логарифм »
логарифмически - страница 2
Помогите с логарифмическим уравнением log2((2x−3)2+4)=2−cos2(7πx)
Решение: Дано уравнение:
log2((2x−3)2+4)=2−cos2(7πx).
Правая часть может иметь значение от 2 до 1 (косинус в квадрате от 0 до 1).
Раскроем логарифмируемое выражение:
4x2−12x+9+4=4x2−12x+13.
График его - парабола ветвями вверх. Минимальное значение равно в её вершине с абсциссой: x0=−b2a=−−122∗4=128=1,5.
В этой точке значение выражения равно 4*2,25-18+13=4 или 2².
Значит, логарифмируемое выражение не может быть меньше 4, а логарифм по основанию 2 не меньше 2.
И больше он не может быть по вышеприведенному обоснованию.
Тогда 4x²-12x+13=4 или 4x² -12x+9 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-12)^2-4*4*9=144-4*4*9=144-16*9=144-144=0; Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:
x=-(-12/(2*4))=-(-12/8)=-(-1,5)=1,5.
Ответ: х = 1,5.Решить два логарифмических неравенства 2log₁/₂ (x - 2) + log₂ (x² - 2x - 1) < 1
2log₅ x - (log₅ 125 / log₅ x) ≤ 1
Решение: Решение
1) 2log₁/₂ (x - 2) + log₂ (x² - 2x - 1) < 1
- 2log₂ (x - 2) + log₂ (x² - 2x - 1) < 1
- 2log₂ (x - 2)⁻² + log₂ (x² - 2x - 1) < 1
log₂ [(x² - 2x - 1)/(x - 2)²] < log₂ 2
так как 2 > 1, то
(x² - 2x - 1)/(x - 2)² < 2
[(x² - 2x - 1) - 2*(x - 2)²]/(x - 2)² < 0
[x² - 2x - 1 - 2*(x² - 4x + 4)]/(x - 2)² < 0
[x² - 2x - 1 - 2x² + 8x - 8)]/(x - 2)² < 0
(- x² +6x - 9)/(x - 2)² < 0
(x² - 6x + 9)/(x - 2)² > 0
(x - 3)² / (x - 2)² > 0
x∈ (- ∞ ; 2)∪(2 ; 3)∪(- (3 ; + ∞)
2) 2log₅ x - (log₅ 125 / log₅ x) ≤ 1
ОДЗ: x > 0
2log₅ x - (log₅ 5³/ log₅ x) ≤ 1
2log₅ x - (3*log₅ 5/ log₅ x) ≤ 1
2log²₅ x - log₅ x - 3 ≤ 0
log₅ x = t
2t² - t - 3 = 0
D = 1 + 4*2*3 = 25
t₁ = (1 - 5)/4 = - 1
t₂ = (1 + 5)/4 = 3/2
1) log₅ x = - 1
x = 5⁻¹
x₁ = 1/5
2) log₅ x = 3/2
x₂ = 5³/² = 5√5
1/5 ≤ x ≤ 5√5Решить три логарифмических неравенства 16) log13(3x+5)>log13(x2+1)
17) lg(x+3)+lgx<lg(x+2)
18) log13(log4(x2−5))>0
Решение: Всё решаем с учётом ОДЗ.16
{3x+5>0⇒x>-5/3
{x²+1>0⇒x∈R
{3x+5x²-3x-4>0⇒x<-1 U x>4
x1+x2=3 U x1*x2=-4⇒x1=-1 U x2=4
x∈(-5/3;-1) U (4;∞)
17
{x+3>0⇒x>-3
{x>0
{x+2>0⇒x>-2
{lg(x²+3x)(-1+√3)
D=4+8=12
x1=(-2-2√3)/2=-1-√2 U x2=(-3+2√3)/2=-1+√2
x∈(-1+√2;∞)
18
{(x-√5)(x+√5)>0⇒x<-√ U x>√5
log(4)(x²-5)<1
x²-5<4
x²-9<0
(x-3)(x+3)<0
-3x∈(-3;-√5) U (√5;3) Решить два логарифмических неравенства log3(1−3x)<2
log0,5(x2−1)≥−2
Решение: 1) 2 заменяем логарифмом (^2 значит во второй степени)получаем
1-3x < 9
-3x < 9 : 1
-3x < 9
x < 9 : (-3)
x < -3
2) точно так же заменяем -2 на логарифм
( x^2 -1) <= 0,5^ - 2 (<= значит "меньше равно") знак сменили т. к 0.5 меньше 1
x^2 -1 <= 4
x^2 <= 5
x <= +- (плюс минус) Корень из 5
Решите 2 логарифмических неравенства: 2x+21−x−3<0
2x+2−2x+3−2x+4>5x+1−5x
Решение: Сделаем замену 2^x = t, t > 0 - показательная функция принимает только положительные значения, что мы и будем учитывать в дальнейшем.
