интеграл »
определенный интеграл - страница 3
Определенный интеграл, с решением, принципа 1∫12x3expx4dx
Решение: 1. Находим неопределенный интеграл,
данный интеграл без проблем берется "подведением под знак дифференциала"
x3dx=14dx4,∫x3exp(x4)dx=14∫exp(x4)dx4,u=x414∫exp(u)du=14exp(u)=14exp(x4)+const
2. Находим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
=14(exp(1)−exp(1424))=1/4(e−e116)
Определенный интеграл 3/2∫1/2dx3+4x2
Решение: 3/2∫1/2dx3+4x2=143/2∫1/2dx3/4+x2=143/2∫1/2dx(√3/2)2+x2=141√3/2arctgx√3/2|3/2∫1/2=√36(arctg3/2√3/2−arctg1/2√3/2)=√36(arctg√3−arctg√33)=√36(π/3−π/6)=√36∗π/6=√3π36
Решение в приложении
Найти определенный интеграл 1)∫108arctgx−x1+x2dx2)∫e1x8+lnx9+1xdx=
Решение: 1)∫108arctgx−x1+x2dx=8∫10arctgx⋅dx1+x2−12∫102xdx1+x2==[t=arctgx,u=1+x2=8⋅∫π40t⋅dt−12∫21duu=8t22|π40−12ln|u||21=4⋅π216−12(ln2−ln1)=π24−12ln22)∫e1x8+lnx9+1xdx=∫e1(x7+9lnxx+1x)dx=(x88+9ln2x2+ln|x|)|e1==e88+92+1−18Решите определенный интеграл 4∫2(x2−5x+6)dx
Решение: 4∫2(x2−5x+6)dx=x33−5∗x22+6x|42==(433−5∗422+6∗4)−(233−5∗222+6∗2)==(643−5∗162+24)−(83−5∗42+12)==(643−5∗8+24)−(83−5∗2+12)==(643−40+24)−(83−10+12)==(64−40∗3+24∗33)−(8−10∗3+12∗33)==(64−120+723)−(8−30+363)==163−143==23
Решить определенный интеграл 1)∫20(3x+3√x−√x3)dx2)∫21(1−x)3dx
Решение: 1)∫20(3x+3√x−√x3)dx=(3⋅x22+3⋅x3232−x5252)|20==(32x2+2√x3−25√x5)20=32⋅4+2√23−25√25==6+4√2−85√2=6+125√22)∫21(1−x)3dx=[t=1−x,dt=−dx,t1=1−1=0,t2=1−2=−1]==−∫−10t3dt=−t44|−10=−14((−1)4−04)=−14
Решить определенный интеграл 1∫0√1+3x2dx
Решение: ∫√1+3x2dx=∫1+3x2√1+3x2dx=∫dx√1+3x2+∫3x2√1+3x2dx=Ia)∫dx√1+3x2dx=[t=√3x,dt=√3dx]=1√3∫dt1+t2==1√3arctgt+C=1√3arctg(√3x)+Cb)∫3x⋅xdx√1+3x2=[u=x,du=dx,dv=3xdx√1+3x2,v=∫3xdx√1+3x2==(t=1+3x2,dt=6xdx)==12∫dt√t=12⋅2√t+C=√1+3x2]=x⋅√1+3x2−∫√1+3x2dx;I=∫√1+3x2dx=1√3arctg(√3x)+x⋅√1+3x2−∫√1+3x2dx⇒2∫√1+3x2dx=1√3arctg√3x+x⋅√1+3x2+2C∫√1+3x2dx=12√3arctg(√3x)+x2⋅√1+3x2+C
∫10√1+3x2dx=12√3arctg(√3x)|10+ x2⋅√1+3x2|10=
=12√3arctg√3+12√4=12√3⋅π3+1=π√318+1Тригонометрическая постановка
x=tgt/√3, тогда 1+x²=1+tg²t=1/cos²t
dx=dt/√3cos²t
если х=0 tgt=0 t=0
если x=1, значит tgt=√3, t=π/3
1∫0√1+3x2dx=π3∫01√3cos3xdx=[1=cos2x+sin2x]=π3∫0cos2x+sin2x√3cos3xdxπ3∫0cos2x√3cos3xdx+π3∫0sin2x√3cos3xdx=π3∫01√3cosxdx+π3∫0sin2xcosx√3cos4xdx==π3∫01√3cosxdx+π3∫0sin2xd(sinx)√3(1−sin2x)2dx
Первый интеграл- есть в таблице, второй интеграл от дроби.
Или по формуле интегрирования по частям:
u=√(1+3x²); dv=dx
Решить определенный интеграл π4∫0x⋅sinxcos3xdx
Решение: π4∫0x⋅sinxcos3xdx=[u=x,du=dx,dv=sinxdxcos3x,v=∫sinxdxcos3x=[t=cosx,dt=−sinxdx]==−∫t−3dt=−t−2−2=12cos2x]=uv−∫vdu==x2cos2x|π40−∫π40dx2cos2x=π42cos2π4−12⋅tgx|π40=
=π8⋅12−12tgπ4= π4−12решить определенный интеграл 4∫1(3√x+1)dx
Решение: 4∫1(3√x+1)dx=2∗3x323+x=22√x3+x==(2∗2√43+4)−(2∗2√13+1)=(2∗8+4)−(2∗1+1)==20−3=17Объясняю: корень из x - это x в степени 1/2, интегрируем по формуле x^n. т. е.
∫√xdx=∫x12dx=x(1+12)1+12=x3232=2x323
Множитель 3-ойка сокращается.
1 же интегрируем как x.
Решить определенный интеграл a∫−a(3x2−a)dx
Решение: найдем неопределенный интеграл. делаем замену 2х=t, dx=dt/2. интеграл J=1/2*int arccost*dt находим по частям, arccos=u, dt=dv, du=-dt/√(1-t^2), тогда J=uv-int v*du=t*arccost+int dt/√(1-t^2), в последнем интеграле делаем замену 1-t^2=y^2, dt=-y*dy/t, тогда int dt/√(1-t^2)=int dy=y+C, возвращаясь к t и x, окончательно имеем J=1/2[x*arccos2x-√(1-4x^2)]+C. пределы подставите сами/
a∫−a(3x2−a)dx=a∫−a3x2dx−a∫−aadx=3x33|a−a−ax|a−a=(a3−(−a)3)−a(a−(−a))=(a3+a3)−a∗2a=2a3−2a2=2a2(a−1)
РЕШИТЬ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ∫20(2x−2x2)dx
Решение: ∫20(2x−2x2)dx=∫202xdx−∫202x2dx=2xln2|20−2∫202x2⋅12dx==22ln2−20ln2−2∫202x2⋅d(x2)=4ln2−1ln2−2⋅2x2ln2|20==3ln2−2(2ln2−1ln2)=3ln2−2ln2=1ln2∫2x2⋅d(x2)=∫2t⋅dt=2tln2+C=2x2ln2+C