логарифм »

логарифмически - страница 2

  • Помогите с логарифмическим уравнением \(\log_2((2x-3)^2+4)=2-cos^2(7 \pi x)\)


    Решение: Дано уравнение:
    $$ log_2((2x-3)^2+4)=2-cos^2(7 \pi x). $$
    Правая часть может иметь значение от 2 до 1 (косинус в квадрате от 0 до 1).
    Раскроем логарифмируемое выражение:
    $$ 4 x^{2} -12x+9+4 = 4 x^{2} -12x+13. $$
    График его - парабола ветвями вверх. Минимальное значение равно в её вершине с абсциссой: $$ x_0=- \frac{b}{2a} =- \frac{-12}{2*4} = \frac{12}{8}=1,5. $$
    В этой точке значение выражения равно 4*2,25-18+13=4 или 2².
    Значит, логарифмируемое выражение не может быть меньше 4, а логарифм по основанию 2 не меньше 2.
    И больше он не может быть по вышеприведенному обоснованию.
    Тогда 4x²-12x+13=4 или 4x² -12x+9 = 0.
    Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
    D=(-12)^2-4*4*9=144-4*4*9=144-16*9=144-144=0; Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:
    x=-(-12/(2*4))=-(-12/8)=-(-1,5)=1,5. 
    Ответ: х = 1,5.

  • Решить два логарифмических неравенства 2log₁/₂ (x - 2) + log₂ (x² - 2x - 1) < 1
    2log₅ x - (log₅ 125 / log₅ x) ≤ 1


    Решение: Решение
    1) 2log₁/₂ (x - 2) + log₂ (x² - 2x - 1) < 1
     - 2log₂ (x - 2) + log₂ (x² - 2x - 1) < 1
    - 2log₂ (x - 2)⁻² + log₂ (x² - 2x - 1) < 1
    log₂ [(x² - 2x - 1)/(x - 2)²] < log₂ 2
    так как 2 > 1, то
    (x² - 2x - 1)/(x - 2)² < 2
    [(x² - 2x - 1) - 2*(x - 2)²]/(x - 2)² < 0
    [x² - 2x - 1 - 2*(x² - 4x + 4)]/(x - 2)² < 0
    [x² - 2x - 1 - 2x² + 8x - 8)]/(x - 2)² < 0
    (- x² +6x - 9)/(x - 2)² < 0
    (x² - 6x + 9)/(x - 2)² > 0
    (x - 3)² / (x - 2)² > 0
    x∈ (- ∞ ; 2)∪(2 ; 3)∪(- (3 ; + ∞)
    2) 2log₅ x - (log₅ 125 / log₅ x) ≤ 1
    ОДЗ: x > 0
    2log₅ x - (log₅ 5³/ log₅ x) ≤ 1
    2log₅ x - (3*log₅ 5/ log₅ x) ≤ 1
    2log²₅ x - log₅ x - 3 ≤ 0
    log₅ x = t
    2t² - t - 3 = 0
    D = 1 + 4*2*3 = 25
    t₁ = (1 - 5)/4 = - 1
    t₂ = (1 + 5)/4 = 3/2
    1) log₅ x = - 1
    x = 5⁻¹
    x₁ = 1/5
    2) log₅ x = 3/2
    x₂ = 5³/² = 5√5
    1/5 ≤ x ≤ 5√5

  • Решить три логарифмических неравенства 16) \(\log_{\frac{1}{3}}(3x+5) > \log_{\frac{1}{3}}(x^2+1) \)
    17) \(\lg(x+3)+\lg x < \lg(x+2)\)
    18) \(\log_{\frac{1}{3}}(\log_4(x^2-5)) > 0\)


    Решение: Всё решаем с учётом ОДЗ.

    16
    {3x+5>0⇒x>-5/3
    {x²+1>0⇒x∈R
    {3x+5x²-3x-4>0⇒x<-1 U x>4
    x1+x2=3 U x1*x2=-4⇒x1=-1 U x2=4
    x∈(-5/3;-1) U (4;∞)
    17
    {x+3>0⇒x>-3
    {x>0
    {x+2>0⇒x>-2
    {lg(x²+3x)(-1+√3)
    D=4+8=12
    x1=(-2-2√3)/2=-1-√2 U x2=(-3+2√3)/2=-1+√2
    x∈(-1+√2;∞)
    18
    {(x-√5)(x+√5)>0⇒x<-√ U x>√5
    log(4)(x²-5)<1
    x²-5<4
    x²-9<0
    (x-3)(x+3)<0
    -3x∈(-3;-√5) U (√5;3)

    Вс решаем с уч том ОДЗ. x x - x x R x x x x U x x - x - U x x - - U x x - x x x - lg x x...

