1=-log_2(3)+1<0 $$
    Таким образом, область определения дроби
    $$ (log_2(\frac{1}{3})+1;0)\cup(0;+\infty) $$
    Найдем значения аргумента, при которых числитель неотрицателен:
    $$ log_2(3\cdot 2^{x-1}-1)\geq 0 \\ 3\cdot 2^{x-1}-1\geq 1 \\ 3\cdot 2^{x-1}\geq 2 \\ 2^{x-1} \geq \frac{2}{3} \\ x-1 \geq log_2(\frac{2}{3}) \\ x \geq log_2(\frac{2}{3})+1 \\ log_2(\frac{2}{3})+1=log_2(2)-log_2(3)+1=2-log_2(3)>0. $$
    Таким образом, на интервале $$ (log_2(\frac{1}{3})+1;0) $$ и числитель и знаменатель принимают отрицательные значения, поэтому дробь принимает положительные значения и все точки этого интервала нам подойдут.
    На интервале $$ (0;log_2(\frac{2}{3})+1)) $$ числитель принимает отрицательные значения, а знаменатель принимает положительные значения, поэтому дробь принимает отрицательные значения.
    На луче $$ [log_2(\frac{2}{3})+1;+\infty) $$ числитель принимает неотрицательные значения, знаменатель принимает положительные значения, поэтому дробь принимает неотрицательные значения и все точки этого луча нам подойдут.
    Ответ: $$ (log_2(\frac{1}{3})+1;0)\cup[log_2(\frac{2}{3})+1;+\infty). $$

  • Логарифмическое неравенство \(\log_2(\log_{\frac{1}{3}}\log_5 x) > 0\)


    Решение: $$ log_2(log_{\frac{1}{3}}log_5x)\ > \ 0\\\\ODZ:\; \; \left \{ {{x\ > \ 0,\; log_5x\ > \ 0} \atop {log_{\frac{1}{3}}(log_5x)\ > \ 0}} \right. \; \left \{ {{x\ > \ 0,\; x\ > \ 1} \atop {0\ < \ log_5x\ < \ 1}} \right. \; \left \{ {{x\ > \ 1} \atop {1\ < \ x\ < \ 5}} \right. \; \; \Rightarrow \; \; 1\ < \ x\ < \ 5\\\\log_{\frac{1}{3}}(log_5x)\ > \ 1\; \; \Rightarrow \; \; 0\ < \ log_5x\ < \ \frac{1}{3}\; \; \Rightarrow \; \; 1\ < \ x\ < \ \sqrt[3]5\\\\Otvet:\; \; x\in (1,\sqrt[3]5)\\ $$

  • Логарифмическое неравенство \(log_{\frac{1}{6}} (3x-4) > -1\)


    Решение: $$ log_{\frac{1}{6}} (3x-4) > -1 $$
    ОДЗ: $$ 3x-4>0 \\ x>\frac{4}{3} \\ 0<\frac{1}{6}<1 \\ 3x-4< (\frac{1}{6})^{-1} \\ 3x-4<6 \\ 3x<6+4 \\ 3x<10 \\ x<\frac{10}{3} $$
    итого
    $$ \frac{4}{3} < x < \frac{10}{3} \\ х є (\frac{4}{3};\frac{10}{3}) $$

  • Логарифмическое неравенство \(log_3(2-3^x) < x+1-log_34\)


    Решение: $$ log_3(2-3^x)\ < x+1-log_34 \\ \\ log_3(2-3^x)+log_34\ < \ (x+1)\cdot log_33 \\ \\ log_3(2-3^x)\cdot 4\ < \ log_33^{x+1} \\ \\ \left \{ {{2-3^x\ > \ 0} \atop {(2-3^x)\cdot 4 \ < \ 3^{x+1} }} \right. \\ \left \{ {{2-3^x\ > \ 0} \atop {8-4\cdot 3^x \ < \ 3\cdot3^{x} }} \right. \\ \\ \left \{ {{3^x\ < \ 2} \atop {8\ < \ 7\cdot3^{x} }} \right. \\ \\ \frac{8}{7}\ < \ 3^x\ < \ 2 \\ \\ log_3{ \frac{8}{7}}\ < \ x\ < \ log_32 $$

  • Логарифмическое неравенство, Решить \(\log_{10}^2100x -7\log_{10}x \geq 8\)


    Решение:

    ОДЗ x>0
    (lg100+lgx)²-7lgx-8≥0
    (2+lgx)²-7lgx-8≥0
    4+4lgx+lg²x-7lgx-8≥0
    lg²x-3lgx-4≥0
    lgx=a
    a²-3a-4≥0
    a1+a2=3 U a1*a2=-4⇒a1=-1 U a2=4
    a-1≤a U a≥4⇒lgx≤-1 U lgx≥4⇒x≤0,1 U x≥10000
    x∈(0;0,1] U [10000;∞)

    ОДЗ x lg lgx - lgx- lgx - lgx- lgx lg x- lgx- lg x- lgx- lgx aa - a- a a U a a - a - U a a- a U a lgx - U lgx x U x x U...

