Processing math: 100%
логарифм »

логарифмически - страница 2

  • Помогите с логарифмическим уравнением log2((2x3)2+4)=2cos2(7πx)


    Решение: Дано уравнение:
    log2((2x3)2+4)=2cos2(7πx).
    Правая часть может иметь значение от 2 до 1 (косинус в квадрате от 0 до 1).
    Раскроем логарифмируемое выражение:
    4x212x+9+4=4x212x+13.
    График его - парабола ветвями вверх. Минимальное значение равно в её вершине с абсциссой: x0=b2a=1224=128=1,5.
    В этой точке значение выражения равно 4*2,25-18+13=4 или 2².
    Значит, логарифмируемое выражение не может быть меньше 4, а логарифм по основанию 2 не меньше 2.
    И больше он не может быть по вышеприведенному обоснованию.
    Тогда 4x²-12x+13=4 или 4x² -12x+9 = 0.
    Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
    D=(-12)^2-4*4*9=144-4*4*9=144-16*9=144-144=0; Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:
    x=-(-12/(2*4))=-(-12/8)=-(-1,5)=1,5. 
    Ответ: х = 1,5.

  • Решить два логарифмических неравенства 2log₁/₂ (x - 2) + log₂ (x² - 2x - 1) < 1
    2log₅ x - (log₅ 125 / log₅ x) ≤ 1


    Решение: Решение
    1) 2log₁/₂ (x - 2) + log₂ (x² - 2x - 1) < 1
     - 2log₂ (x - 2) + log₂ (x² - 2x - 1) < 1
    - 2log₂ (x - 2)⁻² + log₂ (x² - 2x - 1) < 1
    log₂ [(x² - 2x - 1)/(x - 2)²] < log₂ 2
    так как 2 > 1, то
    (x² - 2x - 1)/(x - 2)² < 2
    [(x² - 2x - 1) - 2*(x - 2)²]/(x - 2)² < 0
    [x² - 2x - 1 - 2*(x² - 4x + 4)]/(x - 2)² < 0
    [x² - 2x - 1 - 2x² + 8x - 8)]/(x - 2)² < 0
    (- x² +6x - 9)/(x - 2)² < 0
    (x² - 6x + 9)/(x - 2)² > 0
    (x - 3)² / (x - 2)² > 0
    x∈ (- ∞ ; 2)∪(2 ; 3)∪(- (3 ; + ∞)
    2) 2log₅ x - (log₅ 125 / log₅ x) ≤ 1
    ОДЗ: x > 0
    2log₅ x - (log₅ 5³/ log₅ x) ≤ 1
    2log₅ x - (3*log₅ 5/ log₅ x) ≤ 1
    2log²₅ x - log₅ x - 3 ≤ 0
    log₅ x = t
    2t² - t - 3 = 0
    D = 1 + 4*2*3 = 25
    t₁ = (1 - 5)/4 = - 1
    t₂ = (1 + 5)/4 = 3/2
    1) log₅ x = - 1
    x = 5⁻¹
    x₁ = 1/5
    2) log₅ x = 3/2
    x₂ = 5³/² = 5√5
    1/5 ≤ x ≤ 5√5

  • Решить три логарифмических неравенства 16) log13(3x+5)>log13(x2+1)
    17) lg(x+3)+lgx<lg(x+2)
    18) log13(log4(x25))>0


    Решение: Всё решаем с учётом ОДЗ.

    16
    {3x+5>0⇒x>-5/3
    {x²+1>0⇒x∈R
    {3x+5x²-3x-4>0⇒x<-1 U x>4
    x1+x2=3 U x1*x2=-4⇒x1=-1 U x2=4
    x∈(-5/3;-1) U (4;∞)
    17
    {x+3>0⇒x>-3
    {x>0
    {x+2>0⇒x>-2
    {lg(x²+3x)(-1+√3)
    D=4+8=12
    x1=(-2-2√3)/2=-1-√2 U x2=(-3+2√3)/2=-1+√2
    x∈(-1+√2;∞)
    18
    {(x-√5)(x+√5)>0⇒x<-√ U x>√5
    log(4)(x²-5)<1
    x²-5<4
    x²-9<0
    (x-3)(x+3)<0
    -3x∈(-3;-√5) U (√5;3)

    Вс решаем с уч том ОДЗ. x x - x x R x x x x U x x - x - U x x - - U x x - x x x - lg x x...
  • Решить два логарифмических неравенства log3(13x)<2
    log0,5(x21)2


    Решение: 1) 2 заменяем логарифмом (^2 значит во второй степени)

    получаем

    1-3x < 9

    -3x < 9 : 1

    -3x < 9

      x < 9 : (-3)

