интеграл »
вычислить определенный интеграл
Вычислить определенный интеграл (-1;1) х^3cosПx/4dx
Решение: $$ \int\limits^1_{-1} {x^3cos( \pi x/4)} \, dx $$
Будем интегрировать по частям:
$$ \int\limits^a_b {f} \, dg=fg- \int\limits^a_b {g} \, df $$, где:
$$ f=x^3\\dg=cos( \pi x/4)dx\\df=3x^2dx\\g=4sin( \pi x/4)/ \pi $$
Тогда:
$$ \int\limits^1_{-1} {x^3cos( \pi x/4)} \, dx =4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1-12/\pi \int\limits^1_{-1}{x^2sin( \pi x/4)}dx $$
Для интеграла $$ \int\limits^1_{-1}{x^2sin( \pi x/4)}dx $$ используем также метод интегрирования по частям:
$$ \int\limits^a_b {f} \, dg=fg- \int\limits^a_b {g} \, df $$, где:
$$ f=x^2\\dg=sin( \pi x/4)dx\\df=2xdx\\g=-4cos( \pi x/4)/ \pi $$
Тогда:
$$ 4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1-12/\pi \int\limits^1_{-1}{x^2sin( \pi x/4)}dx=\\=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-96/ \pi ^2 \int\limits^1_{-1} {xcos( \pi x/4)} \, dx $$
Для интеграла $$ \int\limits^1_{-1} {xcos( \pi x/4)} \, dx $$ используем также метод интегрирования по частям:
$$ \int\limits^a_b {f} \, dg=fg- \int\limits^a_b {g} \, df $$, где:
$$ f=x\\dg=cos( \pi x/4)dx\\df=dx\\g=4sin( \pi x/4)/ \pi $$
Тогда:
Для интеграла $$ \int\limits^1_{-1} {sin( \pi x/4)} \, dx $$ воспользуемся заменой переменой:
$$ u=sin( \pi x/4)\\du= \pi dx /4 $$
Тогда:
$$ 4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-\\-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}+384/ \pi ^3 \int\limits^1_{-1} {sin( \pi x/4)} \, dx= \ =4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-\\-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}+1536/ \pi ^4 \int\limits^1_{-1} {sin(u)} \, du= \ =4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-\\-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}-1536cos(u)/ \pi ^4|^{\pi/4}_{-\pi/4}=\\=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}- \ -384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}-1536cos(\pi x/4)/ \pi ^4|^{1}_{-1}=\\=4(\pi x(\pi ^2x^2-96)sin(\pi x/4)+12(\pi ^2x^2-32)cos(\pi x/4))/\pi ^4|^1_{-1}= \\ =4(\pi (\pi ^2-96)sin(\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(\pi /4))/\pi ^4-\\-4(-\pi (\pi ^2-96)sin(-\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(-\pi /4))/\pi ^4=\\=4(\pi (\pi ^2-96)sin(\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(\pi /4))/\pi ^4- \\ -4(\pi (\pi ^2-96)sin(\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(\pi /4))/\pi ^4=0 $$
Ответ:
$$ \int\limits^1_{-1} {x^3cos( \pi x/4)} \, dx =0 $$
Вычислите определенный интеграл:
а) интеграл на промежутке от 0 до Пи (3х+2)sinxdx
б) интеграл на промежутке от 0 до 1/(деленное) на корень из 2 arccos^3 x-1 делить на (под корнем) 1-X^2
Решение: А) $$ \int\limits^ \pi _0 {(3x+2)sinx} \, dx $$