Тогда 2^(1-x) = 2/2^x = 2/t
Неравенство с учётом замены приобретает вид:
t + 2/t - 3 < 0
Можем умножить обе части неравенства на t > 0. При этом знак неравенства не меняем:
t^2 -3t + 2 < 0
Решаем квадратичное неравенство методом интервалов:
(t - 2)(t-1) < 0
Отсюда 1< t < 2
Ну здесь всё хорошо вроде бы: условие t > 0 выполняется
Теперь вспоминаем, кто такой t:
1 < 2^x < 2
До сего момента специфики было не очень много. Сделали замену(в этом ничего нового нет). Теперь решать будем показательное неравенство. Для этого приведём все степени к удобному для нас основанию(то есть. к 2)
2^0 < 2^x < 2^1
2^x - возрастающая функция, поэтому
0 < x < 1
4
При решении показательных неравенств приходится во многих случаях приводить все степени к одному основанию. В этом неравенстве у нас два "несовместимых" основания: 2 и 5. Значит. эта идея тут не сработает.
Но зато известно, что 5^x > 0 - показательная функция принимает лишь положительные значения. Поэтому спокойно можно разделить обе части неравенства на 5^x. Но перед этим немного преобразуем левую часть:
4 * 2^x - 8 * 2^x - 16 * 2^x > 5 * 5^x - 5^x
Здесь мы воспользовались свойствами степеней. Например, 2^(x+2) = 2^x * 2^2 = 4*2^x.
далее:
-20 * 2^x > 4 * 5^x
-5 * 2^x > 5^x
Теперь делим на 5^x > 0:
-5 * (2/5)^x > 1
Ну и сделали то, что хотели - пришли к одному основанию.
(2/5)^x < -1/5
И теперь мы видим одну важную вещь. Слева - показательная функция, которая принимает лите положительные значения. Из нашего неравенства видно, что она меньше отрицательного значения, чего быть не может. Значит, решений у неравенства нет.решить показательное и логарифмическое неравенства 3⋅9x+11⋅3x<4
log3(7−x)>1
Решение: 3*3^(2x)+11*3^x<4
3^x=t
3t+11t-4<0
D=121+24
t1=(-11+13)/6=1/3
t2=(-11-13)/6=-4 Быть не может
3^x=1/3
x=-1
Ответ:x принадлежит от (- бесконечности до -1)
2) log3 (7-x)>1
7-x>3
-x>-4
x<4 ОДЗ: 7-x>0 x<7
Ответ: x принадлежит (от - бесконечности до 4)
3*3^(2x)+11*3^x<4
3^x=t, t>0
3t+11t-4<0
(3t-1)(t+4)<0
+ - +
-(-4)-(1/3)-
t∈(0,1/3)
0<3^x<1/3
x<-1
2) log3(7−x) > 17−x > 0x < 77−x > 3x < 4Answer:x < 4
Решите систему логарифмических неравенств {√4−x2(x2+4x+5)≥0log2(x−3)2+log0,5(x2−9)<1
Решение: {√4−x2(x2+4x+5)≥0∗log2(x−3)2+log0,5(x2−9)<1∗∗∗)√4−x2(x2+4x+5)=0OD3:4−x2≥0x2≤4x=+−2.[−2]///+///[2].>xx∈[−2;2]√4−x2=0 x2+4x+5=04−x2=0 x1,2=−2+−√−1x=+−2 x∈∅.[−2]///+///[2].>xOD3:.[−2]///+///[2].>xx∈[−2;2]∗∗)log2(x−3)2+log0,5(x2−9)<1OD3:x2−9>0x2>9x=+−3///+///(−3).(3)///+///−>xx∈(−∞;−3)∪(3;+∞)log2(x−3)2+log0,5(x2−9)<1log2(x−3)2−log2(x2−9)<1log2(x−3)2x2−9<1;2>1(x−3)2x2−9<2(x−3)2−2(x2−9)x2−9<0−x2−6x+27x2−9<0x2+6x−27=0x1=−9 x2=3x2−9=0x=+−3///−///(−9).+.(−3)///−///(3)///−///−>xOD3:///////+///(−3).(3)///+///−>xx∈(−∞;−9)∪(3;+∞).[−2]/////[2].>x/////(−9).(3)//////−>x
Ответ: Решений нетРешение логарифмических неравенств:
1) log13(x+4)>log13(x2+2x−2)
2) lg(2x−3)>lg(x+1)
3) {x−18 0log5x>1
4) {log13x −2x+1>3
5) {lnx≥05−x 0
6) {lnx≤1x+7>0
Решение: 1)log13(x+4) > log13(x2+2x−2)x+4 < x2+2x−2x2+2x−2−x−4 > 0x2+x−6 > 0d=1+24=25x1=−1+52=2;x2=−1−52=−3;
Ответ: x∈(2,+∞) (т. к. отрицательный корень противоречит определению логарифма)
2)lg(2x−3)>lg(x+1)2x−3>x+12x−x>1+3x>43){x−18<0log5x>1{x<18log5x>log51{x<18x>1x∈(1,18)4){log13x<−2x+1>36){lnx≤1x+7>0{lnx≤ln0x>−7{x≤0x>−7x=0
Т. к. другие значения противоречат определению логарифмаLG(5x-7)>2; log0,1(5-3x)\<-2 решение простейших логарифмических неравенств
Решение: lg(5x−7) > 2lg(5x−7) > 2⋅11=lg10lg(5x−7) > 2⋅lg10lg(5x−7) > 2⋅lg10lg(5x−7) > lg102{5x−7 > 1005x−7 > 05x > 107x > 21,4log0,1(5−3x) < −2log0,1(5−3x) < −2⋅log0,10,1log0,1(5−3x) < log0,1(0,1)−2{5−3x > 05−3x > 1005−3x > 100−3x > 95x < −3123