логарифм »

логарифмически - страница 3

  • Помогите с логарифмическим уравнением \(\log_2((2x-3)^2+4)=2-cos^2(7 \pi x)\)


    Решение: Дано уравнение:
    $$ log_2((2x-3)^2+4)=2-cos^2(7 \pi x). $$
    Правая часть может иметь значение от 2 до 1 (косинус в квадрате от 0 до 1).
    Раскроем логарифмируемое выражение:
    $$ 4 x^{2} -12x+9+4 = 4 x^{2} -12x+13. $$
    График его - парабола ветвями вверх. Минимальное значение равно в её вершине с абсциссой: $$ x_0=- \frac{b}{2a} =- \frac{-12}{2*4} = \frac{12}{8}=1,5. $$
    В этой точке значение выражения равно 4*2,25-18+13=4 или 2².
    Значит, логарифмируемое выражение не может быть меньше 4, а логарифм по основанию 2 не меньше 2.
    И больше он не может быть по вышеприведенному обоснованию.
    Тогда 4x²-12x+13=4 или 4x² -12x+9 = 0.
    Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
    D=(-12)^2-4*4*9=144-4*4*9=144-16*9=144-144=0; Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:
    x=-(-12/(2*4))=-(-12/8)=-(-1,5)=1,5. 
    Ответ: х = 1,5.

  • Решить два логарифмических неравенства 2log₁/₂ (x - 2) + log₂ (x² - 2x - 1) < 1
    2log₅ x - (log₅ 125 / log₅ x) ≤ 1


    Решение: Решение
    1) 2log₁/₂ (x - 2) + log₂ (x² - 2x - 1) < 1
     - 2log₂ (x - 2) + log₂ (x² - 2x - 1) < 1
    - 2log₂ (x - 2)⁻² + log₂ (x² - 2x - 1) < 1
    log₂ [(x² - 2x - 1)/(x - 2)²] < log₂ 2
    так как 2 > 1, то
    (x² - 2x - 1)/(x - 2)² < 2
    [(x² - 2x - 1) - 2*(x - 2)²]/(x - 2)² < 0
    [x² - 2x - 1 - 2*(x² - 4x + 4)]/(x - 2)² < 0
    [x² - 2x - 1 - 2x² + 8x - 8)]/(x - 2)² < 0
    (- x² +6x - 9)/(x - 2)² < 0
    (x² - 6x + 9)/(x - 2)² > 0
    (x - 3)² / (x - 2)² > 0
    x∈ (- ∞ ; 2)∪(2 ; 3)∪(- (3 ; + ∞)
    2) 2log₅ x - (log₅ 125 / log₅ x) ≤ 1
    ОДЗ: x > 0
    2log₅ x - (log₅ 5³/ log₅ x) ≤ 1
    2log₅ x - (3*log₅ 5/ log₅ x) ≤ 1
    2log²₅ x - log₅ x - 3 ≤ 0
    log₅ x = t
    2t² - t - 3 = 0
    D = 1 + 4*2*3 = 25
    t₁ = (1 - 5)/4 = - 1
    t₂ = (1 + 5)/4 = 3/2
    1) log₅ x = - 1
    x = 5⁻¹
    x₁ = 1/5
    2) log₅ x = 3/2
    x₂ = 5³/² = 5√5
    1/5 ≤ x ≤ 5√5

  • Решить три логарифмических неравенства 16) \(\log_{\frac{1}{3}}(3x+5) > \log_{\frac{1}{3}}(x^2+1) \)
    17) \(\lg(x+3)+\lg x < \lg(x+2)\)
    18) \(\log_{\frac{1}{3}}(\log_4(x^2-5)) > 0\)


    Решение: Всё решаем с учётом ОДЗ.