  • Логарифмическое неравенство, решить \(log_{ \frac{3x-4}{x+1} } (2x^2-3x) \geq log_{ \frac{3x-4}{x+1}} (17x-20-3x^2)\)


    Решение: $$ log_{ \frac{3x-4}{x+1} } (2x^2-3x) \geq log_{ \frac{3x-4}{x+1}} (17x-20-3x^2) $$
    ОДЗ:
    $$ \frac{3x-4}{x+1} > 0 \\ \frac{3x-4}{x+1} = 1 \\ 2x^2-3x > 0 \\ 17x-20-3x^2 > 0 \\ \frac{3x-4}{x+1}-1 = 0 $$ (1)
    $$ \frac{3x-4}{x+1} > 0 $$ (2)
    $$ x(2x-3) > 0 $$ (3)
    $$ 3x^2-17x+20 < 0 $$ (4)
    (1) $$ \frac{3x-4-x-1}{x+1} = 0 \\ \frac{2x-5}{x+1} = 0 \\ 2x-5 = 0 \\ x+1 = 0 \\ x = 2.5 \\ x = -1 $$
    (2) решаем методом интервалов и получаем x∈ (-∞;-1) \((1 \frac{1}{3}; +∞)\)
    (3) решаем методом интервалов x∈ (-∞; 0) (1.5;+ ∞)
    (4) $$ 3 x^{2} -17x+20=0 \\ D=289-240=49 \\ x_1=4 \\ x_2=1 \frac{2}{3} $$
     решаем методом интервалов и получаем x∈ (1 \(\frac{2}{3}\);4)
    объединяем все случаи и получаем 
    $$ (1 \frac{2}{3} ;2,5) (2.5;4) $$
    переходим к решению неравенства и рассмотрим 2 случая:
    1) 
    $$ \left \{ {0 < \frac{3x-4}{x+1} < 1} \atop {2x^2-3x \leq 17x-20-3x^2} \right. \\ 5x^2-20x+20 \leq 0 \\ x^2-4x+4 \leq 0 \\ (x-2)^2 \leq 0 \\ x=2 \\ \left \{ { \frac{3x-4}{x+1} > 0} \atop {\frac{3x-4}{x+1} < 1} \right. \\ \left \{ { \frac{3x-4}{x+1} > 0} \atop {\frac{2x-5}{x+1} < 0} \right. $$
    общее решение этого случая: {2} 

    2) $$ \left \{ {{ \frac{3x-4}{x+1}\ > \ 1 } \atop {2x^2-3x \geq 17x-20-3x^2}} \right. \\ (x-2)^2 \geq 0 $$ x - любое число
    $$ \frac{2x-5}{x+1} > 0 $$
    общее решение этого случая : x∈ (-∞;-1) (2.5;+∞)
    объединяем 1 и 2 случаи x∈ (-∞; -1) {2} ( 2.5;+∞)
     находим в пересечении с ОДЗ и получаем 
    Ответ: {2} (2.5; 4)

    log frac x- x x - x geq log frac x- x x- - x ОДЗ frac x- x frac x- x x - x x- - x frac x- x - frac x- x x x- x - x frac x- -x- x frac x- x x- x x . x - решаем методом интерва...