  • Решить два логарифмических неравенства \(\log_3(1-3x) < 2\)
    \(\log_{0,5}(x^2-1) \geq -2\)


    Решение: 1) 2 заменяем логарифмом (^2 значит во второй степени)

    получаем

    1-3x < 9

    -3x < 9 : 1

    -3x < 9

      x < 9 : (-3)

      x < -3

    2) точно так же заменяем -2 на логарифм

    ( x^2 -1) <= 0,5^ - 2 (<= значит "меньше равно") знак сменили т. к 0.5 меньше 1

      x^2 -1 <= 4

      x^2 <= 5

      x <= +- (плюс минус) Корень из 5

  • Решите 2 логарифмических неравенства: \(2^x +2^{1-x}-3 < 0\)
    \(2^{x+2}-2^{x+3}-2^{x+4} > 5^{x+1} -5^x\)


    Решение: Сделаем замену 2^x = t, t > 0 - показательная функция принимает только положительные значения, что мы и будем учитывать в дальнейшем.
    Тогда 2^(1-x) = 2/2^x = 2/t
    Неравенство с учётом замены приобретает вид:
    t + 2/t - 3 < 0
    Можем умножить обе части неравенства на t > 0. При этом знак неравенства не меняем:
    t^2 -3t + 2 < 0
    Решаем квадратичное неравенство методом интервалов:
    (t - 2)(t-1) < 0
    Отсюда   1<  t < 2
    Ну здесь всё хорошо вроде бы: условие t > 0 выполняется
    Теперь вспоминаем, кто такой t:
       1 < 2^x < 2
    До сего момента специфики было не очень много. Сделали замену(в этом ничего нового нет). Теперь решать будем показательное неравенство. Для этого приведём все степени к удобному для нас основанию(то есть. к 2)
       2^0 < 2^x < 2^1
       2^x - возрастающая функция, поэтому
       0 < x < 1
       4
    При решении показательных неравенств приходится во многих случаях приводить все степени к одному основанию. В этом неравенстве у нас два "несовместимых" основания: 2 и 5. Значит. эта идея тут не сработает.
    Но зато известно, что 5^x > 0 - показательная функция принимает лишь положительные значения. Поэтому спокойно можно разделить обе части неравенства на 5^x. Но перед этим немного преобразуем левую часть:
    4 * 2^x - 8 * 2^x - 16 * 2^x > 5 * 5^x - 5^x
    Здесь мы воспользовались свойствами степеней. Например, 2^(x+2) = 2^x * 2^2 = 4*2^x.
    далее:
    -20 * 2^x > 4 * 5^x
    -5 * 2^x > 5^x
    Теперь делим на 5^x > 0:
    -5 * (2/5)^x > 1
    Ну и сделали то, что хотели - пришли к одному основанию.
    (2/5)^x < -1/5
    И теперь мы видим одну важную вещь. Слева - показательная функция, которая принимает лите положительные значения. Из нашего неравенства видно, что она меньше отрицательного значения, чего быть не может. Значит, решений у неравенства нет.Сделаем замену x t t - показательная функция принимает только положительные значения что мы и будем учитывать в дальнейшем.Тогда -x x tНеравенство с уч том замены приобретает...

  • решить показательное и логарифмическое неравенства \(3\cdot 9^x + 11\cdot 3^x < 4\)
    \(\log_3(7-x) > 1\)


    Решение: 3*3^(2x)+11*3^x<4
    3^x=t
    3t+11t-4<0
    D=121+24
    t1=(-11+13)/6=1/3
    t2=(-11-13)/6=-4 Быть не может
    3^x=1/3
    x=-1
    Ответ:x принадлежит от (- бесконечности до -1)
    2) log3 (7-x)>1
    7-x>3
    -x>-4
    x<4 ОДЗ: 7-x>0 x<7
    Ответ: x принадлежит (от - бесконечности до 4) 

    3*3^(2x)+11*3^x<4
    3^x=t, t>0
    3t+11t-4<0
    (3t-1)(t+4)<0
      + - +
    -(-4)-(1/3)-
    t∈(0,1/3)
    0<3^x<1/3
    x<-1
    2) $$ log_3(7-x)\ > \ 1\\7-x\ > \ 0\\x\ < \ 7\\7-x\ > \ 3\\x\ < \ 4\\ Answer: x\ < \ 4 $$

  • Решите систему логарифмических неравенств \(\begin{cases}\sqrt{4-x^2}(x^2+4x+5) \geq 0\\\log_2(x-3)^2+\log_{0,5}(x^2-9) < 1\end{cases}\)


