интеграл »
вычислить определенный интеграл
Вычислить определенный интеграл (-1;1) х^3cosПx/4dx
Решение: $$ \int\limits^1_{-1} {x^3cos( \pi x/4)} \, dx $$
Будем интегрировать по частям:
$$ \int\limits^a_b {f} \, dg=fg- \int\limits^a_b {g} \, df $$, где:
$$ f=x^3\\dg=cos( \pi x/4)dx\\df=3x^2dx\\g=4sin( \pi x/4)/ \pi $$
Тогда:
$$ \int\limits^1_{-1} {x^3cos( \pi x/4)} \, dx =4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1-12/\pi \int\limits^1_{-1}{x^2sin( \pi x/4)}dx $$
Для интеграла $$ \int\limits^1_{-1}{x^2sin( \pi x/4)}dx $$ используем также метод интегрирования по частям:
$$ \int\limits^a_b {f} \, dg=fg- \int\limits^a_b {g} \, df $$, где:
$$ f=x^2\\dg=sin( \pi x/4)dx\\df=2xdx\\g=-4cos( \pi x/4)/ \pi $$
Тогда:
$$ 4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1-12/\pi \int\limits^1_{-1}{x^2sin( \pi x/4)}dx=\\=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-96/ \pi ^2 \int\limits^1_{-1} {xcos( \pi x/4)} \, dx $$
Для интеграла $$ \int\limits^1_{-1} {xcos( \pi x/4)} \, dx $$ используем также метод интегрирования по частям:
$$ \int\limits^a_b {f} \, dg=fg- \int\limits^a_b {g} \, df $$, где:
$$ f=x\\dg=cos( \pi x/4)dx\\df=dx\\g=4sin( \pi x/4)/ \pi $$
Тогда:
Для интеграла $$ \int\limits^1_{-1} {sin( \pi x/4)} \, dx $$ воспользуемся заменой переменой:
$$ u=sin( \pi x/4)\\du= \pi dx /4 $$
Тогда:
$$ 4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-\\-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}+384/ \pi ^3 \int\limits^1_{-1} {sin( \pi x/4)} \, dx= \ =4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-\\-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}+1536/ \pi ^4 \int\limits^1_{-1} {sin(u)} \, du= \ =4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-\\-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}-1536cos(u)/ \pi ^4|^{\pi/4}_{-\pi/4}=\\=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}- \ -384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}-1536cos(\pi x/4)/ \pi ^4|^{1}_{-1}=\\=4(\pi x(\pi ^2x^2-96)sin(\pi x/4)+12(\pi ^2x^2-32)cos(\pi x/4))/\pi ^4|^1_{-1}= \\ =4(\pi (\pi ^2-96)sin(\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(\pi /4))/\pi ^4-\\-4(-\pi (\pi ^2-96)sin(-\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(-\pi /4))/\pi ^4=\\=4(\pi (\pi ^2-96)sin(\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(\pi /4))/\pi ^4- \\ -4(\pi (\pi ^2-96)sin(\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(\pi /4))/\pi ^4=0 $$
Ответ:
$$ \int\limits^1_{-1} {x^3cos( \pi x/4)} \, dx =0 $$
Вычислите определенный интеграл:
а) интеграл на промежутке от 0 до Пи (3х+2)sinxdx
б) интеграл на промежутке от 0 до 1/(деленное) на корень из 2 arccos^3 x-1 делить на (под корнем) 1-X^2
Решение: А) $$ \int\limits^ \pi _0 {(3x+2)sinx} \, dx $$
Интегрируем по частям
$$ u=3x+2; $$ $$ du=3dx \\ dv=sinxdx; $$ $$ v=-cosx \\ \int\limits^ \pi _0 {(3x+2)sinx} \, dx=-cosx(3x+2)+3\int\limits^ \pi _0 {cosx} \, dx= \\ =(-cosx(3x+2)+3sinx) \mid^ \pi _0= \\ =(-cos \pi (3 \pi +2)+3sin \pi )-(-cos0(3*0+2)+3sin0)= \\ =(-(-1) (3 \pi +2)+0)-(-1*2+0)=3 \pi +2+2=3 \pi +4; $$
