неопределенный интеграл - страница 19
Решить неопределенный интеграл \( \int(x\sqrt x - \frac{1}{\sqrt{x^3}} +1)dx \)
Решение: Переводим степени в простые дроби:
$$ \int(x^\frac{3}{2}-x^{-\frac{1}{3}}+1)dx $$
Используем линейность интегралов
$$ \int x^\frac{3}{2}dx-\int x^{-\frac{1}{3}}dx+\int dx $$
Каждый из них - мгновенный интеграл, находим первородные и добавляем свободный коеффициент
$$ F(x)=\frac{2}{5}\sqrt{x^5}-\frac{3}{2} \sqrt[3]{x^2}+x+Const $$
Вычислить неопределенный интеграл: 1) ((arccos(2x))^(2))/(sqrt(1-4x^(2)))
2) (2x+1)/((x-2)(x^(2)+9))
Решение: Исправленное решение во вложении
проверил численным интегрированием
1)arccos2x=t⇒dt=2dx/$$ \sqrt{1-4x^2} $$⇒
$$ \int\limits {arccos^22x/ \sqrt{1-4x^2} } \\ dx =1/2 \int\limits{t^2} \, dt =t^3/6=[tex]-1/6arccos^32x + C $$
2)(2x+1)/(x²+9)(x-2)=(AX+B)/(X²+9) + C/(x-2)
AX²-2AX+Bx-2B+Cx²+9C=2x+1
(A+C)x²=0⇒A+C=0⇒C=-A
(B-2A)x=2⇒B-2A=2⇒B=2A+2
9C-2B=1⇒-9A-4A-4=1⇒-13A=5⇒A=-5/13⇒C=5/13⇒B=2-10/13=16/13
(2x+1)/(x²+9)(x-2)= (-5/13x+16/13)/(x²+9)+(5/13)/(x-2)= -5x/13(x²+9) +16/13(x²+9)+5/13(x-2)
$$ \int\limits {(2x+1)/(x^2+9)(x-2)} \, dx=\\=-5/13 \int\limits {x/(x^2+9)} \, dx + \ 16/13 \int\limits {1/(x^2+9)} \, dx +5/13 \int\limits {1/(x-2)} \\ dx = \ -5/26ln/x^2+9/+16/39arctg(x/3)+5/13ln/x-2/+C $$
1)$$ -5/13 \int\limits {x/(x^2+9)} \, dx =-5/26 \int\limits {1/t} \, dt =-5/26lnt=-5/26ln(x^2+9) $$
x²+9=t⇒dt=2xdx⇒xdx=dt/2
2)$$ 16/13 \int\limits {1/(x^2+9)} \, dx =16/117 \int\limits {1/[(x/3)^2+1]} \, dx =16/39arctg(x/3) $$
3)$$ 5/13 \int\limits {x/1/(x-2)} \, dx =5/13*ln/x-2/ $$
Неопределенный интеграл \(\int{(2^{x+3}} + \frac{3}{ \sqrt{1-x^{2}} }) \, dx \)
Решение: $$ \int{(2^{x+3}} + \frac{3}{ \sqrt{1-x^{2}} }) \, dx =\int{2^{x+3}}\,dx+\int{ \frac{3}{ \sqrt{1-x^2} } }\,dx=(1)\int{2^{x+3}}\,d(x+3)+\\ +(2) \frac{3}{2} ln| \frac{1+x}{1-x} |=(3) \frac{ 2^{x+3} }{ln2} + \frac{3}{2} ln| \frac{1+x}{1-x} |+C $$, где C=const.
1. Подводим функцию под знак дифференциала.
2. Выносим 3 за интеграл, пользуемся табличной формулой "высокого логарифма"
3. Пользуемся табличной формулой интегрирования показательной функции.Неопределенный интеграл ∫sin4xcos2xdx=
Решение: ∫sin4xcos2xdx=
по формуле произведения тригонометрических функций sinα на cosβ можно расписать интеграл как
∫1/2*(sin(4x-2x)+sin(4x+2x))dx=1/2∫(sin2x+sin(6x))dx=
или, используя свойства интеграла:
=1/2∫sin2xdx+1/2∫sin6xdx=
далее вводим замены:
t=2x, тогда dt=2dx dx=dt/2
k=6x, тогда dk=6dx dx=dk/6
=1/2∫1/2sin(t)dt+1/2∫1/6sin(k)dk=1/4(-cost)+1/12(-cos(k)=-1/4cos2x-1/12cos6x
Неопределенный интеграл \(\int\frac{dx}{4sinx+3cosx+5} \)
Решение: Применим универсальную тригонометрическую подстановку
$$ t=tg(\frac{x}{2}); \ \ arctg \, t=\frac{x}{2}; \ \ 2arctg \, t=x; \ \ \ \frac{2}{1+t^2} \, dt=dx; \\ \\ \sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}, \ \ \cos{x}=\frac{1-t^2}{1+t^2} \\ \\ \int {\frac{1}{\frac{8t+3-3t^2}{1+t^2}+5}} \cdot \frac{2}{1+t^2} \, dt=\\=2\int {\frac{dt}{8t +3 -3t^2 +5+5t^2}}=\\=2\int {\frac{dt}{2t^2 + 8t +8}}=\int {\frac{dt}{t^2 + 4t +4}}= \\ \\ = \int {\frac{dt}{(t+2)^2}} = -\frac{1}{t+2}+C=-\frac{1}{tg (\frac{x}{2})+2}+C $$
Смотри приложенный файл
