вычислить определенный интеграл - страница 4
Вычислите определенный интеграл 7 задание а \( 7.a)\,\, \int\limits^4_2 {\frac{x^2+2}{x^2}} \, dx \)
Решение: $$ 7.a)\,\, \int\limits^4_2 {\frac{x^2+2}{x^2}} \, dx =\int\limits^4_2 {(1+\frac{2}{x^2})} \, dx =(x+2*\frac{x^{-1}}{-1})|^4_2=(x-\frac{2}{x})|^4_2= \\ =4-\frac{2}4-(2-\frac{2}2)=4-\frac{1}2-1=\frac{5}2=2.5 $$$$ \int\limits^4_2 {(1+2/x^2)} \, dx =x-2/x|4-2=4-1/2-2+1=2,5 $$
Вычислите определенный интеграл \( \int\limits^9_4 { \frac{1}{\sqrt{x}}} \, dx\\ \int\limits^2_1 { (\frac{3}{x^2}+x^2+2} )dx\\ \int\limits^ {-1}_ {-2} {(\frac{-5}{x^2}+x^4-3x} ) dx \)
Решение: $$ \int\limits^9_4 { \frac{1}{\sqrt{x}}} \, dx = |^9_4 2\sqrt{x} = 2*3-2*2=2 $$
$$ \int\limits^2_1 { (\frac{3}{x^2}+x^2+2} )dx = |^2_1 \ \frac{-3}{x}+\frac{x^3}{3}+2x = \frac{-3}{2}+\frac{8}{3}+4 - (\frac{-3} {1}+\frac{1}{3}+2) \\ \frac{31}{6}+\frac{2}{3} = \frac{35}{6} $$
$$ \int\limits^ {-1}_ {-2} {(\frac{-5}{x^2}+x^4-3x} ) dx = \frac{x^5}{5} - \frac{3x^2}{2} + \frac{5}{x} = \\ \frac{-1}{5}-\frac{3}{2}-\frac{5}{1} - ( \frac{-32}{5} - \frac{3*4}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{41}{5} $$
Вычислите определенный интеграл \( \int\limits_{-0,5\pi}^0 (tgx+x-3)dx \)
Решение: \(\int\limits_{-0,5\pi}^0 (tgx+x-3)dx=\int tgx*dx+\int x*dx-3\int dx
\int tgxdx=\int sinx \cdot \frac{dx}{cosx}\)
Подводим cosx под знак дифференциала
\(-\int d(cosx)/cosx=-ln/cosx/ \\ \int x*dx=(x^2)/2 \\ -3\int dx=-3x\) В сумме
-ln/cosx/+(x^2)/2-3x
Соответствующие значения для пределов интеграла:
-ln/cos0/+0^2/2-3*0=-ln(1)=0
-ln/cos(pi/2)/+(pi/2)^2/2-3*pi/2=∞
ответ: минус ∞ (посмотри на график тангенса)
Вычислить определенные интегралы \( \int\limits^4_0 \frac{dx}{sqrt(x)}\)
Решение: Решение:
Проведем замену:
$$ t^2=x $$
Тогда,
$$ d(t^2)=dx \\ 2tdt=dx $$
Зная это, преобразуем интеграл:
$$ 2\int\limits^4_0 \frac{tdt}{t} = 2\int\limits^4_0 dt = 2t = 2\sqrt{x} |\int\limits^4_0 = \\ = 2\sqrt4 - 2\sqrt0 = 2*2=4 $$
Вычислить определенный интеграл \( \int\limits_0^4 \frac{xdx}{\sqrt{2+4x}} \)
Решение: Произведем замену $$ t= \sqrt{2+4x} $$
$$ t^{2}=2+4x $$
x=$$ \frac{1}{4}*( t^{2} -2) $$
dx= $$ \frac{1}{2}*tdt \\ \frac{1}{8} \int\limits ({t^{2} -2}) \, dt= \frac{1}{8}( \frac{t^3}{3}-2t)= $$
= 1/8(1/3*(2+4x)$$ \sqrt{2+4x} $$ -2$$ \sqrt{2+4x} $$)=
1/8(6√18-2√18) - 1/8( 2/3 √2-2√2)=1/2 √18 - 1/6 √2= 4/3 * √2Вычислите интеграл
Решение: Вычислим определённый интеграл от функции
f(x) = (1-2*x)^(1/3) от -1 до 0:
вычисляем вначале неопределённый интеграл
- (3/8)*(-2x + 1)^(4/3) + с
подставляем пределы интегрирования от -1 до 0 (применяем формулу Ньютона-Лейбница)
-3/8 +[ (9*(3)^(1/3) ] / 8
Здесь нужно использовать формулу: Integral u^n*u’ dx=[u^(n+1)]/(n+1)+C.
