интеграл »
определенный интеграл - страница 3
Определенный интеграл, с решением, принципа \( \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 x^3 exp x^4 dx \)
Решение: 1. Находим неопределенный интеграл,
данный интеграл без проблем берется "подведением под знак дифференциала"
$$ x^3dx = \frac{1}{4} dx^4, \\ \int\limits {x^3 exp(x^4) } \, dx = \frac{1}{4} \int\limits {exp(x^4) } \, dx^4, \\ u = x^4 \\ \frac{1}{4} \int\limits {exp(u) } \, du = \frac{1}{4} exp(u) = \frac{1}{4} exp(x^4) + const $$
2. Находим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
$$ = \frac{1}{4} (exp(1) - exp( \frac{1^4}{2^4} ) ) = 1/4 (e - e^ \frac{1}{16} ) $$
Определенный интеграл \( \int\limits^{3/2}_{1/2} { \frac{dx}{3+4x^2} } \)
Решение: $$ \int\limits^{3/2}_{1/2} { \frac{dx}{3+4x^2} } = \frac{1}{4} \int\limits^{3/2}_{1/2} { \frac{dx}{3/4+x^2} } = \frac{1}{4} \int\limits^{3/2}_{1/2} { \frac{dx}{ (\sqrt{3} /2)^2+x^2} } = \\ \frac{1}{4} \frac{1}{ \sqrt{3}/2 }arctg \frac{x}{ \sqrt{3}/2}|\int\limits^{3/2}_{1/2}= \frac{ \sqrt{3}}{6}(arctg \frac{3/2}{ \sqrt{3}/2 } -arctg \frac{1/2}{ \sqrt{3}/2 })= \\ \frac{ \sqrt{3}}{6}(arctg \sqrt{3} -arctg \frac{ \sqrt{3} }{ 3})=\frac{ \sqrt{3}}{6}( \pi /3- \pi /6)=\frac{ \sqrt{3}}{6}* \pi /6= \frac{ \sqrt{3} \pi }{36} $$
Решение в приложении
Найти определенный интеграл \( 1)\; \int_0^1\frac{8arctgx-x}{1+x^2}dx\\ 2)\; \int _1^{e}\frac{x^8+lnx^9+1}{x}dx= \)
Решение: $$ 1)\; \int_0^1\frac{8arctgx-x}{1+x^2}dx=8\int _0^1arctgx\cdot \frac{dx}{1+x^2}-\frac{1}{2}\int _0^1\frac{2xdx}{1+x^2}=\\\\=[t=arctgx,\; u=1+x^2=8\cdot \int _0^{\frac{\pi}{4}}t\cdot dt-\frac{1}{2}\int _1^2\frac{du}{u}=8\frac{t^2}{2}|_0^{\frac{\pi}{4}}-\frac{1}{2}ln|u||_1^2\\\\=4\cdot \frac{\pi ^2}{16}-\frac{1}{2}(ln2-ln1)=\frac{\pi ^2}{4}-\frac{1}{2}ln2\\\\\\2)\; \int _1^{e}\frac{x^8+lnx^9+1}{x}dx=\int _1^{e}(x^7+\frac{9lnx}{x}+\frac{1}{x})dx=(\frac{x^8}{8}+9\frac{ln^2x}{2}+ln|x|)|_1^{e}= \\ =\frac{e^8}{8}+\frac{9}{2}+1-\frac{1}{8} $$Решите определенный интеграл \( \int\limits^4_2 {(x^2-5x+6)} \, dx \)
Решение: $$ \int\limits^4_2 {(x^2-5x+6)} \, dx = \frac{x^3}{3} -5* \frac{x^2}{2} +6x|^4_2= \\ \\ =( \frac{4^3}{3} -5* \frac{4^2}{2} +6*4)-( \frac{2^3}{3} -5* \frac{2^2}{2} +6*2)= \\ \\ =( \frac{64}{3} -5* \frac{16}{2} +24)-( \frac{8}{3} -5* \frac{4}{2} +12)= \\ \\ =( \frac{64}{3} -5*8 +24)-( \frac{8}{3} -5* 2 +12)= \\ \\ =( \frac{64}{3} -40 +24)-( \frac{8}{3} -10 +12)= \\ \\ =( \frac{64-40*3+24*3}{3})-( \frac{8-10*3+12*3}{3})= \\ \\ \\ =( \frac{64-120+72}{3})-( \frac{8-30+36}{3})= \\ \\ = \frac{16}{3}- \frac{14}{3}= \\ \\ =\frac{2}{3} $$
Решить определенный интеграл \( 1)\; \; \int _0^2(3x+3\sqrt{x}-\sqrt{x^3})dx\\ 2)\quad \int _1^2(1-x)^3dx \)
