вычислить определенный интеграл - страница 6
Вычислить определенный интеграл: \(\frac{1}{ln^29} \int\limits^2_0 { \frac{3x^2}{x^3+1}ln(x^3+1) } \, dx \)
Решение: $$ \frac{1}{ln^29} \int\limits^2_0 { \frac{3x^2}{x^3+1}ln(x^3+1) } \, dx \\ \frac{1}{ln^29}= constant\\. \\ \int\limits^2_0 { \frac{3x^2}{x^3+1}ln(x^3+1) } \, dx\\ \int\limits^2_0 { \frac{3x^2ln(x^3+1)}{x^3+1} } \, dx\\ ln(x^3+1)=t\\ dt= \frac{3x^2dx}{x^3+1} \\.\\ limits: \left \{ {{hight.limit: \alpha =ln(9)} \atop {low.limit: \beta =ln1=0}} \right. \\ \int\limits^{ln9}_0 tdt \\ \\ \frac{1}{2} t^2= (\frac{1}{2}(ln(ln9^3+1))^2)-((\frac{1}{2}ln(1))^2) \\ \frac{1}{ln^29} \frac{1}{2}ln(ln9^3+1)=0,25*0,5*4\\ $$
≈0,5
hight limit - верхний предел
low limit - нижний пределВычислить определенный интеграл \( \int\limits^2_1 {(2u+1)^3} \, du\\ \int\limits^{e^4}_1 {\sqrt{x}lnx} \, dx \)
Решение: $$ \int\limits^2_1 {(2u+1)^3} \, du=(2u+1=t; 2du=dt; du= \frac{dt}{2})= \\ \frac{1}{2} \int\limits^1_2 {t^3} \, dt= \frac{1}{2} *\frac{t^4}{4}|^{2}_1= \ \\ \frac{1}{8}(2u+1)^4|^{2}_1= \frac{1}{8}((2*2+1)^4-(2*1+1)^4)= \frac{1}{8}(5^4-3^4)= \\ \frac{1}{8}(625-81)=\frac{1}{8}*544=68 \\ \int\limits^{e^4}_1 {\sqrt{x}lnx} \, dx=[u=lnx; du= \frac{dx}{x};dv= \sqrt{x}dx;v= \frac{2}{3}x^{ \frac{3}{2} } ] = \\\frac{2}{3}x^{ \frac{3}{2}}lnx|^{e^4}_1- \frac{2}{3} \int\limits^{e^4}_1 { \frac{x^{ \frac{3}{2} }}{x} } \, dx=\frac{2}{3}x^{ \frac{3}{2}lnx}|^{e^4}_1- \frac{2}{3} \int\limits^{e^4}_1 {x^ \frac{1}{2} } \, dx=\\ \frac{2}{3}x^{ \frac{3}{2}}lnx|^{e^4}_1- \frac{4}{9}x^{ \frac{3}{2}}|^{e^4}_1= \ \frac{2}{3}(lne^4-ln1)((e^4)^ \frac{3}{2}-1)- \frac{4}{9}((e^4)^ \frac{3}{2}-1)= \frac{2}{3}*4(e^6-1)-\frac{4}{9}(e^6-1)= \\ (e^6-1)( \frac{8}{3}- \frac{4}{9})=(e^6-1)* \frac{20}{9} $$
$$ \int\limits_{1}^{e^4}{\sqrt{x}\ln{x}}dx=\\ \left|\left|\int udv=uv-\int vdu;\right|\right|\\ \left|\left|u=\ln x; \ du=\frac{dx}{x};\ \ dv=\sqrt{x}dx;\ v=\frac23\sqrt{x^3}\right|\right|\\ =\ln x\cdot \frac23\sqrt{x^3}\left|\int\limits_{1}^{e^4}\right.\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{e^4}{x^{\frac32}}dx=\\ =\ln{e^4}\cdot\frac23\sqrt{e^{12}}-\ln1\cdot\frac23\sqrt1-\frac23\cdot\frac{1}{\frac32+1}\cdot x^{\frac32+1}\left|\int\limits_{1}^{e^4}\right.=\\ \\ =\frac83\cdot e^6-0-\frac23\cdot\frac25\left(\left(e^4\right)^{\frac52}-1^{\frac52}\right)=\\ =\frac{8e^6}{3}-\frac{4e^{10}}{15}+\frac{4}{15} \\ \int\limits_{1}^{2}{\left(2u+1\right)^3}du=\frac12\cdot\int\limits_{1}^{2}{\left(2u+1\right)^3}d(2u+1)=\\ =\frac12\cdot\left(\frac{1}{3+1}\cdot\left(2u+1\right)^4\right)\left|_{1}^{2}\right.=\\ =\frac12\cdot\frac14\cdot\left(\left(2\cdot4+1\right)^4-\left(2\cdot1+1\right)^4\right)=\\ =\frac18\cdot\left(9^4-3^4\right)=\frac18\cdot\left(9^2-3^2\right)\cdot\left(9^2+3^2\right)=\\ =\frac18\cdot\left(81-9\right)\left(81+9\right)=\frac18\cdot72\cdot90=9\cdot90=810 $$
