интеграл »

вычислить определенный интеграл - страница 5

  • Вычислите определённый интеграл \(\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}(3cosx - \frac{2}{cos^2x})dx \)


    Решение: Решение
    Вначале вычислим интеграл: 3sinx -2tgx
    Теперь применяем формулу Ньютона-Лейбница:
    вначале подставляем верхний предел интегрирования (π/4), затем ставим знак минус и подставляем верхний предел интегрирования:
    (3*sin(π/4) -2*tg(π/4) - (3*sin(π/6) - tg(π/6)) = 3*(√2/2) - 2*1 - 3*(1/2) + (√3/3) = 
    =  3*(√2/2) - 2 - 3/2) + (√3/3) =  3*(√2/2) + (√3/3) - 3,5

  • Вычислите определенный интеграл \( \int\limits {(x+ \frac{1}{x} )^2} \, dx \)


    Решение: $$ \int\limits {(x+ \frac{1}{x} )^2} \, dx = \int\limits {(x^2+ \frac{1}{x^2}+2 )} \, dx = \\ \\ =\int\limits {(x^2)} \, dx +\int\limits {(\frac{1}{x^2})} \, dx +\int\limits {(2)} \, dx = \\ \\ = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{x} +2x +C \\ \int\limits^2_1 {(x+ \frac{1}{x} )^2} \, dx =\frac{x^3}{3} - \frac{1}{x} +2x|^2_1= \\ \\ =(\frac{2^3}{3} - \frac{1}{2} +2*2)-(\frac{1^3}{3} - \frac{1}{1} +2*1)= \\ \\ =(\frac{8}{3} - \frac{1}{2} +4)-(\frac{1}{3} - 1 +2)= \\ \\ =(\frac{8*2-1*3+4*6}{6})-(\frac{1-1*3+2*3}{3})= \\ \\ =(\frac{16-3+24}{6})-(\frac{1-3+6}{3})= \\ \\ =\frac{37}{6}-\frac{4}{3}= \frac{37-4*2}{6} = \frac{29}{6} =4,8333 $$

  • Вычисление определенных интегралов
    1) \( \int\limits^2_0 {3e^{\frac{x}{2} }} \, dx \)
    2) \( \int\limits^3_0 {x * \sqrt{16 + x^2} } \, dx \)
    3) \( \int\limits^\pi _ {\frac{\pi}{2}} { \frac{2sinx}{(1 - cosx)} } \, dx \)
    4) \( \int\limits^e_1 {x * lnx^e} \, dx \)


    Решение: 1
    6e^(x/2)|2-0=6e-6
    2
    t=x²+16
    dt=2xdx
    $$ \int\limits^3_0 {(x \sqrt{x^2+16} } \, dx =1/2 \int\limits { \sqrt{t} } \, dt = \ \sqrt{t^3} /3=\\=1/3* \sqrt{(x^2+16)^3}|3-0= \sqrt{25^3} /3=25*5/3=125/3 $$
    3
    t=1-cosx
    dt=sinxdx
    S[2sinx/(1-cosx)dx=2Sdt/t=2lnt=2ln(1-cosx)|π-π/2=2ln(1+1)-2ln(1-0)=
    =2ln2-2ln1=2ln2-2*0=2ln2
    4
    u=lnx^e,du=edx/x
    dv=xdx,v=x²/2
    $$ \int\limits^e_1 {x*lnx^e} \, dx =x^2lnx^e/2-1/2 \int\limits^e_1 {ex} \, dx = \ x^2lnx^e/2-ex^2/4|e-1=e^3/2-e^3/4=e^3/4 $$

  • Вычислить определенный интеграл \( \int\limits^{{\pi}/3}_{{\pi}/6}{\frac{dx}{sin^2x-sin^4x}} \)


    Решение: 1. $$ \int { \frac{dx}{sin^2x-sin^4x}} =\int{\frac{dx}{sin^2x(1-sin^2x)}}=\int{\frac{dx}{sin^2x*cos^2x}}=\int{\frac{sin^2x+cos^2x}{sin^2x*cos^2x}dx} =\\\\ \int{(\frac{1}{cos^2x}+\frac{1}{sin^2x})dx}=\int{\frac{1}{cos^2x}dx}+\int{\frac{1}{sin^2x}dx}=tgx-ctgx=\\\\tgx-\frac{1}{tgx}=\frac{tg^2x-1}{tgx} $$
    Поэтому 
    $$ \int\limits^{{\pi}/3}_{{\pi}/6}{\frac{dx}{sin^2x-sin^4x}}=\frac{tg^2x-1}{tgx}|^{\pi/3}_{\pi/6}=\frac{(\sqrt{3})^2-1}{\sqrt{3}}-\frac{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\\\\ \frac{3-1}{\sqrt{3}}-\frac{\frac{1}{3}-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3} $$
<< < 345