Решение: $$ 1)\; \; \int _0^2(3x+3\sqrt{x}-\sqrt{x^3})dx=(3\cdot \frac{x^2}{2}+3\cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}})|_0^2=\\\\=(\frac{3}{2}x^2+2\sqrt{x^3}-\frac{2}{5}\sqrt{x^5})_0^2=\frac{3}{2}\cdot 4+2\sqrt{2^3}-\frac{2}{5}\sqrt{2^5}=\\\\=6+4\sqrt2-\frac{8}{5}\sqrt2=6+\frac{12}{5}\sqrt2 \\ 2)\quad \int _1^2(1-x)^3dx=[\, t=1-x\;,\; dt=-dx\;,\\\\ t_1=1-1=0,\; \; t_2=1-2=-1\, ]=\\\\=-\int _0^{-1}t^3\, dt=-\frac{t^4}{4}|_0^{-1}=-\frac{1}{4}((-1)^4-0^4)=-\frac{1}{4} $$
Решить определенный интеграл \(\int\limits_0^1 \sqrt{1+3x^2}\, dx \)
Решение: $$ \int \sqrt{1+3x^2}\, dx=\int \frac{1+3x^2}{\sqrt{1+3x^2}} dx=\int \frac{dx}{\sqrt{1+3x^2}} +\int \frac{3x^2}{\sqrt{1+3x^2}} dx=I\\\\a)\; \; \int \frac{dx}{\sqrt{1+3x^2}}dx=[\, t=\sqrt3x\;,\; dt=\sqrt3\, dx\, ]=\frac{1}{\sqrt3}\int \frac{dt}{1+t^2}=\\\\=\frac{1}{\sqrt3}arctgt+C=\frac{1}{\sqrt3}arctg(\sqrt3x)+C\\\\b)\int \frac{3x\cdot x\, dx}{\sqrt{1+3x^2}}=[\, u=x,\; du=dx\;,\; dv=\frac{3x\, dx}{\sqrt{1+3x^2}}\;,\; v=\int \frac{3x\, dx}{\sqrt{1+3x^2}}=\\\\=(t=1+3x^2,\; dt=6x\, dx)= \\ =\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{t}+C=\sqrt{1+3x^2}\, ]=x\cdot \sqrt{1+3x^2}-\int \sqrt{1+3x^2}\, dx;\\\\\\I=\int \sqrt{1+3x^2}\, dx=\frac{1}{\sqrt3}arctg(\sqrt3x)+x\cdot \sqrt{1+3x^2}-\int \sqrt{1+3x^2}\, dx\; \Rightarrow \\\\2\int \sqrt{1+3x^2}\, dx=\frac{1}{\sqrt3}arctg{\sqrt3x}+x\cdot \sqrt{1+3x^2}+2C\\\\\int \sqrt{1+3x^2}\, dx=\frac{1}{2\sqrt3}arctg(\sqrt3x)+\frac{x}{2}\cdot \sqrt{1+3x^2}+C $$
$$ \int _0^1\sqrt{1+3x^2}\, dx=\frac{1}{2\sqrt3}arctg(\sqrt3x)|_0^1+ \ \frac{x}{2}\cdot \sqrt{1+3x^2}|_0^1= $$
$$ =\frac{1}{2\sqrt3}arctg\sqrt3+\frac{1}{2}\sqrt{4}=\frac{1}{2\sqrt3}\cdot \frac{\pi}{3}+1=\frac{\pi \sqrt3}{18}+1 $$Тригонометрическая постановка
x=tgt/√3, тогда 1+x²=1+tg²t=1/cos²t
dx=dt/√3cos²t
если х=0 tgt=0 t=0
если x=1, значит tgt=√3, t=π/3
$$ \int\limits^1_0 { \sqrt{1+3x^2} } \, dx = \int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { \frac{1}{ \sqrt{3}cos^3x } } \, dx=[1=cos^2x+sin^2x]= \int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { \frac{cos^2x+sin^2x}{ \sqrt{3}cos^3x } } \, dx \\ \int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { \frac{cos^2x}{ \sqrt{3}cos^3x } } \, dx+\int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { \frac{sin^2x}{ \sqrt{3}cos^3x } } \, dx= \int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { \frac{1}{ \sqrt{3}cosx } } \, dx+\int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { \frac{sin^2xcosx}{ \sqrt{3}cos^4x } } \, dx= \\ \\ =\int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { \frac{1}{ \sqrt{3}cosx } } \, dx+\int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { \frac{sin^2xd(sinx)}{ \sqrt{3}(1-sin^2x)^2 } } \, dx $$
Первый интеграл- есть в таблице, второй интеграл от дроби.
