логарифмическое неравенство - страница 4
решить логарифмические неравенства/системы неравенств. 1) \(\begin{cases}\frac{2x^2 - 10x +6}{x-5}\leq x \\ 1+\log_6 (4-x) \leq \log_6 (16-x^2)\end{cases}\)
2) \(\frac{3\log_2x}{2+\log_2x} \leq 2\log_2x - 1\)
Решение: 1
a)(2x²-10x+6)/(x-5) -x≤0
(2x²-10x+6-x²+5x)/(x-5)≤0
(x²-5x+6)/(x-5)≤0
(x-2)(x-3)/(x-5)≤0
x=2 x=3 x=5
_ + _ +
-
2 3 5
x∈(-∞;2] U [3;5)
b)4-x>0⇒x<4
(16-x²)>0⇒(4-x)(x+x)>0⇒-4
24-6x-16+x²≤0
x²-6x+8≤0
(x-2)(x-4)≤0
x∈[2;4]
общее x∈(-∞;2] U [3;5) U x∈[2;4]⇒x=2 U x∈[3;4]
2
x>0
2+log(2)x≠0⇒log(2)x≠-2⇒x≠1/4
x∈(0;1/4) U (1/4;∞)
3log(2)x/(2+log(2)) -2log(2)x+1≤0
(3log(2)x-4log(2)x+2-2log²(2)x+log(2)x(/(2+log(2)x)≤0
2(1-log²(2)x)/(2+log(2)x)≤0
log(2)x=a
2(1-a)(1+a)/(2+a)≤0
a=1 a=-1 a=-2
+ _ + _
-
-2 -1 1
-2
x∈(1/4;1/2] U [2;∞)Логарифмические неравенства: a) \(\log_3(x^2+2x) < 1\)
б) \(\log_{0,5}(2x^2+3x+1) \geq 2\log_{0,5}(x-1)\)
в) \(\log_2^2x+2\log_2x-3 > 0\)
Решение: №1а) log (x^2+2x)<1
3
log (x^2+2x)< log 3
3 3
тк 3>1 то:
x^2+2x<3
x^2+2x-3<0
D=16
x1=1
x2=-3
Ответ: от -3 до 1 не включая эти числа
б) log (2x^2+3x+1)>=2log (x-1)
0,5 0,5
log (2x^2+3x+1)>=log (x-1)^2
0,5 0,5
Тк 0,5 < 1 ->
2x^2+3x+1<=(x-1)^2
2x^2+3x+1<= x^2-2x+1
x^2+5x<=0
x(x+5)<=0
Ответ: х - от -5 до 0 включая эти числа
1)
log_3 (x^2+2x)<1,
log_3 (x^2+2x)
a=3>1,
x^2+2x<3,
x^2+2x>0;
x^2+2x-3<0,
x^2+2x-3=0,
x1=-3, x2=1,
-3
x^2+2x>0,
x^2+2x=0,
x(x+2)=0,
x1=-2, x2=0,
x<-2, x>0,
xЄ(-3;-2)U(0;1)
2)
log_0.5 (2x^2+3x+1)>=2log_0.5 (x-1),
log_0.5 (2x^2+3x+1)>=log_0.5 (x-1)^2,
x-1>0,
x>1,
a=0.5<1,
2x^2+3x+1<=(x-1)^2,
2x^2+3x+1>0,
2x^2+3x+1<=x^2-2x+1,
x^2+5x<=0,
x(x+5)<=0,
x(x+5)=0,
x1=-5, x2=0,
-5<=x<=0,
2x^2+3x+1>0,
2x^2+3x+1=0,
D=1,
x1=-1, x2=-1/2,
x<-1, x>-1/2,
нет решений
3)
log^2_2 x+2log_2-3>0,
log_2 x=t,
t^2+2t-3>0,
t^2+2t-3=0,
t1=-3, t2=1,
(t+3)(t-1)>0,
t<-3, t>1,
log_2 x<-3,
log_2 x
x<1/8,
log_2 x>1,
log_2 x>log_2 2,
x>2,
xЄ(-оо;1/8)U(2;+oo)
Решить логарифмические неравенства: 4.68 \(\log_{0,49}7^{\frac{5}{7x}} > 2,5\log_{0,7}7\)
4.69 \(2\log_3x-\log_{\frac{1}{3}}(4-x) \leq \log_3(x-1)^2+2\log_9(10-x)\)
4.70 \(\log_{\frac{1}{2}}(\log_8\frac{x^2-2x}{x-3}) < 0\)
Решение:68
log(0,7)7^(5x/14)>log(0,7)7^(2,5)
7^(5x/14)<7^(5/2)
5x/14<5/2
x<5/2:5/14
x<7
x∈(-∞;7)
69
ОДЗ
x>0;4-x>0⇒x<4;x-1≠0⇒x≠1;10-x>0⇒x<10
x∈(0;1) U (1;4)
log(3)x²+log(3)(4-x)≤log(3)(x-1)²+log(3)(10-x)
log(3)x²(4-x)≤log(3)(x-1)²(10-x)
x²(4-x)≤(x-1)²(10-x)
4x²-x³-10x²+x³+20x-2x²-10+x≤0
8x²-21x+10≥0
D=441-320=121
x1=(21-11)/16=5/8
x2=(21+11)/16=2
x≤5/8 U x≥2
x∈(0;5/8] U [2;4)
70
ОДЗ
{x(x-2)/(x-3)>0
{log(8)x(x-2)/(x-3)>0⇒x(x-2)/(x-3)>1⇒
x(x-2)/(x-3)>1
(x²-2x-x+3)/(x-3)>0
(x²-3x+3)/(x-3)>0
x²-3x+3>0 при любом х, т. к. D=-3<0⇒x-3>0⇒x>3
x∈(3;∞)
log(8)x(x-2)/(x-3)>1
x(x-2)/(x-3)>8
(x²-2x-8x+24)/(x-3)>0
(x²-10x+24)/(x-3)>0
x²-10x+24=0
x1+x2=10 U x1*x2=24⇒x1=4 u x2=6
x-3=0⇒x=3
_ + _ +
-(3)-(4)-(6)-
3
x∈(3;4) U (6;∞)
Логарифмические неравенства 1. Решите неравенство \(\log_{\frac{1}{5}}(3x+4) \geq -2\) и укажите его наименьшее целочисленное решение.
