интеграл »
вычислить определенный интеграл - страница 3
Вычислить определённый интеграл \(\int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_{ \frac{ \pi }{4} } {x*cos4x} \, dx \)
Решение: $$ \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_{ \frac{ \pi }{4} } {x*cos4x} \, dx= $$
Так как представлен интеграл от произведения функций, то используется метод интегрирования по частям:
$$ \int\limits {u} \, dv =uv- \int\limits {v} \, du $$
u=x ⇒ du=dx
dv=cos4xdx ⇒ $$ v= \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_{ \frac{ \pi }{4} } {cos4x} \, dx = \frac{1}{4} sin4x|^{ \frac{ \pi }{2} }_{ \frac{ \pi }{4} }= \frac{1}{4}sin \frac{4 \pi }{2} - \frac{1}{4} sin \frac{4 \pi }{4} =0-0=0 \\ =x*0- \frac{1}{4} \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_{ \frac{ \pi }{4} } {sin4x} \, dx =- \frac{1}{4}* (- \frac{1}{4} cos4x)|^{ \frac{ \pi }{2} }_{ \frac{ \pi }{4} }= \frac{cos \frac{4 \pi }{2} }{16} - \frac{cos \frac{4 \pi }{4} }{16} = \\ = \frac{1}{16} -(- \frac{1}{16} )= \frac{2}{16}= \frac{1}{8} $$
Вычислить определенный интеграл \( \int\limits_0^1(-2x^2+3x-x^3)dx \)
Решение: 1 1 1 1 1 1 1 1 1S(-2x^2dx)+S3xdx+S(-x^3dx)=-2Sx^2dx+3Sxdx-Sx^3dx=-2*x^3/3!+3*x^2/2!x^4/4!= -2*1/3+3*1/2-
0 0 0 0 0 0 0 0 0
-1/4=-2/3+3/2-1/4=-8+18-3/12=7/12
Вычислить определённый интеграл с точностью до второго знака после запятой \(\int\limits_2^3 x\cdot ln(x-1)dx \)
Решение: Вводим замену переменной
u=x-1
тогда х=u+1, а du=dx
Получили интеграл
$$ \int\limits^3_2 {(u+1)ln(u)} \, du= \int\limits^3_2 {(uln(u)+ln(u))} \, du $$
Сначала найдём неопределённый интеграл
$$ \int\limits {uln(u)} \, du+ \int\limits {lnu} \, du= u^2( \frac{ln(u)}{2}- \frac{1}{2^2})+(uln(u)-u)= \\ = \frac{u^2ln(u)}{2}- \frac{u^2}{4}+uln(u)-u=uln(u)( \frac{u}{2}+1)-u( \frac{u}{4}+1)+C $$
Вводим обратную замену
$$ (x-1)*ln(x-1)*( \frac{x-1}{2}+1)-(x-1)*( \frac{x-1}{4}+1)= \\ = \frac{1}{2} (x-1)^2*ln(x-1)+(x-1)ln(x-1)- \frac{1}{4}(x-1)^2-(x-1) = \\ = \frac{1}{4}(x-1)*(2(x-1)*ln(x-1)+4ln(x-1)-x)|^3_2= \\ =\frac{1}{4}(3-1)(2(3-1)*ln(3-1)+4ln(3-1)-3- \\ -(\frac{1}{4}(2-1)(2(2-1)*ln(2-1)+4ln(2-1)-2)= \\ = \frac{1}{2}(4ln2+4ln2-3)-( \frac{1}{4}(2ln1+4ln1-2)= \\ = \frac{1}{2}(8*0,6913-3)-( \frac{1}{4}(2*0+4*0-2))= \\ =2,7652-1,5+0,5=1,77 $$
Вычислить определенный интеграл \( \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} x cosx dx \)
Решение: Для начала найдем неопределенный интеграл
∫x*cosx dx
под интегралом находится ПРОИЗВЕДЕНИЕ двух функций ( х и cosx), значит этот интеграл нельзя вычислить по таблице интегралов.
