интеграл »

определенный интеграл - страница 2

  • Решить определенный интеграл \( \int\limits^2_0 {x} \, \frac{3( x^{2} +5x)}{38} \\ dx \)


    Решение: $$ \int\limits^2_0 {\frac{3( x^{2} +5x)}{38}} \, dx = \frac{3}{38} \int\limits^2_0 {(x^{2} +5x)} \, dx = \\ \\ = \frac{3}{38} ( \frac{x^3}{3} +5* \frac{x^2}{2} )|^2_0=\frac{3}{38}[(\frac{2^3}{3} +5* \frac{2^2}{2})-(\frac{0^3}{3} +5* \frac{0^2}{2})]= \\ \\ =\frac{3}{38}(\frac{8}{3} +10)=\frac{3}{38}(\frac{8+10*3}{3})=\frac{3}{38}*\frac{38}{3}=1 \\ \int\limits^2_0 {\frac{3x( x^{2} +5x)}{38}} \, dx = \frac{3}{38} \int\limits^2_0 {x(x^{2} +5x)} \, dx =\frac{3}{38} \int\limits^2_0 {(x^{3} +5x^2)} \, dx \\ \\ = \frac{3}{38} ( \frac{x^4}{4} +5* \frac{x^3}{3} )|^2_0=\frac{3}{38}[(\frac{2^4}{4} +5* \frac{2^3}{3})-(\frac{0^4}{4} +5* \frac{0^3}{3})]= \\ \\ =\frac{3}{38}(4 + \frac{40}{3})=\frac{3}{38}(\frac{4*3+40}{3})=\frac{3}{38}*\frac{52}{3}= \frac{52}{38} = \frac{26}{19} =1 \frac{7}{19} =1,368 $$

  • Найти определённый интеграл:
    1) \( \int\limits^ \frac{ \pi }{6} _0 {cos2x} \, dx \)
    2) \( \int\limits^0_{-3} {(3 x^{3}-4x+2) } \, dx \)


    Решение: $$ \int\limits^{\frac{\pi}{6}}_0 \, cos2x\, dx =[\, t=2x\;,\; dt=2\, dx\;,\; dx= \frac{dt}{2}\;,t_1=0,\; t_2=\frac{\pi}{3}\, ]=\\\\=\int _0^{\frac{\pi}{3}}cost\cdot \frac{dt}{2}=\frac{1}{2}\cdot sint|_0^{\frac{\pi}{3}\, }=\frac{1}{2}\, (sin\frac{\pi}{3}-sin0)=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{4} \\ \int\limits^0_{-3} {(3x^3-4x+2)dx} \, dx =\left (3\cdot \frac{x^4}{4}-4\cdot \frac{x^2}{2}+2x\right )|_{-3}^0\, =\\\\=\frac{3}{4}\cdot 81-2\cdot 9-6= \frac{243}{4} -24= \frac{147}{4} =36,75 $$

  • Решите определенный интеграл
    \( \int\limits^5_0 { \frac{dx}{2x+ \sqrt{3x+1} } } \)


    Решение: Замена √(3x+1) = t, 3x+1 = t^2, x = (t^2-1)/3, dx = 2t/3 dt, t(0) = 1, t(5) = 4
    Int(1, 4) 2t/3*1/(2*(t^2-1)/3 +t) dt = 2/3*3*Int(1, 4) t/(2t^2-2+3t) dt =
    По методу неопределенных коэффициентов разложим на сумму дробей
    t/[(t+2)(2t-1)] = A1/(t+2) + A2/(2t-1) = [A1*(2t-1) + A2*(t+2)]  /[(t+2)(2t-1)] =
    = [t*(2A1 + A2) + (-A1 + 2A2)] /[(t+2)(2t-1)]
    Система
    { 2A1 + A2 = 1
    { -A1 + 2A2 = 0
    { 2A1 + A2 = 1
    { -2A1 + 4A2 = 0
    Складываем уравнения
    5A2 = 1, A2 = 1/5, A1 = 2A2 = 2/5
    Интеграл
    2/3*3*Int(1, 4) t/(2t^2-2+3t) dt = 2*Int(1, 4) [2/5*1/(t+2) + 1/5*1/(2t+1)] dt =
    = 4/5*ln|t+2| + 2/5*1/2*ln|2t+1| |(1, 4) = 4/5*(ln 6 - ln 3) + 2/5*(ln 9 - ln 3) =
    = 4/5*ln 2 - 2/5*ln 3

  • Решить определенный интеграл (от -п/2 до п/2) ∫cos^3(x)/√sinxdx


    Решение: Под знаком интеграла раскладываете cos^3x=cos^2x*cosx

    cos^2x=1-sin^2x; cosxdx=d(sinx), и производим замену sinx=t

    получим интеграл ((1-t^2)/(√t))dt дальше пользуясь свойством суммы разложим на два интеграла

    1) ∫1/(корень из (t))dt

    2) ∫t^(3/2)dt

    оба интеграла табличные решаете их и возвращаетеся к sinx=t дальше просто значения границ определённого подставим и получим ответ)

  • Решите определенный интеграл
    \( \int\limits { \frac{dx}{ \sqrt{(5+2x+x^2)^3} } } \ \)


    Решение: X^2 + 2x + 5 = x^2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)^2 + 4
    Замена x+1 = 2*tg y, x = 2tg y - 1, dx = -2/cos^2 y dy = -2(1 + tg^2 y) dy
    √(x^2+2x+5)^3 = (4tg^2 y + 4)^(3/2) = 4^(3/2)*(1 + tg^2 y)^(3/2) = 8(1 + tg^2 y)^(3/2) 
    Int dx / √(x^2+2x+5)^3 = -2*Int (1 + tg^2 y) dy / (8(1 + tg^2 y)^(3/2)) =
    -1/4*Int dy / √(1 + tg^2 y) = -1/4*Int dy* √(cos^2 y) = -1/4* Int cos y dy = 
    = -1/4*sin y + C = -1/4*sin(arctg (x+1)/2) + C
     

<< < 12 3 4 > >>