Или по формуле интегрирования по частям:
u=√(1+3x²); dv=dx
Решить определенный интеграл \( \int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0 {\frac{x\cdot sinx}{cos^3x}} \, dx \)
Решение: $$ \int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0 {\frac{x\cdot sinx}{cos^3x}} \, dx =[\, u=x,\; du=dx,\; dv=\frac{sinx\, dx}{cos^3x}\;,\\\\v=\int \frac{sinx\, dx}{cos^3x}=[t=cosx,\; dt=-sinx\, dx\, ]=\\\\=-\int t^{-3}dt=-\frac{t^{-2}}{-2}=\frac{1}{2cos^2x}\, ]=uv-\int v\, du=\\\\=\frac{x}{2cos^2x}|_0^{\frac{\pi}{4}}-\int _0^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{2cos^2x}= \frac{\frac{\pi}{4}}{2cos^2\frac{\pi}{4}}-\frac{1}{2}\cdot tgx|_0^{\frac{\pi}{4}}= $$
$$ =\frac{\pi }{8\cdot \frac{1}{2}} -\frac{1}{2}tg\frac{\pi}{4}= $$ $$ \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} $$решить определенный интеграл \( \int\limits^4_1(3\sqrt{x}+1)dx \)
Решение: $$ \int\limits^4_1(3\sqrt{x}+1)dx=\frac{2*3x^\frac{3}{2}}{3}+x=2\sqrt[2]{x^3}+x =\\= (2*\sqrt[2]{4^3}+4)-(2*\sqrt[2]{1^3}+1)=(2*8+4)-(2*1+1)=\\=20-3=17 $$Объясняю: корень из x - это x в степени 1/2, интегрируем по формуле x^n. т. е.
$$ \int{\sqrt{x}}dx=\int{x^\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{(1+\frac{1}{2})}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{x^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{2x^\frac{3}{2}}{3} $$
Множитель 3-ойка сокращается.
1 же интегрируем как x.
Решить определенный интеграл \( \int\limits^a_{-a} {(3x^2-a)} \, dx \)
Решение: найдем неопределенный интеграл. делаем замену 2х=t, dx=dt/2. интеграл J=1/2*int arccost*dt находим по частям, arccos=u, dt=dv, du=-dt/√(1-t^2), тогда J=uv-int v*du=t*arccost+int dt/√(1-t^2), в последнем интеграле делаем замену 1-t^2=y^2, dt=-y*dy/t, тогда int dt/√(1-t^2)=int dy=y+C, возвращаясь к t и x, окончательно имеем J=1/2[x*arccos2x-√(1-4x^2)]+C. пределы подставите сами/
$$ \int\limits^a_{-a} {(3x^2-a)} \, dx= \int\limits^a_{-a} {3x^2} \, dx- \int\limits^a_{-a} {a} \, dx= \\ 3 \frac{x^3}{3}|^{a}_{-a}-ax|^{a}_{-a}=(a^3-(-a)^3)-a(a-(-a))= \\ (a^3+a^3)-a*2a=2a^3-2a^2=2a^2(a-1) $$
РЕШИТЬ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ \( \int _0^2(2^{x}-2^{\frac{x}{2}})dx \)
Решение: $$ \int _0^2(2^{x}-2^{\frac{x}{2}})dx=\int _0^22^{x}dx-\int _0^22^{\frac{x}{2}}dx=\frac{2^{x}}{ln2}|_0^2-2\int _0^22^{\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2}dx=\\\\=\frac{2^2}{ln2}-\frac{2^0}{ln2}-2\int _0^22^{\frac{x}{2}}\cdot d(\frac{x}{2})=\frac{4}{ln2}-\frac{1}{ln2}-2\cdot \frac{2^{\frac{x}{2}}}{ln2}|_0^2=\\\\=\frac{3}{ln2}-2(\frac{2}{ln2}-\frac{1}{ln2})=\frac{3}{ln2}-\frac{2}{ln2}=\frac{1}{ln2}\\\\\\\int 2^{ \frac{x}{2}}\cdot d(\frac{x}{2})=\int 2^t\cdot dt=\frac{2^{t}}{ln2}+C=\frac{2^{\frac{x}{2}}}{ln2}+C $$