Для решения этого примера нужно воспользоваться МЕТОДОМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ:
∫u*dv=u*v-∫v*du, где u=x; dv=cosx; v=∫cosx=sinx; du=x’=1dx=dx
∫x*cosx=x*sinx-∫sinxdx=x*sinx-(-cosx)+C=x*sinx+cosx+C
теперь можно вычислить определенный интеграл
(см. рис)
отв: (π/2) -1
Вычислить определенный интеграл \( \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\frac{dx}{2+\cos{x}}} \)
Решение: $$ \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\frac{dx}{2+\cos{x}}} = \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\frac{dx}{2\sin^2{(\frac{x}{2})} + 2\cos^2{(\frac{x}{2})} + \cos^2{(\frac{x}{2})} - \sin^2{(\frac{x}{2}})}} = \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\frac{dx}{\sin^2{(\frac {x}{2})} + 3\cos^2{(\frac{x}{2})}}} =\\= \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\frac{\frac{dx}{\cos^2{(\frac{x}{2})}}}{\tan^2{(\frac{x}{2})} + 3}} = \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\frac{d\tan{\frac{x}{2}}}{\tan^2{(\frac{x}{2})} + 3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\frac{d\frac{\tan{\frac{x}{2}}}{\sqrt{3}}}{(\frac{\tan{(\frac{x}{2})}}{\sqrt{3}})^2 + 1}} =\\= \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan{\frac{\tan{\frac{x}{2}}}{\sqrt{3}}}|^{\frac{\pi}{2}}_0 = \frac{1}{\sqrt{3}}(\arctan{\frac{\tan{\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{3}}} - \arctan{\frac{\tan{0}}{\sqrt{3}}}) = \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\pi}{6\sqrt{3}} $$
Вычислить определенный интеграл: \(\frac{1}{ln^29} \int\limits^2_0 { \frac{3x^2}{x^3+1}ln(x^3+1) } \, dx \)
Решение: $$ \frac{1}{ln^29} \int\limits^2_0 { \frac{3x^2}{x^3+1}ln(x^3+1) } \, dx \\ \frac{1}{ln^29}= constant\\. \\ \int\limits^2_0 { \frac{3x^2}{x^3+1}ln(x^3+1) } \, dx\\ \int\limits^2_0 { \frac{3x^2ln(x^3+1)}{x^3+1} } \, dx\\ ln(x^3+1)=t\\ dt= \frac{3x^2dx}{x^3+1} \\.\\ limits: \left \{ {{hight.limit: \alpha =ln(9)} \atop {low.limit: \beta =ln1=0}} \right. \\ \int\limits^{ln9}_0 tdt \\ \\ \frac{1}{2} t^2= (\frac{1}{2}(ln(ln9^3+1))^2)-((\frac{1}{2}ln(1))^2) \\ \frac{1}{ln^29} \frac{1}{2}ln(ln9^3+1)=0,25*0,5*4\\ $$
≈0,5
hight limit - верхний предел
low limit - нижний пределВычислить определенный интеграл \( \int\limits^2_1 {(2u+1)^3} \, du\\ \int\limits^{e^4}_1 {\sqrt{x}lnx} \, dx \)
Решение: $$ \int\limits^2_1 {(2u+1)^3} \, du=(2u+1=t; 2du=dt; du= \frac{dt}{2})= \\ \frac{1}{2} \int\limits^1_2 {t^3} \, dt= \frac{1}{2} *\frac{t^4}{4}|^{2}_1= \ \\ \frac{1}{8}(2u+1)^4|^{2}_1= \frac{1}{8}((2*2+1)^4-(2*1+1)^4)= \frac{1}{8}(5^4-3^4)= \\ \frac{1}{8}(625-81)=\frac{1}{8}*544=68 \\ \int\limits^{e^4}_1 {\sqrt{x}lnx} \, dx=[u=lnx; du= \frac{dx}{x};dv= \sqrt{x}dx;v= \frac{2}{3}x^{ \frac{3}{2} } ] = \\\frac{2}{3}x^{ \frac{3}{2}}lnx|^{e^4}_1- \frac{2}{3} \int\limits^{e^4}_1 { \frac{x^{ \frac{3}{2} }}{x} } \, dx=\frac{2}{3}x^{ \frac{3}{2}lnx}|^{e^4}_1- \frac{2}{3} \int\limits^{e^4}_1 {x^ \frac{1}{2} } \, dx=\\ \frac{2}{3}x^{ \frac{3}{2}}lnx|^{e^4}_1- \frac{4}{9}x^{ \frac{3}{2}}|^{e^4}_1= \ \frac{2}{3}(lne^4-ln1)((e^4)^ \frac{3}{2}-1)- \frac{4}{9}((e^4)^ \frac{3}{2}-1)= \frac{2}{3}*4(e^6-1)-\frac{4}{9}(e^6-1)= \\ (e^6-1)( \frac{8}{3}- \frac{4}{9})=(e^6-1)* \frac{20}{9} $$