б) $$ = \int\limits^{ \frac{1}{ \sqrt{2}}}_0 { \frac{arccos^3x-1}{ \sqrt{1- x^{2}}}} \, dx=\int\limits^{ \frac{1}{ \sqrt{2}}}_0 {(arccos^3x-1)} \, d{(arccosx)}= \\ =(\frac{arccos^4x}{4}-arccosx) \mid^{ \frac{1}{ \sqrt{2}}}_0= \\ =(\frac{arccos^4(\frac{1}{ \sqrt{2}})}{4}-arccos(\frac{1}{ \sqrt{2}}))-(\frac{arccos^4*0}{4}-arccos0)= \\ =(\frac{ \pi ^4}{4^5}- \frac{ \pi }{4})-(\frac{ \pi ^4}{4*2^4}- \frac{ \pi }{2})=\frac{ \pi ^4}{2^{10}}- \frac{ \pi }{4}-\frac{ \pi ^4}{2^6}+\frac{ \pi }{2}=\frac{ \pi ^4}{2^{10}}-\frac{ \pi ^4}{2^6}+\frac{ \pi }{4}. $$
Вычислите определенный интеграл
\( \int\limits^3_1 ({x}^2- \alpha x \, )dx \\ \int\limits^4_-2(8+2 {x}-x^2\, )dx \\ \int\limits^2_1 (3x-2)^{3} \, dx \\ \int\limits^1_0(3 {x} ^{3}+2) ^{4} x^{2} \, dx \\ \int\limits^8_3 \frac{{x} \, dx }{ \sqrt 1+{x} } \)
Решение: 1) $$ \frac{x^{3}}{3}- \frac{ \alpha x^{2}}{2} |^{3}_{ \frac{1}{8} }= \frac{27}{3} - \frac{9 \alpha }{2} - \frac{1}{3*8^{3}}+ \frac{ \alpha }{2*64}= \frac{13823}{1536} - \frac{575 \alpha }{128}= \frac{13823-6900 \alpha }{1536} $$
2) не видно нижний предел
$$ 2 \int\limits^4_b {(8+2x- x^{2}) } \, dx =16x+ 2x^{2} - \frac{2x^{3}}{3}|^{4}_{b} $$ = $$ 64+32- \frac{128}{3}-(16b+2b^{2}- \frac{2b^{3}}{3}) $$ = $$ \frac{160}{3}-(16b+2b^{2}- \frac{2b^{3}}{3}) $$
вместо b подставьте нужное значение и досчитайте самостоятельно.
3) $$ \int\limits^2_1 {(3x-2)^{3}} \, dx = \frac{1}{3} \int\limits^2_1 {(3x-2)^{3}} \, d(3x-2) = (3x-2=t) = \frac{1}{3} \int\limits^2_1 {t^{3}} \, d(t) $$ = $$ \frac{t^{4}}{12} |^{2}_{1} = \frac{(3x-2)^{4}}{12} |^{2}_{1}= \frac{(3*2-2)^{4}}{12} - \frac{(3*1-2)^{4}}{12}= \frac{256}{12}- \frac{1}{12}= \frac{255}{12} $$
4) $$ \int\limits^1_0 {(3x^{3}+2)^{4} x^{2} } \, dx= \frac{1}{9} \int\limits^1_0 {(3x^{3}+2)^{4}} \, d(3x^{3}+2) $$ = $$ \frac{1}{9} \int\limits^1_0 {t^{4}} \, dt= \frac{t^{5}}{45} |^{1}_{0}= \frac{(3x^{3}+2)^{5}}{45} |^{1}_{0} $$ = $$ \frac{(3+2)^{5}}{45}- \frac{2^{5}}{45}= \frac{5^{5}-2^{5}}{45}= \frac{3093}{45} $$1) Вычислите определенный интеграл
S от 1 до 3 ((4x^3-x^2-2x-3)/x^2)dx
2) Докажите, что функция y=x^3+(sin^3x)/3-5 является первообразной для функции y=3x^2+sin^2xcosx
Решение: 1) ∫(4x^3-x^2-2x-3)dx/x^2 (от 1 до 3) = ∫(4x-1-2/x-3/x^2)dx (от 1 до 3) = 2x^2-x-2ln|x|+3/x (от 1 до 3) = F(3)-F(1) = 18-3-2ln3 + 1 - (2-1-2ln1+3) = 16-2ln3 - 4 = 12-2ln3=12-ln9
2) Если функция является первообразной другой функции, то производная первой функции должна равняться другой функции.
y’=(x^3+(sin^3(x))/3 -5)’ = 3x^2 + 3sin^2(x)*cosx*1/3 = 3x^2 + sin^2(x)cosx
Производная равна второй фунции, значит, первая функция является первообразной второй функции, что и требовалось доказать3 верху 1 внизу∫(x^3+5x)ln xdx вычислить определённый интеграл
Решение: В общем, решается долго)
Интегрируем по частям
∫u*dv = u*v -∫v*du
пусть
u = ln(x)
dv = (x^3+5x)dx
тогда
du = 1/x
v = ∫x^3+5x = x^4/4 + (5x^2)/2
Тогда
uv = ln(x)*(x^4/4 + (5x^2)/2)
теперь смотрим ∫vdu =
= ∫(x^4/4 + (5x^2)/2) * 1/x = ∫(x^3)/4 + 5x/2 = x^4/16 +5x^2/4
Итого:
ln(x)*(x^4/4 + (5x^2)/2) - (x/2)^4 - 5x^2/4
Теперь считаем интеграл:
ln(3)*(81/4 + 45/2) - 81/16 - 45/4 - Ln(1)(1/4+5/2) + 1/16 + 5/4
Ln(3)*171/4 - 261/16 + 1/16 + 20/16 = (171*ln(3)) /4 - 240/16 = (171*ln(3)) /4 - 15