Вычислить определённый интеграл \( \int\limits_1^2 (2-3x)ln xdx \)
Решение: Этот интеграл нужно решать по частям: т. е. применяем формулу: uv-интеграл от v*du (1)
принимаем: lnx=u, дифференцируем это выражение: (1/x)dx=du
принимаем (2-3x)dx=dv, интегрируем это выражение: -3=v
подставляем полученные значения u и v в формулу (1):
-3*lnx(от одного до двух) +3 интеграл от 1/x( от одного до двух)=
-3*lnx(от одного до двух) +3 *lnx( от одного до двух)=
(-3ln2+3ln1)+(3ln2-3ln1)=-3ln2+0+3ln2-0=0Вычислить определённый интеграл:
интеграл (вверху 3, внизу 1) 2dx
Решение: $$ \int_1^3\, 2\, dx = \left. \left(2x\right) \right|_1^3 = 2\cdot 3 - 2\cdot1 = 4 $$
Этот результат можно получить и из элементарных геометрических соображений. Поскольку подынтегральным выражением является горизонтальная прямая \(y = 2\), данный интеграл равен площади прямоугольника, ограниченного вертикальными прямыми \( x=1\) и \(x=3\), горизонтальной прямой \(y=2\) и осью \(Ox\). Площадь этого прямоугольника равна \(2\cdot 2 = 4\).
Ответ: 4.В данном примере будет ответ 5dx
Задание: вычислить определённый интеграл \( \int\limits^3_2 {\frac{3x^4 +2x^3}{x^2}} \, dx \)
Решение: Сперва упростим подынтегральное выражение, используя свойство степеней $$ \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} \\ \int\limits^3_2 {\frac{3x^4 +2x^3}{x^2}} \, dx = \int\limits^3_2 {(\frac{3x^4}{x^2}+ \frac{2x^3}{x^2})} \, dx = \int\limits^3_2 {(3x^2+2x)} \, dx = (*) $$
Затем воспользуемся свойствами интеграла $$ \int {(f(x) \pm g(x))} \, dx = \int {f(x)} \, dx \pm \int {g(x)} \, dx; \ \int {k \cdot f(x)} \, dx = k \cdot \int {f(x)} \, dx \\ (*) = \int\limits^3_2 {3x^2} \, dx + \int\limits^3_2 {2x} \, dx = 3 \cdot \int\limits^3_2 {x^2} \, dx + 2 \cdot \int\limits^3_2 {x} \, dx=(*) $$
И наконец найдём первообразную и вычислим определённый интеграл, используя формулу $$ \int {x^n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C \ (n eq -1) $$, а также формулу Ньютона-Лейбница $$ \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b)-F(a)=\left.{ F }\right|_{ a }^{ b } \\ (*)= \left.{(3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2})}\right|_{ 2 }^{ 3 }=\left.{(x^3+x^2 )}\right|_{ 2 }^{ 3 }=(3^3 +3^2)-(2^3+2^2)=\\ \\ =(27+9)-(8+4)=36-12=24 $$
$$ \int\limits^3_2 {( \frac{3x^4+2x^3)}{x^2} } \, dx = \int\limits^3_2 {(3x^2+2x)} \, dx = $$ x³+x²|₂³ = 27+9-8-4 = 36-12 = 24.