$$ \int\limits_{1}^{e^4}{\sqrt{x}\ln{x}}dx=\\ \left|\left|\int udv=uv-\int vdu;\right|\right|\\ \left|\left|u=\ln x; \ du=\frac{dx}{x};\ \ dv=\sqrt{x}dx;\ v=\frac23\sqrt{x^3}\right|\right|\\ =\ln x\cdot \frac23\sqrt{x^3}\left|\int\limits_{1}^{e^4}\right.\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{e^4}{x^{\frac32}}dx=\\ =\ln{e^4}\cdot\frac23\sqrt{e^{12}}-\ln1\cdot\frac23\sqrt1-\frac23\cdot\frac{1}{\frac32+1}\cdot x^{\frac32+1}\left|\int\limits_{1}^{e^4}\right.=\\ \\ =\frac83\cdot e^6-0-\frac23\cdot\frac25\left(\left(e^4\right)^{\frac52}-1^{\frac52}\right)=\\ =\frac{8e^6}{3}-\frac{4e^{10}}{15}+\frac{4}{15} \\ \int\limits_{1}^{2}{\left(2u+1\right)^3}du=\frac12\cdot\int\limits_{1}^{2}{\left(2u+1\right)^3}d(2u+1)=\\ =\frac12\cdot\left(\frac{1}{3+1}\cdot\left(2u+1\right)^4\right)\left|_{1}^{2}\right.=\\ =\frac12\cdot\frac14\cdot\left(\left(2\cdot4+1\right)^4-\left(2\cdot1+1\right)^4\right)=\\ =\frac18\cdot\left(9^4-3^4\right)=\frac18\cdot\left(9^2-3^2\right)\cdot\left(9^2+3^2\right)=\\ =\frac18\cdot\left(81-9\right)\left(81+9\right)=\frac18\cdot72\cdot90=9\cdot90=810 $$
Вычислить определённый интеграл \( \int\limits_1^2 (2-3x)ln xdx \)
Решение: Этот интеграл нужно решать по частям: т. е. применяем формулу: uv-интеграл от v*du (1)
принимаем: lnx=u, дифференцируем это выражение: (1/x)dx=du
принимаем (2-3x)dx=dv, интегрируем это выражение: -3=v
подставляем полученные значения u и v в формулу (1):
-3*lnx(от одного до двух) +3 интеграл от 1/x( от одного до двух)=
-3*lnx(от одного до двух) +3 *lnx( от одного до двух)=
(-3ln2+3ln1)+(3ln2-3ln1)=-3ln2+0+3ln2-0=0Вычислить определённый интеграл:
интеграл (вверху 3, внизу 1) 2dx
Решение: $$ \int_1^3\, 2\, dx = \left. \left(2x\right) \right|_1^3 = 2\cdot 3 - 2\cdot1 = 4 $$
Этот результат можно получить и из элементарных геометрических соображений. Поскольку подынтегральным выражением является горизонтальная прямая \(y = 2\), данный интеграл равен площади прямоугольника, ограниченного вертикальными прямыми \( x=1\) и \(x=3\), горизонтальной прямой \(y=2\) и осью \(Ox\). Площадь этого прямоугольника равна \(2\cdot 2 = 4\).
Ответ: 4.В данном примере будет ответ 5dx
Задание: вычислить определённый интеграл \( \int\limits^3_2 {\frac{3x^4 +2x^3}{x^2}} \, dx \)
Решение: Сперва упростим подынтегральное выражение, используя свойство степеней $$ \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} \\ \int\limits^3_2 {\frac{3x^4 +2x^3}{x^2}} \, dx = \int\limits^3_2 {(\frac{3x^4}{x^2}+ \frac{2x^3}{x^2})} \, dx = \int\limits^3_2 {(3x^2+2x)} \, dx = (*) $$
Затем воспользуемся свойствами интеграла $$ \int {(f(x) \pm g(x))} \, dx = \int {f(x)} \, dx \pm \int {g(x)} \, dx; \ \int {k \cdot f(x)} \, dx = k \cdot \int {f(x)} \, dx \\ (*) = \int\limits^3_2 {3x^2} \, dx + \int\limits^3_2 {2x} \, dx = 3 \cdot \int\limits^3_2 {x^2} \, dx + 2 \cdot \int\limits^3_2 {x} \, dx=(*) $$
И наконец найдём первообразную и вычислим определённый интеграл, используя формулу $$ \int {x^n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C \ (n eq -1) $$, а также формулу Ньютона-Лейбница $$ \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b)-F(a)=\left.{ F }\right|_{ a }^{ b } \\ (*)= \left.{(3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2})}\right|_{ 2 }^{ 3 }=\left.{(x^3+x^2 )}\right|_{ 2 }^{ 3 }=(3^3 +3^2)-(2^3+2^2)=\\ \\ =(27+9)-(8+4)=36-12=24 $$
$$ \int\limits^3_2 {( \frac{3x^4+2x^3)}{x^2} } \, dx = \int\limits^3_2 {(3x^2+2x)} \, dx = $$ x³+x²|₂³ = 27+9-8-4 = 36-12 = 24.
