интеграл »
вычислить определенный интеграл
Вычислить определенный интеграл (-1;1) х^3cosПx/4dx
Решение: $$ \int\limits^1_{-1} {x^3cos( \pi x/4)} \, dx $$
Будем интегрировать по частям:
$$ \int\limits^a_b {f} \, dg=fg- \int\limits^a_b {g} \, df $$, где:
$$ f=x^3\\dg=cos( \pi x/4)dx\\df=3x^2dx\\g=4sin( \pi x/4)/ \pi $$
Тогда:
$$ \int\limits^1_{-1} {x^3cos( \pi x/4)} \, dx =4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1-12/\pi \int\limits^1_{-1}{x^2sin( \pi x/4)}dx $$
Для интеграла $$ \int\limits^1_{-1}{x^2sin( \pi x/4)}dx $$ используем также метод интегрирования по частям:
$$ \int\limits^a_b {f} \, dg=fg- \int\limits^a_b {g} \, df $$, где:
$$ f=x^2\\dg=sin( \pi x/4)dx\\df=2xdx\\g=-4cos( \pi x/4)/ \pi $$
Тогда:
$$ 4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1-12/\pi \int\limits^1_{-1}{x^2sin( \pi x/4)}dx=\\=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-96/ \pi ^2 \int\limits^1_{-1} {xcos( \pi x/4)} \, dx $$
Для интеграла $$ \int\limits^1_{-1} {xcos( \pi x/4)} \, dx $$ используем также метод интегрирования по частям:
$$ \int\limits^a_b {f} \, dg=fg- \int\limits^a_b {g} \, df $$, где:
$$ f=x\\dg=cos( \pi x/4)dx\\df=dx\\g=4sin( \pi x/4)/ \pi $$
Тогда:
Для интеграла $$ \int\limits^1_{-1} {sin( \pi x/4)} \, dx $$ воспользуемся заменой переменой:
$$ u=sin( \pi x/4)\\du= \pi dx /4 $$
Тогда:
$$ 4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-\\-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}+384/ \pi ^3 \int\limits^1_{-1} {sin( \pi x/4)} \, dx= \ =4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-\\-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}+1536/ \pi ^4 \int\limits^1_{-1} {sin(u)} \, du= \ =4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-\\-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}-1536cos(u)/ \pi ^4|^{\pi/4}_{-\pi/4}=\\=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}- \ -384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}-1536cos(\pi x/4)/ \pi ^4|^{1}_{-1}=\\=4(\pi x(\pi ^2x^2-96)sin(\pi x/4)+12(\pi ^2x^2-32)cos(\pi x/4))/\pi ^4|^1_{-1}= \\ =4(\pi (\pi ^2-96)sin(\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(\pi /4))/\pi ^4-\\-4(-\pi (\pi ^2-96)sin(-\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(-\pi /4))/\pi ^4=\\=4(\pi (\pi ^2-96)sin(\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(\pi /4))/\pi ^4- \\ -4(\pi (\pi ^2-96)sin(\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(\pi /4))/\pi ^4=0 $$
Ответ:
$$ \int\limits^1_{-1} {x^3cos( \pi x/4)} \, dx =0 $$
3 верху 1 внизу∫(x^3+5x)ln xdx вычислить определённый интеграл
Решение: В общем, решается долго)
Интегрируем по частям
∫u*dv = u*v -∫v*du
пусть
u = ln(x)
dv = (x^3+5x)dx
тогда
du = 1/x
v = ∫x^3+5x = x^4/4 + (5x^2)/2
Тогда
uv = ln(x)*(x^4/4 + (5x^2)/2)
теперь смотрим ∫vdu =
= ∫(x^4/4 + (5x^2)/2) * 1/x = ∫(x^3)/4 + 5x/2 = x^4/16 +5x^2/4
Итого:
ln(x)*(x^4/4 + (5x^2)/2) - (x/2)^4 - 5x^2/4
Теперь считаем интеграл:
ln(3)*(81/4 + 45/2) - 81/16 - 45/4 - Ln(1)(1/4+5/2) + 1/16 + 5/4
Ln(3)*171/4 - 261/16 + 1/16 + 20/16 = (171*ln(3)) /4 - 240/16 = (171*ln(3)) /4 - 15Вычислить определенный интеграл от функции e^cx cosωx на отрезке [a,b], где a=[π/ω, b=π/2ω].
c=4; ω=7
Решение: Интеграл берется двукратным последовательным интегрированием по частям. 1-раз u(x)=e^cx; dv=(cosωx)dx;2-й раз u1(x)=(c/ω)*e^cx;dv=(sinωx)dx;
с последующим упрощением выражения ( приведение подобных членов).
Определенный интеграл вычисляется из неопределенного путем вычитания
его значения при нижней границе из значения при верхней границе интегрирования.