  • Решите неравенство \(\frac{\log_9(2-x)-\log_{15}(2-x)}{\log_{15}x-\log_{25}x}\leq \log_{25}9\)


    Решение: ОДЗ:
    $$ 2-x\ > \ 0 \ \Rightarrow \ x\ < \ 2 \\ x\ > \ 0 \\ \\ \log_{15}x-\log_{25} x = 0 \ \Rightarrow \ \log_{15}x = \log_{25}x \ \Rightarrow \ x = 1 \\ \\ \boxed{0\ < \ x\ < \ 1; \ \ 1\ < \ x\ < \ 2} \\ \frac{\frac{\ln(2-x)}{\ln9} - \frac{\ln(2-x)}{\ln15}}{\frac{\ln x}{\ln15} - \frac{\ln x}{\ln 25}} \leq \frac{\ln 9}{\ln 25}\\ \frac{\ln(2-x) \cdot (\ln15 - \ln9) \cdot \ln 15 \cdot \ln 25}{\ln x \cdot (\ln 25 - \ln 15) \cdot \ln 9 \cdot 15} \leq \frac{2 \ln 3}{2 \ln 5} \\ \\ \frac{\ln (2-x) \cdot \ln \frac{5}{3} \cdot 2\ln5}{\ln x \cdot \ln \frac{5}{3} \cdot 2\ln 3} \leq \frac{\ln 3 }{\ln 5} \\ \\ \\ \frac{\ln (2-x) \cdot \ln5}{\ln x \cdot \ln 3} \leq \frac{\ln 3 }{\ln 5}\ \\ \\ \frac{\ln (2-x) \cdot \ln^2 5}{\ln x \cdot \ln^2 3} \leq 1 $$
    Функция $$ \frac{\ln (2-x) \cdot \ln^2 5}{\ln x \cdot \ln^2 3} $$  убывает на всем промежутке (0Следовательно решением будет промежуток ОДЗ (на котором функция существует): $$ 0\ < \ x\ < \ 1 \ \cup \ 1\ < \ x\ < \ 2 $$

  • Логарифмическое неравенство \(\log_{\frac{x}{x-1}}5 \leq \log_{\frac{x}{2}}5\)


    Решение: Для начала записываем ОДЗ
    $$ \frac{x}{x-1} > 0 \\ \frac{x}{x-1} = 1 $$
    $$ \frac{x}{2} > 0 \\ \frac{x}{2} = 1 \\ x = 1 $$
    Дальше перевернем логарифмы, перейдем к основанию 5.
    $$ \frac{1}{log \frac{x}{yx-1} } \leq \frac{1}{log \frac{x}{2} } \\ log _{5} \frac{x}{x-1} \geq log _{5} \frac{x}{2} $$
    Основание логарифма 5>1, значит при переходе к алгебраическому неравенству менять знак неравенства не надо.
    $$ \frac{x}{yx-1} \geq \frac{x}{2} \\ \frac{2x}{x-1} \geq \frac{x(x-1)}{x-1} \\ \frac{- x^{2} +3x}{x-1} \geq 0 \\ \frac{x(3-x)}{x-1} \geq 0 $$
    На числовую ось наносим все нули дробно рационального уравнения и ОДЗ. то есть x=0, x=3 и x = 1
    Расставляем знаки в интервалах. получаем ответ (-∞,0] U (1, 3]
    теперь проверим, все ли из ответа входит в ОДЗ.
    Точка x=2 выкидываем из ответа, и промежуток (-∞,0]. 
    В ответ пойдет (1,2)U(2,3]

  • Логарифмические неравенства: \(\log_{x-1}0,5 > 0,5\)
    \(\log_{0,5}\log_2\log_{x-1}9 > 0\)
    \(\log_{0,2}^2(x-1) > 4\)


    Решение: 1. $$ log_{x-1} 0.5 > 0.5 \\ x-1 > 0, x-1=1 ⇒\\ x > 1 \;\; и\;\; x=2 \\ log_{x-1} 0.5 > 0.5 log_{x-1} (x-1)\\ log_{x-1} 0.5 > log_{x-1} (x-1)^{0.5}\\ 0.5 >(x-1)^{0.5}\\ 0,25 > x-1\\ x < 1,25\\ 1 < x < 1,25 $$ 2. $$ log _{0.5} log_{2} log _{x-1} 9 > 0 x-1 > 0 x-1= 1⇒ x>1 и x= 2 \\ log _{0.5} log_{2} log _{x-1} 9>log _{0.5} 1\\ log_{2} log _{x-1} 9 > log _{2} 2 \\ log _{x-1} 9 > 2 \\ log _{x-1} 9 > log _{x-1} (x-1)^{2} \\ 9 > (x-1)^{2}\\ 0 > (x)^{2}-2x-8\\ (x+2)(x-4) < 0\\ 1 < x < 4 $$ 3. $$ log _{0.2} (x-1) > 4 x-1 > 0 ⇒ x > 1\\ log _{0.2} (x-1) > log _{0.2} 0,2 \\ x-1 > 0,0016 \\ x > 1.0016 $$
<< < 123 4 > >>