      x < -3

    2) точно так же заменяем -2 на логарифм

    ( x^2 -1) <= 0,5^ - 2 (<= значит "меньше равно") знак сменили т. к 0.5 меньше 1

      x^2 -1 <= 4

      x^2 <= 5

      x <= +- (плюс минус) Корень из 5

  • Решите 2 логарифмических неравенства: 2x+21x3<0
    2x+22x+32x+4>5x+15x


    Решение: Сделаем замену 2^x = t, t > 0 - показательная функция принимает только положительные значения, что мы и будем учитывать в дальнейшем.
    Тогда 2^(1-x) = 2/2^x = 2/t
    Неравенство с учётом замены приобретает вид:
    t + 2/t - 3 < 0
    Можем умножить обе части неравенства на t > 0. При этом знак неравенства не меняем:
    t^2 -3t + 2 < 0
    Решаем квадратичное неравенство методом интервалов:
    (t - 2)(t-1) < 0
    Отсюда   1<  t < 2
    Ну здесь всё хорошо вроде бы: условие t > 0 выполняется
    Теперь вспоминаем, кто такой t:
       1 < 2^x < 2
    До сего момента специфики было не очень много. Сделали замену(в этом ничего нового нет). Теперь решать будем показательное неравенство. Для этого приведём все степени к удобному для нас основанию(то есть. к 2)
       2^0 < 2^x < 2^1
       2^x - возрастающая функция, поэтому
       0 < x < 1
       4
    При решении показательных неравенств приходится во многих случаях приводить все степени к одному основанию. В этом неравенстве у нас два "несовместимых" основания: 2 и 5. Значит. эта идея тут не сработает.
    Но зато известно, что 5^x > 0 - показательная функция принимает лишь положительные значения. Поэтому спокойно можно разделить обе части неравенства на 5^x. Но перед этим немного преобразуем левую часть:
    4 * 2^x - 8 * 2^x - 16 * 2^x > 5 * 5^x - 5^x
    Здесь мы воспользовались свойствами степеней. Например, 2^(x+2) = 2^x * 2^2 = 4*2^x.
    далее:
    -20 * 2^x > 4 * 5^x
    -5 * 2^x > 5^x
    Теперь делим на 5^x > 0:
    -5 * (2/5)^x > 1
    Ну и сделали то, что хотели - пришли к одному основанию.
    (2/5)^x < -1/5
    И теперь мы видим одну важную вещь. Слева - показательная функция, которая принимает лите положительные значения. Из нашего неравенства видно, что она меньше отрицательного значения, чего быть не может. Значит, решений у неравенства нет.Сделаем замену x t t - показательная функция принимает только положительные значения что мы и будем учитывать в дальнейшем.Тогда -x x tНеравенство с уч том замены приобретает...
  • решить показательное и логарифмическое неравенства 39x+113x<4
    log3(7x)>1


    Решение: 3*3^(2x)+11*3^x<4
    3^x=t
    3t+11t-4<0
    D=121+24
    t1=(-11+13)/6=1/3
    t2=(-11-13)/6=-4 Быть не может
    3^x=1/3
    x=-1
    Ответ:x принадлежит от (- бесконечности до -1)
    2) log3 (7-x)>1
    7-x>3
    -x>-4
    x<4 ОДЗ: 7-x>0 x<7
    Ответ: x принадлежит (от - бесконечности до 4) 

    3*3^(2x)+11*3^x<4
    3^x=t, t>0
    3t+11t-4<0
    (3t-1)(t+4)<0
      + - +
    -(-4)-(1/3)-
    t∈(0,1/3)
    0<3^x<1/3
    x<-1
    2) log3(7x) > 17x > 0x < 77x > 3x < 4Answer:x < 4

  • Решите систему логарифмических неравенств {4x2(x2+4x+5)0log2(x3)2+log0,5(x29)<1


    Решение: {4x2(x2+4x+5)0log2(x3)2+log0,5(x29)<1)4x2(x2+4x+5)=0OD3:4x20x24x=+2.[2]///+///[2].>xx[2;2]4x2=0        x2+4x+5=04x2=0          x1,2=2+1x=+2              x.[2]///+///[2].>xOD3:.[2]///+///[2].>xx[2;2])log2(x3)2+log0,5(x29)<1OD3:x29>0x2>9x=+3///+///(3).(3)///+///>xx(;3)(3;+)log2(x3)2+log0,5(x29)<1log2(x3)2log2(x29)<1log2(x3)2x29<1;2>1(x3)2x29<2(x3)22(x29)x29<0x26x+27x29<0x2+6x27=0x1=9 x2=3x29=0x=+3//////(9).+.(3)//////(3)//////>xOD3:///////+///(3).(3)///+///>xx(;9)(3;+).[2]/////[2].>x/////(9).(3)//////>x
    Ответ: Решений нет

  • Решение логарифмических неравенств:
    1) log13(x+4)>log13(x2+2x2)
    2) lg(2x3)>lg(x+1)
    3) {x18  0log5x>1
    4) {log13x  2x+1>3
    5) {lnx05x  0
    6) {lnx1x+7>0


    Решение: 1)log13(x+4) > log13(x2+2x2)x+4 < x2+2x2x2+2x2x4 > 0x2+x6 > 0d=1+24=25x1=1+52=2;x2=152=3;
    Ответ: x(2,+) (т. к. отрицательный корень противоречит определению логарифма)
    2)lg(2x3)>lg(x+1)2x3>x+12xx>1+3x>43){x18<0log5x>1{x<18log5x>log51{x<18x>1x(1,18)4){log13x<2x+1>36){lnx1x+7>0{lnxln0x>7{x0x>7x=0
    Т. к. другие значения противоречат определению логарифма

  • LG(5x-7)>2; log0,1(5-3x)\<-2 решение простейших логарифмических неравенств


    Решение: lg(5x7) > 2lg(5x7) > 211=lg10lg(5x7) > 2lg10lg(5x7) > 2lg10lg(5x7) > lg102{5x7 > 1005x7 > 05x > 107x > 21,4log0,1(53x) < 2log0,1(53x) < 2log0,10,1log0,1(53x) < log0,1(0,1)2{53x > 053x > 10053x > 1003x > 95x < 3123

<< < 12