Интегрируем по частям
$$ u=3x+2; $$ $$ du=3dx \\ dv=sinxdx; $$ $$ v=-cosx \\ \int\limits^ \pi _0 {(3x+2)sinx} \, dx=-cosx(3x+2)+3\int\limits^ \pi _0 {cosx} \, dx= \\ =(-cosx(3x+2)+3sinx) \mid^ \pi _0= \\ =(-cos \pi (3 \pi +2)+3sin \pi )-(-cos0(3*0+2)+3sin0)= \\ =(-(-1) (3 \pi +2)+0)-(-1*2+0)=3 \pi +2+2=3 \pi +4; $$
б) $$ = \int\limits^{ \frac{1}{ \sqrt{2}}}_0 { \frac{arccos^3x-1}{ \sqrt{1- x^{2}}}} \, dx=\int\limits^{ \frac{1}{ \sqrt{2}}}_0 {(arccos^3x-1)} \, d{(arccosx)}= \\ =(\frac{arccos^4x}{4}-arccosx) \mid^{ \frac{1}{ \sqrt{2}}}_0= \\ =(\frac{arccos^4(\frac{1}{ \sqrt{2}})}{4}-arccos(\frac{1}{ \sqrt{2}}))-(\frac{arccos^4*0}{4}-arccos0)= \\ =(\frac{ \pi ^4}{4^5}- \frac{ \pi }{4})-(\frac{ \pi ^4}{4*2^4}- \frac{ \pi }{2})=\frac{ \pi ^4}{2^{10}}- \frac{ \pi }{4}-\frac{ \pi ^4}{2^6}+\frac{ \pi }{2}=\frac{ \pi ^4}{2^{10}}-\frac{ \pi ^4}{2^6}+\frac{ \pi }{4}. $$
Вычислите определенный интеграл
\( \int\limits^3_1 ({x}^2- \alpha x \, )dx \\ \int\limits^4_-2(8+2 {x}-x^2\, )dx \\ \int\limits^2_1 (3x-2)^{3} \, dx \\ \int\limits^1_0(3 {x} ^{3}+2) ^{4} x^{2} \, dx \\ \int\limits^8_3 \frac{{x} \, dx }{ \sqrt 1+{x} } \)
Решение: 1) $$ \frac{x^{3}}{3}- \frac{ \alpha x^{2}}{2} |^{3}_{ \frac{1}{8} }= \frac{27}{3} - \frac{9 \alpha }{2} - \frac{1}{3*8^{3}}+ \frac{ \alpha }{2*64}= \frac{13823}{1536} - \frac{575 \alpha }{128}= \frac{13823-6900 \alpha }{1536} $$
2) не видно нижний предел
$$ 2 \int\limits^4_b {(8+2x- x^{2}) } \, dx =16x+ 2x^{2} - \frac{2x^{3}}{3}|^{4}_{b} $$ = $$ 64+32- \frac{128}{3}-(16b+2b^{2}- \frac{2b^{3}}{3}) $$ = $$ \frac{160}{3}-(16b+2b^{2}- \frac{2b^{3}}{3}) $$
вместо b подставьте нужное значение и досчитайте самостоятельно.
3) $$ \int\limits^2_1 {(3x-2)^{3}} \, dx = \frac{1}{3} \int\limits^2_1 {(3x-2)^{3}} \, d(3x-2) = (3x-2=t) = \frac{1}{3} \int\limits^2_1 {t^{3}} \, d(t) $$ = $$ \frac{t^{4}}{12} |^{2}_{1} = \frac{(3x-2)^{4}}{12} |^{2}_{1}= \frac{(3*2-2)^{4}}{12} - \frac{(3*1-2)^{4}}{12}= \frac{256}{12}- \frac{1}{12}= \frac{255}{12} $$
4) $$ \int\limits^1_0 {(3x^{3}+2)^{4} x^{2} } \, dx= \frac{1}{9} \int\limits^1_0 {(3x^{3}+2)^{4}} \, d(3x^{3}+2) $$ = $$ \frac{1}{9} \int\limits^1_0 {t^{4}} \, dt= \frac{t^{5}}{45} |^{1}_{0}= \frac{(3x^{3}+2)^{5}}{45} |^{1}_{0} $$ = $$ \frac{(3+2)^{5}}{45}- \frac{2^{5}}{45}= \frac{5^{5}-2^{5}}{45}= \frac{3093}{45} $$1) Вычислите определенный интеграл
S от 1 до 3 ((4x^3-x^2-2x-3)/x^2)dx
2) Докажите, что функция y=x^3+(sin^3x)/3-5 является первообразной для функции y=3x^2+sin^2xcosx
Решение: 1) ∫(4x^3-x^2-2x-3)dx/x^2 (от 1 до 3) = ∫(4x-1-2/x-3/x^2)dx (от 1 до 3) = 2x^2-x-2ln|x|+3/x (от 1 до 3) = F(3)-F(1) = 18-3-2ln3 + 1 - (2-1-2ln1+3) = 16-2ln3 - 4 = 12-2ln3=12-ln9
2) Если функция является первообразной другой функции, то производная первой функции должна равняться другой функции.