Ответ в общем виде таков:
$$ \frac{\omega}{(c^2)+(\omega^2)}*e^{\pi*c/2*\omega}+\frac{c}{(c^2)+(\omega^2)}*e^{\pi*c/\omega} $$
После подстановки конкретных значений "с" и "омега", имеем:
(4/65)* e^((4/7)*pi)+(7/65)*e^((2/7)*pi) = 0,63475
Пока займемся вычислением неопр. интеграла:
I = $$ \int{e^{cx}coswx}\, dx\ =\ \frac{1}{c}\int{coswx}\, de^{cx}\ =\ \frac{1}{c}e^{cx}coswx\ +\ \frac{w}{c}\int{e^{cx}sinwx}\, dx\ =\\\ =\ \frac{1}{c}e^{cx}coswx\ -\ \frac{w}{c^2}\int{sinwx}\, de^{cx}\ = \\ =\ \frac{1}{c}e^{cx}coswx\ +\ \frac{w}{c^2}e^{cx}sinwx\ -\ \frac{w^2}{c^2}*\ I $$
Отсюда находим I:
$$ I\ =\ \frac{e^{cx}(c*coswx+w*sinwx)}{c^2+w^2} $$
Подставив значения с и w:
$$ I\ =\ \frac{e^{4x}(4cos7x+7sin7x)}{65} $$
Теперь найдем значение интеграла от П/w до П/2w:
$$ I\ =\ \frac{e^{2\pi/7}(7+4e^{2\pi/7})}{65} $$
, нужно вычислить определенный интеграл от П/2 до П
dx
_______________
sin^2(x/2)cos^2(x/2)
Решение: $$ \int\limits^ \frac{ \pi }{} _ \frac{\pi}{2} \frac{1}{ \frac{1-cosx}{2} *\frac{1+cosx}{2}} \, dx =\int\limits^ \frac{ \pi }{} _ \frac{\pi}{2} \frac{4}{ ({1-cos ^{2} x} )} \, dx = \int\limits^ \frac{ \pi }{} _ \frac{\pi}{2} \frac{4}{ ({sin ^{2} x} )} \, dx=4*\int\limits^ \frac{ \pi }{} _ \frac{\pi}{2} \, d(-ctgx) $$
И тут мы явно видим, что этот интеграл является несобственным интегралом.
Будем решать дальше с пределом на Пи и установлением факта расходимости данного интеграла?
Вычислить определенный интеграл. ( сделать замену x=sinx) \( \int\limits^1_0 { \sqrt{1- x^{2} } - x^{2} \sqrt{1- x^{2} } } \, dx \)
Решение: $$ \int _0^1(\sqrt{1-x^2}-x^2\sqrt{1-x^2})dx=\\\\=[\, x=sint,dx=cost\cdot dt,t=arcsinx,\\t_1=arcsin0=0,t_2=arcsin1=\frac{\pi}{2}\, ]=\\\\=\int _0^{\frac{\pi}{2}}(\sqrt{1-sin^2t}-sin^2t\sqrt{1-sin^2t})\cdot cost\cdot dt=\\\\=\int _0^{\frac{\pi}{2}}(\sqrt{cos^2t}-sin^2t\sqrt{cos^2t})\cdot cost\cdot dt=\\\\=\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^2t\cdot dt-\int _0^{\frac{\pi}{2}}sin^2t\cdot cos^2t\cdot dt=\\\\=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+cos2t}{2}dt-\int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{4}sin^22t\cdot dt= \\ =(\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}sin2t)|_0^{\frac{\pi}{2}}-\frac{1}{4}\int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-cos4t}{2}dt=\\\\=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{8}(t-\frac{1}{4}sin4t)|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{8}(\frac{\pi}{2}-0)=\frac{3\pi}{16} $$
Вычислить определённый интеграл \(\int\limits_0^2 (2x^3-x-1)dx \)
Решение: Интеграл суммы равен сумме интегралов, далее находите первообразные и подставляете пределы интегрирования.
