логарифм »

логарифмическое неравенство - страница 6

  • Логарифмическое неравенство, Решить \(\log_{10}^2100x -7\log_{10}x \geq 8\)


    Решение:

    ОДЗ x>0
    (lg100+lgx)²-7lgx-8≥0
    (2+lgx)²-7lgx-8≥0
    4+4lgx+lg²x-7lgx-8≥0
    lg²x-3lgx-4≥0
    lgx=a
    a²-3a-4≥0
    a1+a2=3 U a1*a2=-4⇒a1=-1 U a2=4
    a-1≤a U a≥4⇒lgx≤-1 U lgx≥4⇒x≤0,1 U x≥10000
    x∈(0;0,1] U [10000;∞)

    ОДЗ x lg lgx - lgx- lgx - lgx- lgx lg x- lgx- lg x- lgx- lgx aa - a- a a U a a - a - U a a- a U a lgx - U lgx x U x x U...

  • Логарифмическое неравенство, решить \(log_{ \frac{3x-4}{x+1} } (2x^2-3x) \geq log_{ \frac{3x-4}{x+1}} (17x-20-3x^2)\)


    Решение: $$ log_{ \frac{3x-4}{x+1} } (2x^2-3x) \geq log_{ \frac{3x-4}{x+1}} (17x-20-3x^2) $$
    ОДЗ:
    $$ \frac{3x-4}{x+1} > 0 \\ \frac{3x-4}{x+1} = 1 \\ 2x^2-3x > 0 \\ 17x-20-3x^2 > 0 \\ \frac{3x-4}{x+1}-1 = 0 $$ (1)
    $$ \frac{3x-4}{x+1} > 0 $$ (2)
    $$ x(2x-3) > 0 $$ (3)
    $$ 3x^2-17x+20 < 0 $$ (4)
    (1) $$ \frac{3x-4-x-1}{x+1} = 0 \\ \frac{2x-5}{x+1} = 0 \\ 2x-5 = 0 \\ x+1 = 0 \\ x = 2.5 \\ x = -1 $$
    (2) решаем методом интервалов и получаем x∈ (-∞;-1) \((1 \frac{1}{3}; +∞)\)
    (3) решаем методом интервалов x∈ (-∞; 0) (1.5;+ ∞)
    (4) $$ 3 x^{2} -17x+20=0 \\ D=289-240=49 \\ x_1=4 \\ x_2=1 \frac{2}{3} $$
     решаем методом интервалов и получаем x∈ (1 \(\frac{2}{3}\);4)
    объединяем все случаи и получаем 
    $$ (1 \frac{2}{3} ;2,5) (2.5;4) $$
    переходим к решению неравенства и рассмотрим 2 случая:
    1) 
    $$ \left \{ {0 < \frac{3x-4}{x+1} < 1} \atop {2x^2-3x \leq 17x-20-3x^2} \right. \\ 5x^2-20x+20 \leq 0 \\ x^2-4x+4 \leq 0 \\ (x-2)^2 \leq 0 \\ x=2 \\ \left \{ { \frac{3x-4}{x+1} > 0} \atop {\frac{3x-4}{x+1} < 1} \right. \\ \left \{ { \frac{3x-4}{x+1} > 0} \atop {\frac{2x-5}{x+1} < 0} \right. $$
    общее решение этого случая: {2} 

    2) $$ \left \{ {{ \frac{3x-4}{x+1}\ > \ 1 } \atop {2x^2-3x \geq 17x-20-3x^2}} \right. \\ (x-2)^2 \geq 0 $$ x - любое число
    $$ \frac{2x-5}{x+1} > 0 $$
    общее решение этого случая : x∈ (-∞;-1) (2.5;+∞)
    объединяем 1 и 2 случаи x∈ (-∞; -1) {2} ( 2.5;+∞)
     находим в пересечении с ОДЗ и получаем 
    Ответ: {2} (2.5; 4)

    log frac x- x x - x geq log frac x- x x- - x ОДЗ frac x- x frac x- x x - x x- - x frac x- x - frac x- x x x- x - x frac x- -x- x frac x- x x- x x . x - решаем методом интерва...