y’=(x^3+(sin^3(x))/3 -5)’ = 3x^2 + 3sin^2(x)*cosx*1/3 = 3x^2 + sin^2(x)cosx
Производная равна второй фунции, значит, первая функция является первообразной второй функции, что и требовалось доказать3 верху 1 внизу∫(x^3+5x)ln xdx вычислить определённый интеграл
Решение: В общем, решается долго)
Интегрируем по частям
∫u*dv = u*v -∫v*du
пусть
u = ln(x)
dv = (x^3+5x)dx
тогда
du = 1/x
v = ∫x^3+5x = x^4/4 + (5x^2)/2
Тогда
uv = ln(x)*(x^4/4 + (5x^2)/2)
теперь смотрим ∫vdu =
= ∫(x^4/4 + (5x^2)/2) * 1/x = ∫(x^3)/4 + 5x/2 = x^4/16 +5x^2/4
Итого:
ln(x)*(x^4/4 + (5x^2)/2) - (x/2)^4 - 5x^2/4
Теперь считаем интеграл:
ln(3)*(81/4 + 45/2) - 81/16 - 45/4 - Ln(1)(1/4+5/2) + 1/16 + 5/4
Ln(3)*171/4 - 261/16 + 1/16 + 20/16 = (171*ln(3)) /4 - 240/16 = (171*ln(3)) /4 - 15Вычислите определенный интеграл: Интеграл от 2 до 1 (2x^3+7x^2-3x-5)/x^2 dx
Решение: Интеграл от 2 до 1 (2x^3+7x^2-3x-5)/x^2 dxНайдем первообразную и вычислим на заданном интервале
Интеграл от 2 до 1 $$ 2 до 1 (2x^3+7x^2-3x-5):x^2 dx $$
Вычислить определенный интеграл от функции e^cx cosωx на отрезке [a,b], где a=[π/ω, b=π/2ω].
c=4; ω=7
Решение: Интеграл берется двукратным последовательным интегрированием по частям. 1-раз u(x)=e^cx; dv=(cosωx)dx;2-й раз u1(x)=(c/ω)*e^cx;dv=(sinωx)dx;
с последующим упрощением выражения ( приведение подобных членов).
Определенный интеграл вычисляется из неопределенного путем вычитания
его значения при нижней границе из значения при верхней границе интегрирования.