    Решение: $$ \begin{cases}\sqrt{4-x^2}(x^2+4x+5)\geq0^*\\log_2(x-3)^2+log_{0,5}(x^2-9)<1^{**}\end{cases}\\\\ *)\sqrt{4-x^2}(x^2+4x+5)=0\\OD3:\\4-x^2\geq0\\x^2\leq4\\x=^+_-2\\.[-2]///+///[2].>x\\x\in[-2;2]\\\\\sqrt{4-x^2}=0\ \ \ \ \ \ \ \ x^2+4x+5=0\\4-x^2=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{1,2}=-2^+_-\sqrt{-1}\\x=^+_-2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\in \varnothing\\.[-2]///+///[2].>x\\OD3:.[-2]///+///[2].>x\\x\in[-2;2] \\ **)log_2(x-3)^2+log_{0,5}(x^2-9)<1\\OD3:\\x^2-9>0\\x^2>9\\x=^+_-3\\///+///(-3).(3)///+///->x\\x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)\\log_2(x-3)^2+log_{0,5}(x^2-9)<1\\log_2(x-3)^2-log_{2}(x^2-9)<1\\log_2\frac{(x-3)^2}{x^2-9}<1;2>1\\\frac{(x-3)^2}{x^2-9}<2\\\frac{(x-3)^2-2(x^2-9)}{x^2-9}<0\\\frac{-x^2-6x+27}{x^2-9}<0 \\ x^2+6x-27=0\\x_1=-9\ x_2=3\\\\x^2-9=0\\x=^+_-3\\\\///-///(-9).+.(-3)///-///(3)///-///->x\\OD3:///////+///(-3).(3)///+///->x\\x\in(-\infty;-9)\cup(3;+\infty)\\\\\\.[-2]/////[2].>x\\/////(-9).(3)//////->x $$
    Ответ: Решений нет

  • Решение логарифмических неравенств:
    1) \( log_{ \frac{1}{3} } ( x+4) > log_{ \frac{1}{3} } ( x^{2}+ 2x-2) \)
    2) \( lg( 2x-3) > lg( x+1) \)
    3) \( \left \{ {{x-18 \ \ 0} \atop { log_{5}x > 1 }} \right. \)
    4) \( \left \{ {{ log_{ \frac{1}{3} }x\ \ -2 } \atop {x+1 > 3}} \right. \)
    5) \( \left \{ {{ln x \geq 0} \atop {5-x \ \ 0 }} \right. \)
    6) \( \left \{ {{ln x \leq 1} \atop {x+7 > 0}} \right. \)


    Решение: $$ 1) \log_{\frac{1}{3}}(x+4) \ > \ \log_{\frac{1}{3}}(x^2+2x-2) \\ x+4 \ < \ x^2+2x-2\\ x^2+2x-2-x-4\ > \ 0\\ x^2+x-6\ > \ 0\\ d=1+24=25\\ x_1=\frac{-1+5}{2}=2; x_2=\frac{-1-5}{2}=-3; $$
    Ответ: $$ x \in (2,+\infty) $$ (т. к. отрицательный корень противоречит определению логарифма)
    $$ 2) \lg(2x-3) > \lg(x+1) \\ 2x-3 > x+1\\ 2x-x > 1+3\\ x > 4 \\ 3) \left \{ {{x-18 < 0} \atop {\log_5x > 1}} \right. \\ \left \{ {{x < 18} \atop {\log_5x > \log_51}} \right. \\ \left \{ {{x < 18} \atop {x > 1}} \right. \\ x\in(1,18)\\ 4) \left \{ {\log_{\frac{1}{3}}x < -2 \atop {x+1 > 3}} \right.\\ 6) \left \{ {{\ln x \leq 1} \atop {x+7 > 0}} \right. \\ \left \{ {{\ln x \leq \ln0} \atop {x > -7}} \right. \\ \left \{ {{ x \leq 0} \atop {x > -7}} \right. \\ x=0 $$
    Т. к. другие значения противоречат определению логарифма

  • LG(5x-7)>2; log0,1(5-3x)\<-2 решение простейших логарифмических неравенств


    Решение: $$ lg(5x-7)\ > \ 2 \\ \\lg(5x-7)\ > \ 2\cdot 1 \\ \\ 1=lg10 \\ \\lg(5x-7)\ > \ 2\cdot lg10 \\ \\lg(5x-7)\ > \ 2\cdot lg10 \\ \\ lg(5x-7)\ > \ lg10^2 \\ \\ \left \{ {{5x-7\ > \ 100} \atop {5x-7\ > \ 0}} \right. \\ \\ 5x\ > \ 107 \\ \\ x\ > \ 21,4 \\ log0,1(5-3x)\ < \ -2 \\ \\ log0,1(5-3x)\ < \ -2\cdot log{0,1}0,1 \\ \\ log0,1(5-3x)\ < \ log{0,1}(0,1)^{-2} \\ \\ \left \{ {{5-3x\ > \ 0} \atop {5-3x\ > \ 100}} \right. \\ \\ 5-3x\ > \ 100 \\ \\ -3x\ > \ 95 \\ \\ x\ < \ -31 \frac{2}{3} $$

<< < 12