интеграл »

неопределенный интеграл - страница 20

  • Найдите неопределенные интегралы. результат проверить дифференцированием. \(\int{\sqrt{(2-x^2)^3}x}\, dx=\\ \int arctg(\sqrt{x}) \ dx =\\ arctg({\sqrt{x}}) + (x+1)*\frac{1}{2\sqrt{x}}\frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2}- \frac{1}{2\sqrt{x}}\\ \int \sqrt{(2 - x^2)^3} x dx\\\int \frac{6x - 7}{3x^2 - 7x + 11} \ dx \)


    Решение: $$ \int{\sqrt{(2-x^2)^3}x}\, dx=\frac12\int{\sqrt{(2-x^2)^3}}\, dx^2=\frac15(2-x^2)^{\frac52} $$

    Проверка:

    $$ \frac{d(\frac25(2-x^2)^{\frac52})}{dx^2}=\frac12*\frac25*\frac52*(2-x^2)^{\frac32}*2=\\=(2-x^2)^{\frac32} $$

    $$ 112_c \ \int arctg(\sqrt{x}) \ dx = [\sqrt{x} = t, \ \frac{1}{2\sqrt{x}}dx = dt ] = \int 2t \ arctg(t) \ dt =\\\\t^2arctg(t) - \int t^2\frac{1}{1+t^2} \ dt = t^2arctg(t) - \int \frac{1 + t^2 - 1}{1 + t^2} \ dt =\\\\ t^2arctg(t) - \int 1 - \frac{1}{1 + t^2} \ dt = t^2arctg(t) - t + arctg(t) + C =\\\\ xarctg(\sqrt{x}) - \sqrt{x} + arctg(\sqrt{x}) + C = (x+1)arctg({\sqrt{x}}) - \sqrt{x} + C $$

    Проверка:

    $$ ((x+1)arctg({\sqrt{x}}) - \sqrt{x} + C)’ = ((x+1)arctg({\sqrt{x}}))’ - \frac{1}{2\sqrt{x}} =\\\\ (x+1)’*arctg({\sqrt{x}}) + (x+1)*(arctg({\sqrt{x}}))’ - \frac{1}{2\sqrt{x}} =\\\\ arctg({\sqrt{x}}) + (x+1)*(\sqrt{x})’\frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \\ arctg({\sqrt{x}}) + (x+1)*\frac{1}{2\sqrt{x}}\frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2}- \frac{1}{2\sqrt{x}}=\\\\ arctg({\sqrt{x}}) + \frac{x + 1}{2\sqrt{x}(1 + x)} - \frac{1}{2\sqrt{x}} =\\\\ arctg({\sqrt{x}}) + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \boxed{ arctg({\sqrt{x}})} \\ 112_a \ \int \sqrt{(2 - x^2)^3} x dx = [2 - x^2 = t,2xdx = dt] = -\int \frac{\sqrt{t^3}}{2} \ dt =\\\\ -\int \frac{t^{\frac{3}{2}}}{2} \ dt = -\frac{1}{5}t^{\frac{5}{2}} + C = -\frac{1}{5}(2 - x^2)^{\frac{5}{2}} + C =-\frac{1}{5}\sqrt{(2 - x^2)^5} + C $$

    Проверка:

    $$ (-\frac{1}{5}\sqrt{(2 - x^2)^5} + C)’ = -\frac{(2 -x^2)’}{5}\frac{5}{2}\sqrt{(2-x^2)^3} = \frac{2x}{5}\frac{5}{2}\sqrt{(2-x^2)^3} =\\\\ \boxed{ x\sqrt{(2-x^2)^3} } \\ 112_b \ \int \frac{6x - 7}{3x^2 - 7x + 11} \ dx = [3x^2 - 7x + 11 = t,(6x - 7)dx = dt] =\\\\ \int \frac{1}{t} \ dt = ln(t) + C = ln(3x^2 - 7x + 11) + C $$

    Проверка:

    $$ (ln(3x^2 - 7x + 11) + C)’ = (3x^2 - 7x + 11)’*\frac{1}{3x^2 - 7x + 11} =\\\\ \boxed{ \frac{6x - 7}{3x^2 - 7x + 11} } $$