Ответ в общем виде таков:
$$ \frac{\omega}{(c^2)+(\omega^2)}*e^{\pi*c/2*\omega}+\frac{c}{(c^2)+(\omega^2)}*e^{\pi*c/\omega} $$
После подстановки конкретных значений "с" и "омега", имеем:
(4/65)* e^((4/7)*pi)+(7/65)*e^((2/7)*pi) = 0,63475
Пока займемся вычислением неопр. интеграла:
I = $$ \int{e^{cx}coswx}\, dx\ =\ \frac{1}{c}\int{coswx}\, de^{cx}\ =\ \frac{1}{c}e^{cx}coswx\ +\ \frac{w}{c}\int{e^{cx}sinwx}\, dx\ =\\\ =\ \frac{1}{c}e^{cx}coswx\ -\ \frac{w}{c^2}\int{sinwx}\, de^{cx}\ = \\ =\ \frac{1}{c}e^{cx}coswx\ +\ \frac{w}{c^2}e^{cx}sinwx\ -\ \frac{w^2}{c^2}*\ I $$
Отсюда находим I:
$$ I\ =\ \frac{e^{cx}(c*coswx+w*sinwx)}{c^2+w^2} $$
Подставив значения с и w:
$$ I\ =\ \frac{e^{4x}(4cos7x+7sin7x)}{65} $$
Теперь найдем значение интеграла от П/w до П/2w:
$$ I\ =\ \frac{e^{2\pi/7}(7+4e^{2\pi/7})}{65} $$
1) Вычислить определенные интегралы a)\( \int\limits_0^{\sqrt3}\frac{x^4+2}{1+x^2}dx \)
б) \( \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{1+cos2x}, \, t=tgx\)
2) Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость а) \(\int\limits_0^{20}e^{-2\sqrt x}dx \)
б) \(\int\limits_0^3\frac{xdx}{\sqrt[3]{x^2-1}} \)
Решение: 1
a)(x^4+1)/(x²+1)=(x²+1)²/(x²+1) -2(x²+1)/(x²+1)+3/(x²+1)=(x²+1)-2+3/(x²+1)=
(x²-1)+3/(x²+1)
$$ \int\limits {(x^2-1)} \, dx +3 \int\limits {1/(x^2+1)} \, dx =x^3/3-x+3arctgx $$=
=3√3/3-√3+3*π/3-0+0-0=√3-√3+π=π
b)1/(1+cos2x)=1/2cos²x
$$ \int\limits {1/2cos^2x} \, dx =tgx/2=1/2*(1+1)=1 $$
2
a)=-e^-2√x(2√x+1)=-e^-2√5
b)=3/2*∛(x²-1)=3/2*∛8-3/2*∛-1=3/2*2-3/2*(-1)=3+1,5=4,5Смотри решение во вложении
Геометрический смысл определенного интеграла.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y = 4 – x2, y = x2 – 2x
Решение: Делаем чертёж. По нему определяем пределы интегрирования [-1;2]. График функции y=4-x² на промежутке [-1;2] выше графика функции y=x²-2x, значит вычисление площади фигуры будет проходить по формуле:
$$ s= \int\limits^2_{-1} {(4-x^2-x^2+2x)} \, dx= \int\limits^2_{-1} {(-2x^2+2x+4)} \, dx= \\ =(- \frac{2x^3}{3}+x^2+4x)|_{-1}^2= \\ - \frac{2*2^3}{3}+2^2+4*2-(- \frac{(-1)^3}{3}+(-1)^2+4*(-1 ))= \\ =- \frac{16}{3}+4+8- \frac{1}{3}-1+4= -\frac{20}{3}+16=9 \frac{1}{3} $$ ед².
Пользуясь геометрическим смыслом определённого интеграла, вычислите:
\( \int\limits^6_0 {|x-3|} \, dx \)
Решение: Построим график функции f(x)=|x-3|
План построения графика:
1) Строим f(x)=x-3, прямую проходящую через точки (0;-3), (3;0)
2) Нижнюю часть графика f(x)=x-3, отобразить относительно оси Ох и получим график функции f(x)=|x-3|
На графике отметим ограченные линии [0;6]. Видим что они образуют прямоугольные треугольники с катетами 3.
Площадь фигуры ограниченными линиями будет сумма площадей прямоугольных треугольников.
Назовём первый треугольник ARC, а другой - KLC
Площадь ARC = AR*RC = 3*3 = 9 кв. ед.
Площадь KLC = KL * LC = 3*3 = 9 кв. ед.
Площадь ограниченной фигуры: S=S₁+S₂=9+9 = 18 кв. ед.
Ответ: 18.