    16
    {3x+5>0⇒x>-5/3
    {x²+1>0⇒x∈R
    {3x+5x²-3x-4>0⇒x<-1 U x>4
    x1+x2=3 U x1*x2=-4⇒x1=-1 U x2=4
    x∈(-5/3;-1) U (4;∞)
    17
    {x+3>0⇒x>-3
    {x>0
    {x+2>0⇒x>-2
    {lg(x²+3x)(-1+√3)
    D=4+8=12
    x1=(-2-2√3)/2=-1-√2 U x2=(-3+2√3)/2=-1+√2
    x∈(-1+√2;∞)
    18
    {(x-√5)(x+√5)>0⇒x<-√ U x>√5
    log(4)(x²-5)<1
    x²-5<4
    x²-9<0
    (x-3)(x+3)<0
    -3x∈(-3;-√5) U (√5;3)

    Вс решаем с уч том ОДЗ. x x - x x R x x x x U x x - x - U x x - - U x x - x x x - lg x x...

  • Решить два логарифмических неравенства \(\log_3(1-3x) < 2\)
    \(\log_{0,5}(x^2-1) \geq -2\)


    Решение: 1) 2 заменяем логарифмом (^2 значит во второй степени)

    получаем

    1-3x < 9

    -3x < 9 : 1

    -3x < 9

      x < 9 : (-3)

      x < -3

    2) точно так же заменяем -2 на логарифм

    ( x^2 -1) <= 0,5^ - 2 (<= значит "меньше равно") знак сменили т. к 0.5 меньше 1

      x^2 -1 <= 4

      x^2 <= 5

      x <= +- (плюс минус) Корень из 5

  • Решите 2 логарифмических неравенства: \(2^x +2^{1-x}-3 < 0\)
    \(2^{x+2}-2^{x+3}-2^{x+4} > 5^{x+1} -5^x\)


    Решение: Сделаем замену 2^x = t, t > 0 - показательная функция принимает только положительные значения, что мы и будем учитывать в дальнейшем.
    Тогда 2^(1-x) = 2/2^x = 2/t
    Неравенство с учётом замены приобретает вид:
    t + 2/t - 3 < 0
    Можем умножить обе части неравенства на t > 0. При этом знак неравенства не меняем:
    t^2 -3t + 2 < 0
    Решаем квадратичное неравенство методом интервалов:
    (t - 2)(t-1) < 0
    Отсюда   1<  t < 2
    Ну здесь всё хорошо вроде бы: условие t > 0 выполняется
    Теперь вспоминаем, кто такой t:
       1 < 2^x < 2
    До сего момента специфики было не очень много. Сделали замену(в этом ничего нового нет). Теперь решать будем показательное неравенство. Для этого приведём все степени к удобному для нас основанию(то есть. к 2)
       2^0 < 2^x < 2^1
       2^x - возрастающая функция, поэтому
       0 < x < 1
       4
    При решении показательных неравенств приходится во многих случаях приводить все степени к одному основанию. В этом неравенстве у нас два "несовместимых" основания: 2 и 5. Значит. эта идея тут не сработает.
    Но зато известно, что 5^x > 0 - показательная функция принимает лишь положительные значения. Поэтому спокойно можно разделить обе части неравенства на 5^x. Но перед этим немного преобразуем левую часть:
    4 * 2^x - 8 * 2^x - 16 * 2^x > 5 * 5^x - 5^x
    Здесь мы воспользовались свойствами степеней. Например, 2^(x+2) = 2^x * 2^2 = 4*2^x.
    далее:
    -20 * 2^x > 4 * 5^x
    -5 * 2^x > 5^x
    Теперь делим на 5^x > 0:
    -5 * (2/5)^x > 1
    Ну и сделали то, что хотели - пришли к одному основанию.
    (2/5)^x < -1/5
    И теперь мы видим одну важную вещь. Слева - показательная функция, которая принимает лите положительные значения. Из нашего неравенства видно, что она меньше отрицательного значения, чего быть не может. Значит, решений у неравенства нет.Сделаем замену x t t - показательная функция принимает только положительные значения что мы и будем учитывать в дальнейшем.Тогда -x x tНеравенство с уч том замены приобретает...
<< < 123 4 > >>