  • Решите неопределенные интегралы: \( 1)\; \int \frac{sin^4x}{cos^2x}dx\\ 2)\; \int \frac{dx}{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[4]{x}} \)


    Решение: $$ 1)\; \int \frac{sin^4x}{cos^2x}dx=\int \frac{sin^2x\cdot sin^2x}{cos^2x}dx=\int tg^2x\cdot sin^2x\, dx=\\\\=\int tg^2x\cdot (1-cos^2x)dx=\int tg^2x\, dx-\int tg^2x\cdot cos^2x\, dx=\int \frac{sin^2x}{cos^2x}dx-\\\\-\int \frac{sin^2x}{cos^2x}\cdot cos^2x\, dx=\int \frac{1-cos^2x}{cos^2x}dx-\int sin^2x\, dx=\int \frac{dx}{cos^2x}-\int dx-\\\\-\int \frac{1-cos2x}{2}dx=tgx-x-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}sin2x)+C \\ 2)\; \int \frac{dx}{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[4]{x}}=[\, x=t^{12},\, dx=12t^{11}dt,\; \sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{t^{12}}=t^4,\, \sqrt[4]{x}=t^3\, ]=\\\\=\int \frac{12\cdot t^{11}\, dt}{t^4+2t^3}=12\int \frac{t^3\cdot t^8}{t^3(t+2)}dt=12\int \frac{t^8}{t+2}dt=\\\\=12\int (t^7-2t^6+4t^5-8t^4+16t^3-32t^2+64t-128-\frac{256}{t+2})dt=\\\\=12(\frac{t^8}{8}-\frac{2t^7}{7}+\frac{2t^6}{3}-\frac{8t^5}{5}+4t^4-\frac{32t^3}{3}+32t^2-128t-\\\\-256\cdot ln|t+2|+C,\; \; gde\; \; t=\sqrt[12]{x} $$

  • Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием. 1) ∫xdx/7+x^2

    2) ∫(x+18dx)/x^2-4x-12

    3) ∫(3-x)cosxdx


    Решение: x dx 1 2x dx 1 d(7+x²) 1

      ∫ -= - ∫- =- ∫ - =- ln(7+x²)+C

      7+x² 2  7+x² 2 7+x² 2

     

    [1/2 *ln(7+x²)+C ]¹= 1/2*[ 2x /(7+x²)+0]= x /(7+x²)

      x+18 (x-2)+20 1 2(x-2) dx

     2) ∫-dx=∫ - dx= - ∫- dx+20 ∫ - =

      x²-4x-12 (x-2)²-16 2 (x-2)²-16 (x-2)²-16

      1 1 |  x-2-4 | 1 5 | x-6 |

    =- *ln|(x-2)²-16|+20 *- *ln |-| +C= - *ln |x²-4x-12|+-*ln |-| +C

      2 2*8 |  x-2+4 | 2  4 | x+2 |

     

    3) ∫(3-x) cosx dx=[ u=3-x, du=-dx, dv=cosx dx, v=sinx ] =(3-x)sinx+∫ sinx dx=

      =(3-x)sinx-cosx+C

      [(3-x)sinx-cosx]¹= -sinx+(3-x)cosx+sinx +0=(3-x)cosx

  • Вычислить неопределенный интеграл \( \int\frac{x-3x^2+5}{x^2}dx \)


    Решение: Решение:
    Представим подынтегральную функцию как сумма (или разность) дробей, предварительно применив свойство линейности интеграла:
    $$ \int (\frac{x}{x^2} - \frac{3x^2}{x^2} + \frac{5}{x^2})\, dx = \\ = \int \frac{dx}{x} - \int 3 \, dx + 5\int \frac{dx}{x^2} = \ln |x| - 3x - \frac{5}{x} + C $$
    P.S. перед тем, как мы получили три интеграла, каждую дробь мы поделили на x, x² и 1 соответственно.

    $$ \int\limits {1/x-3+5/x^2} \, dx =ln|x|-3x-5/x+C $$