  • Решите неравенство \(\frac{\log_9(2-x)-\log_{15}(2-x)}{\log_{15}x-\log_{25}x}\leq \log_{25}9\)


    Решение: ОДЗ:
    $$ 2-x\ > \ 0 \ \Rightarrow \ x\ < \ 2 \\ x\ > \ 0 \\ \\ \log_{15}x-\log_{25} x = 0 \ \Rightarrow \ \log_{15}x = \log_{25}x \ \Rightarrow \ x = 1 \\ \\ \boxed{0\ < \ x\ < \ 1; \ \ 1\ < \ x\ < \ 2} \\ \frac{\frac{\ln(2-x)}{\ln9} - \frac{\ln(2-x)}{\ln15}}{\frac{\ln x}{\ln15} - \frac{\ln x}{\ln 25}} \leq \frac{\ln 9}{\ln 25}\\ \frac{\ln(2-x) \cdot (\ln15 - \ln9) \cdot \ln 15 \cdot \ln 25}{\ln x \cdot (\ln 25 - \ln 15) \cdot \ln 9 \cdot 15} \leq \frac{2 \ln 3}{2 \ln 5} \\ \\ \frac{\ln (2-x) \cdot \ln \frac{5}{3} \cdot 2\ln5}{\ln x \cdot \ln \frac{5}{3} \cdot 2\ln 3} \leq \frac{\ln 3 }{\ln 5} \\ \\ \\ \frac{\ln (2-x) \cdot \ln5}{\ln x \cdot \ln 3} \leq \frac{\ln 3 }{\ln 5}\ \\ \\ \frac{\ln (2-x) \cdot \ln^2 5}{\ln x \cdot \ln^2 3} \leq 1 $$
    Функция $$ \frac{\ln (2-x) \cdot \ln^2 5}{\ln x \cdot \ln^2 3} $$  убывает на всем промежутке (0Следовательно решением будет промежуток ОДЗ (на котором функция существует): $$ 0\ < \ x\ < \ 1 \ \cup \ 1\ < \ x\ < \ 2 $$

  • Логарифмическое неравенство \(\log_{\frac{x}{x-1}}5 \leq \log_{\frac{x}{2}}5\)


    Решение: Для начала записываем ОДЗ
    $$ \frac{x}{x-1} > 0 \\ \frac{x}{x-1} = 1 $$
    $$ \frac{x}{2} > 0 \\ \frac{x}{2} = 1 \\ x = 1 $$
    Дальше перевернем логарифмы, перейдем к основанию 5.
    $$ \frac{1}{log \frac{x}{yx-1} } \leq \frac{1}{log \frac{x}{2} } \\ log _{5} \frac{x}{x-1} \geq log _{5} \frac{x}{2} $$
    Основание логарифма 5>1, значит при переходе к алгебраическому неравенству менять знак неравенства не надо.
    $$ \frac{x}{yx-1} \geq \frac{x}{2} \\ \frac{2x}{x-1} \geq \frac{x(x-1)}{x-1} \\ \frac{- x^{2} +3x}{x-1} \geq 0 \\ \frac{x(3-x)}{x-1} \geq 0 $$
    На числовую ось наносим все нули дробно рационального уравнения и ОДЗ. то есть x=0, x=3 и x = 1
    Расставляем знаки в интервалах. получаем ответ (-∞,0] U (1, 3]
    теперь проверим, все ли из ответа входит в ОДЗ.
    Точка x=2 выкидываем из ответа, и промежуток (-∞,0]. 
    В ответ пойдет (1,2)U(2,3]

  • Логарифмические неравенства: \(\log_{x-1}0,5 > 0,5\)
    \(\log_{0,5}\log_2\log_{x-1}9 > 0\)
    \(\log_{0,2}^2(x-1) > 4\)


    Решение: 1. $$ log_{x-1} 0.5 > 0.5 \\ x-1 > 0, x-1=1 ⇒\\ x > 1 \;\; и\;\; x=2 \\ log_{x-1} 0.5 > 0.5 log_{x-1} (x-1)\\ log_{x-1} 0.5 > log_{x-1} (x-1)^{0.5}\\ 0.5 >(x-1)^{0.5}\\ 0,25 > x-1\\ x < 1,25\\ 1 < x < 1,25 $$ 2. $$ log _{0.5} log_{2} log _{x-1} 9 > 0 x-1 > 0 x-1= 1⇒ x>1 и x= 2 \\ log _{0.5} log_{2} log _{x-1} 9>log _{0.5} 1\\ log_{2} log _{x-1} 9 > log _{2} 2 \\ log _{x-1} 9 > 2 \\ log _{x-1} 9 > log _{x-1} (x-1)^{2} \\ 9 > (x-1)^{2}\\ 0 > (x)^{2}-2x-8\\ (x+2)(x-4) < 0\\ 1 < x < 4 $$ 3. $$ log _{0.2} (x-1) > 4 x-1 > 0 ⇒ x > 1\\ log _{0.2} (x-1) > log _{0.2} 0,2 \\ x-1 > 0,0016 \\ x > 1.0016 $$
<< < 456 7 > >>