2. Решите неравенство \(\lg(x^2+x-20) < \lg(4x-2)\) и укажите количество его целочисленных решений.
3. Решите неравенство \(\log_{\frac{1}{6}}^2x > 4\)
Решение: $$ \log_{ \frac{1}{5} }(3x+4) \geq -2 $$
Отметим ОДЗ: $$ 3x+4>0 \\ x>- \frac{4}{3} $$
Воспользуемся свойством логарифма
$$ \log_{\frac{1}{5}}(3x+4)+\log_{\frac{1}{5}}(\frac{1}{5})^2 \geq 0 \\ \log_{\frac{1}{5}}(\frac{1}{25}(3x+4)) \geq \log_{\frac{1}{5}}1 $$
Так как 0<1/5<1, то функция убывающая(знак неравенства меняется на противоположный), сделаем это
$$ \frac{1}{25}(3x+4) \leq 1 \\ 3x+4 \leq 25 \\ 3x \leq 21 \\ x \leq 7 $$
С учетом ОДЗ $$ (- \frac{4}{3} ;7] $$
Наименьший корень: -1.
Ответ: -1.
$$ \lg (x^2+x-20)<\lg(4x-2) $$
ОДЗ: $$ \left \{ {{x^2+x-20>0} \atop {4x-2>0}} \right. $$
Воспользуемся свойством логарифма
$$ x^2+x-20<4x-2 \\ x^2-3x-18<0 $$
Корни уравнения x²-3x-18=0,3 и 6
____+_____(-3)___-____(6)____+___>
С учетом ОДЗ: $$ (4;6) $$
Количество целых чисел: 1.
Ответ: 1.
$$ \log_{ \frac{1}{6} }^2x>4 $$
ОДЗ: x>0
$$ \left[\begin{array}{ccc}\log_{\frac{1}{6}}x>2\\\log_{\frac{1}{6}}<-2\end{array}\right. \to \left[\begin{array}{ccc}x<\frac{1}{36}\\x<36\end{array}\right. $$
С учетом ОДЗ: $$ (\frac{1}{36};36) $$
Ответ: $$ x \in (\frac{1}{36};36) $$
Логарифмическое неравенство \(\frac{x^2-4}{\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1)} < 0\)
Решение: 1)x²-4<0⇒log(1/2)(x²-1)>0
x²-4<0⇒(x-2)(x+2)<0 x=2 U x=-2
+ _ +
______________________________
-2 2
x∈(-2;2)
log(1/2)(x²-1)>0
x²-1>0 U x²-1<1
x²-1>0⇒x∈(-≈;-1) U (1;≈)
x²-2<0⇒x∈(-√2;√2)
Объединим x∈(-2;2),x∈(-≈;-1) U (1;≈) и x∈(-√2;√2)⇒х∈(-√2;-1) и (1;√2)
2)x²-4>0⇒log(1/2)(x²-1)<0
x∈(-≈;-2) U (2;≈)
log(1/2)(x²-1)<0
x²-1>0 U x²-1>1
x²-1>0⇒x∈(-≈;-1) U (1;≈)
x²-2>0⇒x∈(-≈;-√2) U (√2;≈)
Объединим x∈(-≈;-2) U (2;≈),x∈(-≈;-1) U (1;≈),(-≈;-√2) U (√2;≈)⇒x∈(-≈;-2) U (2;≈)
Ответ: х∈(-≈;-2)U(-√2;-1); (1;√2); (2;≈)
Логарифмической функцией называется функция вида
y = logax,
где а - некоторое фиксированное положительное число, отличное от 1.
Формула y = logax выражает то же самое, что и формула
аy= х. (1)
Отсюда легко установить связь между логарифмической функцией и показательной функцией
у = аx (2)
Если показательная функция (2) описывает изменение степени в зависимости от изменения ее показателя, то ввиду (1) логарифмическая функция, наоборот, описывает изменение...