Вычислить определённый интеграл \( \int\limits_{-2}^{-1} \frac{3x^6-4x^5-7x^4+3x^2}{x^4}dx \)
Решение: = $$ \int\limits^{-1}_{-2} {(3 x^{2}-4x-7+ \frac{3}{ x^{2} } ) } \, dx $$=
$$ \int\limits^{-1}_{-2} {(3 x^{2} -4x-7)} \, dx + \int\limits^{-1}_{-2} { \frac{3}{ x^{2} } } \, dx $$=
$$ (3 x^{3}/3-4 x^{2} /2-7x) \int\limits^{-1}_{-2} + 3 \int\limits^{-1}_{-2} { x^{-2} } \, dx $$=
$$ -1-2+7-(-8-8+14)+3(- \frac{1}{x} ) \int\limits^{-1}_{-2} $$=
= -1-2+7+8+8-14-3(1/(-1) - 1/(-2)) = 6-3(-1+0.5) = 6+1.5 = 7.5
Вычислить определенный интеграл (2x^2+4x+7)cos2x
пределы наверху-пи
внизу-0
Решение: $$ \int\limits^ \pi_0 {(2x^2+4x+7)cos2x} \, dx $$
интегрируем по частям
$$ u=(2x^2+4x+7) \\ du=(4x+4)dx \\ dv=cos2x\,dx \\ v=0.5sin2x $$
Тогда
$$ \int\limits^ \pi_0 {(2x^2+4x+7)cos2x} \,dx= \\ =(2x^2+4x+7)*0.5sin2x- 0.5\int\limits^ \pi_0 {sin2x(4x+4)} \, dx $$
Получившийся интеграл опять интегрируем по частям
$$ u=(4x+4) \\ du=4dx \\ dv=sin2x\,dx \\ v=-0.5cos2x \\ \int\limits^ \pi_0 {sin2x(4x+4)} \, dx =-0.5(4x+4)cos2x+0.5\int\limits^ \pi _0 {4cos2x} \, dx = \\ =-0.5(4x+4)cos2x+2\int\limits^ \pi _0 {cos2x} \, dx = \\ =-0.5(4x+4)cos2x+sin2x $$
Окончательно получаем
$$ \int\limits^ \pi_0 {(2x^2+4x+7)cos2x} \,dx= \\ =(2x^2+4x+7)*0.5sin2x- 0.5\int\limits^ \pi_0 {sin2x(4x+4)} \, dx= \\ =(2x^2+4x+7)*0.5sin2x- 0.5(-0.5(4x+4)cos2x+sin2x)|_0^ \pi = \\ =(2x^2+4x+7)*0.5sin2x+(x+1)cos2x-0,5sin2x|_0^ \pi = \\ = \pi +1-( \pi +1)=0 $$
Вычислить определенный интеграл: \( 1)\quad \int\limits _{\frac{1}{\sqrt{e}}}^{e}\frac{dx}{x}\\ 2)\quad \int\limits^0_{-\frac{\pi}{2}} {sin(\frac{\pi}{4}-3x)} \, dx\\ 3)\quad \int \limits _0^1\, arctgx\, dx \)
Решение: $$ 1)\quad \int\limits _{\frac{1}{\sqrt{e}}}^{e}\frac{dx}{x}=ln|x|\int\limits |^{e}_{\frac{1}{\sqrt{e}}}=lne-ln\frac{1}{\sqrt{e}}=1-(ln1-ln\sqrt{e})=\\\\=1-(0-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\\\\2)\quad \int\limits^0_{-\frac{\pi}{2}} {sin(\frac{\pi}{4}-3x)} \, dx =-\frac{1}{3}\cdot (-cos(\frac{\pi}{4}-3x))|_{-\frac{\pi}{2}}^0=\\\\=\frac{1}{3}\left (cos\frac{\pi}{4}-cos(\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{2})\right )=\frac{1}{3}\left (\frac{\sqrt2}{2}-cos\frac{7\pi}{4}\right )= \\ =\frac{1}{3}\left (\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\right )=0 \\ 3)\quad \int \limits _0^1\, arctgx\, dx=[\, u=arctgx,\; du=\frac{dx}{1+x^2}\,\, dv=dx\;,\; v=x]=\\\\=x\cdot arctgx|_0^{\frac{\pi}{4}}-\int \limits _{0}^{\frac{\pi}{4}}\, \frac{x\, dx}{1+x^2} =\frac{\pi}{4}\cdot arctg\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\cdot \int \limits _0^{\frac{\pi}{4}}\frac{2x\, dx}{1+x^2}=\\\\=\frac{\pi}{4}\cdot arctg\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\cdot ln|1+x^2||_0^{\frac{\pi}{4}}=\\\\=\frac{\pi}{4}\cdot arctg\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}(ln(1+\frac{\pi ^2}{16})-ln1)= \\ =\frac{\pi}{4}\cdot arctg\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}ln(1+\frac{\pi ^2}{16}) $$
Вычислить определённый интеграл \(\int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_{ \frac{ \pi }{4} } {x*cos4x} \, dx \)
Решение: $$ \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_{ \frac{ \pi }{4} } {x*cos4x} \, dx= $$
Так как представлен интеграл от произведения функций, то используется метод интегрирования по частям:
$$ \int\limits {u} \, dv =uv- \int\limits {v} \, du $$
u=x ⇒ du=dx
dv=cos4xdx ⇒ $$ v= \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_{ \frac{ \pi }{4} } {cos4x} \, dx = \frac{1}{4} sin4x|^{ \frac{ \pi }{2} }_{ \frac{ \pi }{4} }= \frac{1}{4}sin \frac{4 \pi }{2} - \frac{1}{4} sin \frac{4 \pi }{4} =0-0=0 \\ =x*0- \frac{1}{4} \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_{ \frac{ \pi }{4} } {sin4x} \, dx =- \frac{1}{4}* (- \frac{1}{4} cos4x)|^{ \frac{ \pi }{2} }_{ \frac{ \pi }{4} }= \frac{cos \frac{4 \pi }{2} }{16} - \frac{cos \frac{4 \pi }{4} }{16} = \\ = \frac{1}{16} -(- \frac{1}{16} )= \frac{2}{16}= \frac{1}{8} $$
