определенный интеграл - страница 3
Высчитать определенный интеграл \( \int\limits^{12\sqrt{3}}_0\frac{12x^5}{{\sqrt{x^6+1}}} \, dx \)
Решение: Обозначим через u=x⁶+1 ⇒ du=6x⁵ dx ⇒ 12x⁵ dx=2 du12x⁵ dx du
∫ - = 2 ∫ - = 2 * 2√u+ C= 4√u+ C=4√(x⁶+1) +C
√(x⁶+1) √u
Когда будем вычислять определённый интеграл, надо сделать двойную подстановку от 0 до 12√3, получим:
∫. = 4√(х⁶+1) |₀ = 4( √( 12⁶ *3³+1) - √( 0⁶+1) ) = 4(√(12⁶ *27+1) - 1)
Найти определенный интеграл \( \int\limits^6_2 {(4x+1)/( \sqrt{2x-3} +7)} \, dx\\ \int\limits^{ \pi /2}_{- \pi /2} {sin(2x- \pi /4)cosx} \, dx \)
Решение: A
t=√(2x-3)+7,dt=dx/√(2x-3)
$$ \int\limits^6_2 {(4x+1)/( \sqrt{2x-3} +7)} \, dx = \int\limits {(2t^3+7t)/(t+7)} \, dt= $$
2t³+7t |t+7
2t³+14t² 2t²-14t+105
-
-14t²+7t
-14t²-98t
-
105y
105t+735
-
- 735 = $$ \int\limits {(2t^2-14t+105-735/(t+7)} \\ dt =2/3* \sqrt{(2x-3)^3} -7t^2+105t- \\ 735\ln( \sqrt{2x-3} +7)|6-2=2/3*1-7*9+105*3-735\ln10-2/3*1 \\ +7*1-105*1+735\ln8= 161 1/3+735\ln0,8 \\ sin(2x-\pi/4)*cosx=sin2x*cos\pi/4*cosx-cos2x*sin\pi/4*cosx=\\=√2/2*sin2xcosx-√2/2*cos2xcosx=√2/2*1/2*(sinx+sin3x-cosx-cos3x)=\\=√2/4*(sinx+sin3x-cosx-cos3x) \\ \int\limits^{ \pi /2}_{- \pi /2} {sin(2x- \pi /4)cosx} \, dx = \\ \sqrt{2} /4* \int\limits^{ \pi /2}_{- \pi /2} {(sinx+sin3x-cosx-cos3x)} \, dx = \\ \sqrt{2} /4(-cosx-1/3*cos3x-sinx-1/3*sin3x)| \pi /2-(- \pi /2)= \\ \sqrt{2}/4*(-0-1/3*0-1+1/3*1 +0+1/3*0+1-1/3*1)= \\ \sqrt{2} /4*(-2)=- \sqrt{2} /2 $$Помогите с определенными интегралами
\( \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _ \frac{- \pi }{4} ({ \frac{1}{ cos^{2} } -sin x}) \, dx = \)
\( \int\limits^3_1 { e^{x} } \, dx = \)
\( \int\limits^0_- {( x^{3} +2x} )\, dx = \)
\( \int\limits^{27}_8 { \frac{dx}{ \sqrt{x} } } \,= \)
Решение: 1) 2
2) e(e^2 - 1)
3) не виден нижний предел интегрирования, пусть он равен а ==> интеграл равен -1*[(а^4)/4 + a^2]
4)6*sqrt(3) - 4*sqrt(2)
Все функции табличные, интегралы берущиеся, никакого решения не требуется, смотри в таблицу, находи первообразную, подставляй пределы.2√x от 8 до 27=2√27-2√8=6√3-4√2
======================================
Найти определенный интеграл dx/(2-sqrt(1+x)), a=0; b=-3/4.
Решение: $$ \int\limits^{0}_{-0.75} { \frac{dx}{2- \sqrt{1+x}}} \ =\int\limits^{0}_{-0.75} {-2 \sqrt{1+x}* \frac{d(2-\sqrt{1+x})}{2- \sqrt{1+x}}} \ $$
Сделаем замену:
$$ 2-\sqrt{1+x}=t \\ \sqrt{1+x}=2-t \\ \int\limits^{0}_{-0.75} {-2 \sqrt{1+x}* \frac{d(2-\sqrt{1+x})}{2- \sqrt{1+x}}} =\\=\int\limits^{0}_{-0.75} {(-2*(2-t)* \frac{dt}{t})} = \\= -2*\int\limits^{0}_{-0.75} {\frac{2-t}{t}} \ dt=\\=-2*(\int\limits^{0}_{-0.75} {\frac{2}{t}} \ dt-\int\limits^{0}_{-0.75} {1} \ dt)=-2*(2ln|t|-t)=-4ln|t|+2t $$
Вернемся к замене:
$$ -4ln|2-\sqrt{1+x}|+2*(2-\sqrt{1+x})|^{0}_{-0.75}=\\=-4ln|2-\sqrt{1+0}|+2*(2-\sqrt{1+0})+4ln|2-\sqrt{1-0.75}|-2*(2-\sqrt{1-0.75}) \\ -4ln|1|+2*(2-1)+4ln|2-0.5|-2*(2-0.5)=2+4ln(1.5)-3=\\=-1+4ln(1.5)=ln(1.5^{4})-1=ln(\frac{3^{4}}{2^{4}})-1=ln(\frac{81}{16})-1 $$
найти определенный интеграл (верх. п/2; ниж.0)
cos^2*((п/6)-x)*dx
Решение: $$ \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {cos^2(\frac{\pi}{6}-x)} \, dx = \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\frac{1+sin2(\frac{\pi}{6}-x)}{2}} \, dx = \frac{1}{2} \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 \, dx + \frac{1}{2} \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {sin(\frac{\pi}{3}-2x)} \, dx = \\ = \frac{1}{2} \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 \, dx - \frac{1}{4} \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {sin(\frac{\pi}{3}-2x)} \, d(\frac{\pi}{3}-2x) = \frac{1}{2}x|^{\frac{\pi}{2}}_0 + \frac{1}{4}cos(\frac{\pi}{3}-2x)|^{\frac{\pi}{2}}_0 = \\ = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} + \frac{1}{4}cos(\frac{\pi}{3}-2\cdot\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{4}cos\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}cos(\pi-\frac{\pi}{3}) - \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2} = \\ = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}cos\frac{\pi}{3} - \frac{1}{8} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{\pi}{4} -\frac{1}{8} - \frac{1}{8} = \frac{\pi}{4} -\frac{1}{4} $$
