интеграл »

вычислить определенный интеграл - страница 8

  • Вычислите интеграл


    Решение: Вычислим определённый интеграл от функции 
    f(x) = (1-2*x)^(1/3) от -1 до 0:
    вычисляем вначале неопределённый интеграл
    - (3/8)*(-2x + 1)^(4/3) + с
    подставляем пределы интегрирования от -1 до 0 (применяем формулу Ньютона-Лейбница)
    -3/8 +[ (9*(3)^(1/3) ] / 8

    Здесь нужно использовать формулу: Integral u^n*u’ dx=[u^(n+1)]/(n+1)+C.
    Для этого данную функцию приводим к нужному виду:
    (1-2x)^1/3 dx=-1/2*(1-2x)^1/3*(-2) dx.
    Здесь 1-2x=u, 1/3=n,2=u’.
    Дальше все как вам сказано в комментарии, только нужно еще выполнить операцию с пределами интегрирования.

  • Вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной линиями:

    1) y = x^3 2) y = 3 - x^2

    y = 0 y = -1

    x = 2

    x = 3


    Решение: 1) S = (Интеграл от 2 до 3) x^3 dx= (x^4)/4 по границам от 2 до 3 =81/4 -16/4=65/4=16 1/4 (кв. ед)

    2) находим границы интегрирования

    3 - x^2 = -1 x^2=4 x1=-2 x2=2

    S = (интеграл от -2 до 2) {3 - x^2 -( -1)}dx= (интеграл от -2 до 2) {4-x^2}dx=

    (4x - x^3/3) по границам от -2 до 2= (8 -8/3) - (-8+8/3)=16 -16/3= 32/3 =10 2/3 кв. ед

  • Вычислить площадь плоской фигуры с помощью определенного интеграла.
    x-y+3=0, x+y-1=0 и y=0


    Решение: X-y+3=x+y-1
    -2y=-4
    y=2; x=-1; у=0;x=-3
    y=2; x=-1; y=0; x=1
    $$ \int\limits^{-1}_{-3} {(3+x)} \, dx + \int\limits^1_{-1} {(1-x)} \, dx =(3x+ \frac{x^2}{2} )|^{-1}_{-3}+(x- \frac{x^2}{2} )|^1_{-1}=4 $$
    Ответ: 4 кв. ед.

    X-y x y- - y - y x - у x - y x - y x int limits - - x dx int limits - -x dx x frac x - - x- frac x - Ответ кв. ед....

  • Вычислите два неопределенных интеграла \(1)\int (6sin\frac{x}{3}\cdot cos\frac{x}{3})dx\\ 2)\; \int (2sin^2\frac{x}{4}-1)dx \)


    Решение: $$ 1)\int (6sin\frac{x}{3}\cdot cos\frac{x}{3})dx=\int (3\cdot sin\frac{2x}{3})dx=3\cdot \frac{3}{2}\cdot (-cos\frac{2x}{3})+C=\\\\=-4,5\cdot cos\frac{2x}{3}+C\\\\2)\; \; \int (2sin^2\frac{x}{4}-1)dx=\\\\=[\, cos2 \alpha =cos^2 \alpha -sin^2 \alpha =\\\\=(1-sin^2 \alpha )-sin^2 \alpha =1-2sin^2 \alpha\, ]=\\\\=-\int (1-2sin^2\frac{x}{4})dx=-\int cos\frac{x}{2}dx=-2\cdot sin\frac{x}{2}+C\\\\\\P.S.\; \; \; \int sin(ax+b)dx=-\frac{1}{a}\cdot cos(ax+b)+C\\\\\int cos(ax+b)dx=\frac{1}{a}\cdot sin(ax+b)+C \\ \frac{2x}{3} =ax+b\; \; \to \; \; \; a=\frac{2}{3}\;,\; \; b=0\\\\\frac{x}{2}=ax+b\; \; \to \; \; \; a=\frac{1}{2}\;,\; \; b=0 $$

  • Вычислите интеграл \(\int\limits_0^{\frac{\pi}{3}}(sin(x-\frac{\pi}{6}) - cos(x-\frac{\pi}{6}))dx \)


    Решение: Для удобства:

    Значок Int(f(x)*dx) - определенный интеграл от нуля до пи-на-три.

    Int((sin(x - pi/6) - cos(x - pi/6))*dx) = По свойству неопределенного интеграла от суммы:

    Int(sin(x - pi/6)*dx) - Int(cos(x - pi/6)*dx) = По формуле синуса/косинуса разности:

    Int((sinx*cos(pi/6) - cosx*sin(pi/6))*dx) - Int((cosx*cos(pi/6) + sinx*sin(pi/6))*dx) = Мы разложим интеграл суммы на сумму интегралов, а вместо тригонометрических функций от констант подставим табличные значения (sin(pi/6) = 1/2 и т. д.) и вынесем их за знак интеграла как коэффициент:

    (sqrt(3)/2)*Int(sinxdx) - (1/2)*Int(cosxdx) - (sqrt(3)/2)*Int(cosxdx) + (1/2)*Int(sinxdx) = Теперь просто найдем первообразную по таблице и, по формуле Ньютона-Лейбница, возьмем определенные интегралы:

    (sqrt(3)/2)*(-cos(pi/3) + cos(0)) - (1/2)*(sin(pi/3) - sin(0)) - (sqrt(3)/2)*(sin(pi/3) - sin(0)) + (1/2)*(-cos(pi/3) + cos(0)) =

    (sqrt(3)/2)*(1/2) - (1/2)*(sqrt(3)/2) - (sqrt(3)/2)*(sqrt(3)/2) + (1/2)*(1/2) = 1

    Ответ: 1.

<< < 678 9 > >>