Для этого данную функцию приводим к нужному виду:
(1-2x)^1/3 dx=-1/2*(1-2x)^1/3*(-2) dx.
Здесь 1-2x=u, 1/3=n,2=u’.
Дальше все как вам сказано в комментарии, только нужно еще выполнить операцию с пределами интегрирования.Вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) y = x^3 2) y = 3 - x^2
y = 0 y = -1
x = 2
x = 3
Решение: 1) S = (Интеграл от 2 до 3) x^3 dx= (x^4)/4 по границам от 2 до 3 =81/4 -16/4=65/4=16 1/4 (кв. ед)2) находим границы интегрирования
3 - x^2 = -1 x^2=4 x1=-2 x2=2
S = (интеграл от -2 до 2) {3 - x^2 -( -1)}dx= (интеграл от -2 до 2) {4-x^2}dx=
(4x - x^3/3) по границам от -2 до 2= (8 -8/3) - (-8+8/3)=16 -16/3= 32/3 =10 2/3 кв. ед
Вычислить площадь плоской фигуры с помощью определенного интеграла.
x-y+3=0, x+y-1=0 и y=0
Решение: X-y+3=x+y-1
-2y=-4
y=2; x=-1; у=0;x=-3
y=2; x=-1; y=0; x=1
$$ \int\limits^{-1}_{-3} {(3+x)} \, dx + \int\limits^1_{-1} {(1-x)} \, dx =(3x+ \frac{x^2}{2} )|^{-1}_{-3}+(x- \frac{x^2}{2} )|^1_{-1}=4 $$
Ответ: 4 кв. ед.
Вычислите два неопределенных интеграла \(1)\int (6sin\frac{x}{3}\cdot cos\frac{x}{3})dx\\ 2)\; \int (2sin^2\frac{x}{4}-1)dx \)
Решение: $$ 1)\int (6sin\frac{x}{3}\cdot cos\frac{x}{3})dx=\int (3\cdot sin\frac{2x}{3})dx=3\cdot \frac{3}{2}\cdot (-cos\frac{2x}{3})+C=\\\\=-4,5\cdot cos\frac{2x}{3}+C\\\\2)\; \; \int (2sin^2\frac{x}{4}-1)dx=\\\\=[\, cos2 \alpha =cos^2 \alpha -sin^2 \alpha =\\\\=(1-sin^2 \alpha )-sin^2 \alpha =1-2sin^2 \alpha\, ]=\\\\=-\int (1-2sin^2\frac{x}{4})dx=-\int cos\frac{x}{2}dx=-2\cdot sin\frac{x}{2}+C\\\\\\P.S.\; \; \; \int sin(ax+b)dx=-\frac{1}{a}\cdot cos(ax+b)+C\\\\\int cos(ax+b)dx=\frac{1}{a}\cdot sin(ax+b)+C \\ \frac{2x}{3} =ax+b\; \; \to \; \; \; a=\frac{2}{3}\;,\; \; b=0\\\\\frac{x}{2}=ax+b\; \; \to \; \; \; a=\frac{1}{2}\;,\; \; b=0 $$Вычислите интеграл \(\int\limits_0^{\frac{\pi}{3}}(sin(x-\frac{\pi}{6}) - cos(x-\frac{\pi}{6}))dx \)
Решение: Для удобства:Значок Int(f(x)*dx) - определенный интеграл от нуля до пи-на-три.
Int((sin(x - pi/6) - cos(x - pi/6))*dx) = По свойству неопределенного интеграла от суммы:
Int(sin(x - pi/6)*dx) - Int(cos(x - pi/6)*dx) = По формуле синуса/косинуса разности:
Int((sinx*cos(pi/6) - cosx*sin(pi/6))*dx) - Int((cosx*cos(pi/6) + sinx*sin(pi/6))*dx) = Мы разложим интеграл суммы на сумму интегралов, а вместо тригонометрических функций от констант подставим табличные значения (sin(pi/6) = 1/2 и т. д.) и вынесем их за знак интеграла как коэффициент:
(sqrt(3)/2)*Int(sinxdx) - (1/2)*Int(cosxdx) - (sqrt(3)/2)*Int(cosxdx) + (1/2)*Int(sinxdx) = Теперь просто найдем первообразную по таблице и, по формуле Ньютона-Лейбница, возьмем определенные интегралы:
(sqrt(3)/2)*(-cos(pi/3) + cos(0)) - (1/2)*(sin(pi/3) - sin(0)) - (sqrt(3)/2)*(sin(pi/3) - sin(0)) + (1/2)*(-cos(pi/3) + cos(0)) =
(sqrt(3)/2)*(1/2) - (1/2)*(sqrt(3)/2) - (sqrt(3)/2)*(sqrt(3)/2) + (1/2)*(1/2) = 1
Ответ: 1.
