логарифм »

логарифмическое неравенство - страница 4

  • Логарифмическое неравенство \(\log_{\sqrt{\frac{1}{2}}}(3^{x+2} -9^x) \geq -6\)


    Решение: ОДЗ
    3:(x+2)-9^x>0
    3^2x-9*3^x<0
    3^x=a
    a²-9a<0
    a(a-9)<0
    a=0  a=9
    03^(x+2)-9^x≤8
    3^2x-9*3^x+8≥0
    a²-9a+8≥0
    a1+a2=9 U a1*a2=8⇒a1=1 U a2=8
    a≤1⇒3^x≤1  ⇒x≤0
    a≥8⇒3^x≥8⇒x≥log(3)8
    x∈(-∞;0] U [log(3)8;2)

    ОДЗ x - x x- x...

  • Решите неравенство \(\log_5(2x+4) < \log_5(x+3)\)


    Решение: $$ log_{5}(2x-4)\ < \ log_{5}(x+3) $$
    ОДЗ:
    $$ \left \{ {{2x-4\ > \ 0} \atop {x+3\ > \ 0}} \right. \\ \left \{ {{2x\ > \ 4} \atop {x\ > \ -3}} \right. \\ \left \{ {{x\ > \ 2} \atop {x\ > \ -3}} \right. \\ x \in (2;+\infty) \\ 2x-4\ < \ x+3 \\ 2x-x\ < 4+3 \\ x < 7 $$ С учётом ОДЗ получаем 
    Ответ: $$ (2;7) $$

  • Решите систему неравенств \(\begin{cases}4^{x+1}-17\cdot 2^x +4 \leq 0\\ \log_{|x|}^2(x^2)+\log_2(x^2)\leq 8\end{cases}\)


    Решение: $$ \left \{ {{4^{x+1}-17\cdot2^x+4\leq0,} \atop {\log^2_{|x|}x^2+\log_2 x^2\leq8;}} \right. \\ \\ 4\cdot4^x-17\cdot2^x+4\leq0, \\ 4\cdot(2^x)^2-17\cdot2^x+4\leq0, \\ 2^x=t, \\ 4t^2-17t+4\leq0, \\ 4t^2-17t+4=0, \\ D=225, x_1=\frac{1}{4}, x_2=4, \\ a=4>0, \\ \frac{1}{4}\leq t\leq4, \\ \frac{1}{4}\leq 2^x\leq4, \\ 2^{-2}\leq 2^x\leq2^2, \\ -2\leq x\leq2, \\ \\ (2\log_{|x|}|x|)^2+\log_2 x^2\leq8; \\ x^2>0, xeq0, \\ 2^2+\log_2 x^2\leq8; \\ \log_2 x^2\leq4; \\ x^2\leq2^4; \\ x^2-16\leq0, \\ (x+4)(x-4)\leq0, \\ (x+4)(x-4)=0, \\ x_1=-4, x_2=4 \\ x\leq-4, x\geq4, \\ x\in\varnothing $$

  • Решить логарифмические неравенства: \(log_{\frac{1}{5}}(3-2x)>-1\)
    \(lg(4x-1)\leq1\)
    \(log_2(4-3x)\leq-3\)
    \(2^x+2^{2x+3}-3*2^{2x+1}\geq-3\)
    \((\frac{1}{3})^{5-3x}\leq81\)


    Решение: 1)$$ log_{\frac{1}{5}}(3-2x)>-1\\3-2x<(\frac{1}{5})^{-1}\\3-2x<5\\-2x<2\\x>-1 $$
    ОДЗ:3-2x>0
      2x<3
      x<3/2
    Ответ: $$ x\in(-1;\frac{3}{2}) $$
    2)$$ lg(4x-1)\leq1\\4x-1\leq(10)^1\\4x\leq11\\x\leq\frac{11}{4} $$
    ОДЗ: 4x-1>0
      4x>1
      x>1/4
    Ответ: $$ (\frac{1}{4};\frac{11}{4}] $$
    3)$$ log_2(4-3x)\leq-3\\4-3x\leq2^{-3}\\-3x\leq\frac{1}{8}-4\\-3x\leq-\frac{31}{8}\\x\geq\frac{31}{24} $$
    ОДЗ:4-3x>0
      -3x>-4
      x<4/3(32/24)
    Ответ:$$ x\in[\frac{31}{24};\frac{4}{3}) $$
    4)$$ 2^x+2^{2x+3}-3*2^{2x+1}\geq-3\\2^x+2^3*2^{2x}-3*2^1*2^{2x}+3\geq0\\2^x+2*2^{2x}+3\geq0 $$
    Заметим, что это выражение больше нуля при любых значениях х, т. к. показательная ффункция по определению положительная.
    Ответ: $$ x\in R $$
    5)$$ (\frac{1}{3})^{5-3x}\leq81\\(3)^{-1*(5-3x)}\leq3^4\\-1*(5-3x)\leq4\\-5+3x\leq4\\3x\leq9\\x\leq3 $$
    Ответ: $$ x\in (-\infty;3] $$

  • Логарифмическое неравенство
    log_3(3-x)+|log_3(x+1)|=1
    Если уравнение имеет два корня, то запишите его сумму


    Решение: Здесь два уравнения
    1)
    если
    $$ log_3(x+1)\ > \ 0 $$,
    то
    $$ |log_3(x+1)|=log_3(x+1) $$
    Уравнение принимает вид
    $$ log_3(3-x)+log_3(x+1)=1 \\ \left \{ {{3-x > 0} \atop {x+1 > 0} }\atop {(3-x)(x+1)=3} \right. \\ \left \{ {{-1 < x < 3} \atop {x^2-2x=0}} \right. \\ \left \{ {{-1 < x < 3} \atop {x=0;x=2}} \right. $$
    x=0  и х=2 удовлетворяют неравенству системы, поэтому являются корнями уравнения
    2)
    если
    $$ log_3(x+1)\ < \ 0, $$
    то
    $$ |log_3(x+1)|=-log_3(x+1) $$
    Уравнение принимает вид
    $$ log_3(3-x)-log_3(x+1)=1 \\ \left \{ {{3-x > 0} \atop {x+1 > 0} }\atop \frac{3-x}{x+1}=3 \right. \\ \left \{ {{-1 < x < 3} \atop {3-x=3x+3}} \right. \\ \left \{ {{-1 < x < 3} \atop {4x=2}} \right. \\ \left \{ {{-1 < x < 3} \atop {x=0,5}} \right.\ $$
    x=0,5  удовлетворяет неравенству системы, поэтому является корнем уравнения
    Ответ. 0; 0,5; 2 - три корня уравнения
    сумма корней
    2,5

<< < 234