интеграл »
решить интеграл
решить интегралы: \( \int x\sqrt{x^2-5} dx \\ \int \frac{x}{\sqrt{1-5x^25}} dx \)
Решение: $$ \int x\sqrt{x^2-5} dx=\frac{1}{2}\int \sqrt{x^2-5} (2x)dx=\\\\ \frac{1}{2}\int \sqrt{x^2-5} (x^2)’_xdx= \frac{1}{2}\int \sqrt{x^2-5} d (x^2)=\\\\ \frac{1}{2}\int \sqrt{x^2-5} d(x^2-5)=|x^2-5=u|= \frac{1}{2}\int \sqrt{u} du=\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}du=\\\\ \frac{1}{2}*\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C=\frac{1}{2}*\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}+C=\\\\ \frac{1}{3}u\sqrt u +C=\frac{1}{3}(x^2-5)\sqrt{x^2-5}+C $$C є R
$$ \int \frac{x}{\sqrt{1-5x^25}} dx=\\\\ \frac{1}{2} \int \frac{2x dx}{\sqrt{1-5x^2}}=\\\\ \frac{1}{2} \int \frac{(x^2)’_xdx}{\sqrt{1-5x^2}}=\\\\ \frac{1}{2} \int (1-5x^2)^{-\frac{1}{2}} d (x^2)=\\\\ \frac{1}{2}*\frac{-1}{5} \int (1-5x^2)^{-\frac{1}{2}} d (-5x^2)=\\\\ \frac{-1}{10}*\int (1-5x^2)^{-\frac{1}{2}} d (-5x^2)=\\\\ \frac{-1}{10}*\int (1-5x^2)^{-\frac{1}{2}} d (1-5x^2)=\\\\ =|1-5x^2=t|=\\\\ \frac{-1}{10} \int u^{-\frac{1}{2}} du=\\\\ \\ -\frac{1}{10}*\frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=\\\\ -\frac{1}{10}*2u^{\frac{1}{2}}+C=-\frac{1}{5}\sqrt{u}+C=\\\\ -\frac{1}{5}\sqrt{1-5t^2}+C $$
C є R
Нужно решить интегралы
1) интеграл dx/корень из х^3-3
7) интеграл х^2dx/корень из х^2+4
10) интеграл ln x dx
Решение: Решение: интеграл dx/(1+(кубический корень)(1+x)) =(1+x=t^3; dx=3*(t^2)*dt)=интеграл (3*t-3+3/(1+t))*dt=1,5*t^2-3*t+3*Ln(1+t)+C;
интеграл dx/(1+(кубический корень)(1+x)) =1,5*(1+x)^(2/3)-3*(1+x)^(1/3)+3*Ln(1+(1+x)^(1/3))+C.∫√(1-x²)dx=
тригонометрическая подстановка
x=sint => dx=costdt
=∫√(1-sin²t)•costdt=∫cos²tdt=½•∫(1+cos2t)dt=t/2+¼•sin2t+C=
=½•arcsinx+¼•sin(2arcsinx)+C=½•arcsinx+½•sin(arcsinx)•cos(arcsinx)+C=
=½•arcsinx+½•x•cos(arccos√(1-x²))+C=½•(arcsinx+x•√(1-x²)+C)
Можно сделать по частям.
∫√(1-x²)dx=
u=√(1-x²) => du=-xdx/√(1-x²);
dv=dx => v=x
=x•√(1-x²)+∫x²dx/√(1-x²)=x•√(1-x²)-∫(1-x²-1)dx/√(1-x²)=
=x•√(1-x²)-∫√(1-x²)dx+∫dx/√(1-x²) => 2∫√(1-x²)dx= x•√(1-x²)+arcsinx+C =>
∫√(1-x²)dx= ½•(x•√(1-x²)+arcsinx)+C∫ln(x)dx/x=
t=lnx => dt=dx/x
=∫tdt=t²/2+C=½•ln²x+C.1) решить интеграл \( \int\limits^2_{-1} {(1+x^3)} \, dx \)
2) найти производную
У=х²cosx
Y=3x\tgx
Решение: $$ f(x)=x^2\cdot Cosx \\ f’(x)=(x^2)’\cdot Cosx+x^2\cdot (Cosx)’=2xCosx+x^2(-Sinx) \\ f’(x)=2xCosx-x^2Sinx \\ \\ f(x)=\frac{3x}{tgx} \\ f’(x)=\frac{(3x)’\cdot tgx-3x\cdot (tgx)’}{tg^2x}=\frac{3tgx-\frac{3x}{Cos^2x}}{tg^2x} \\ \frac{3tgx-\frac{3x}{Cos^2x}}{tg^2x}=\frac{3tgx\cdot Cos^2x-3x}{tg^2x\cdot Cos^2x}=\frac{3Sinx\cdot Cosx-3x}{Sin^2x} \\ f’(x)=\frac{3Sinx\cdot Cosx-3x}{Sin^2x} \\ \\ \int\limits^2_{-1} {(1+x^3)} \, dx= \int\limits^2_{-1} {1} \, dx + \int\limits^2_{-1} {x^3} \, dx \\ \\ \int\limits^2_{-1} {} \, dx =x\mid^2_{-1}=2-(-1)=3 \\ \int\limits^2_{-1} {x^3} \, dx =\frac{x^4}{4} \mid^2_{-1}=\frac{2^4}{4}-\frac{(-1)^4}{4}=4-\frac{1}{4}\\ \int\limits^2_{-1} {(1+x^3)} \, dx =3+4-\frac{1}{4} $$
Решить интегралы: 1. \( \int\limits \frac{ln^3x}{x} dx \)
2. \( \int\limits \ x^{2} cos4xdx \)
Решение:
1) $$ \int { \frac{ln ^{3}x }{x} }dx = \int { {ln ^{3}x } }d (lnx)= { \frac{ln ^{4}x }{4} }+C $$
2) $$ \int { x^{2} cos4x}dx =$$
интегрируем по частям
$$U=x² dV=cos4xdx
dU=2xdx V=1/4sin4x =\\ = \frac{x^{2} }{4}sin4x-1/4 \int2{x}*sin4x dx=\frac{x^{2} }{4}sin4x-1/2\int{x}*sin4x \, dx =\\=U=x dV=sin4xdx \\ dU=dx V=-1/4cos4x
= x^{2}/4sin4x+x/4cos4x-1/4 \int{cos4x} \\ dx =x^{2}/4sin4x+x/4cos4x-1/16 sin4x +C$$Решить интеграл
dx/(3+sqrt(x+5))
Решение: Решаем интеграл:
$$ \int \frac{1}{3+\sqrt{x+5}}dx $$
Сделаем замену:
$$ u=x+5:\quad \quad du=1dx,\:\quad \:dx=1du $$
Получаем:
$$ =\int \frac{1}{3+\sqrt{u}}1du=\int \frac{1}{\sqrt{u}+3}du $$
Сделаем ещё одну замену:
$$ v=\sqrt{u}:\quad \quad dv=\frac{1}{2\sqrt{u}}du\quad \:dv=\frac{1}{2v}du,\:\quad \:du=2vdv $$
Получаем:
$$ =\int \frac{1}{v+3}2vdv=\int \:2-\frac{6}{v+3}dv=\int \:2dv-\int \frac{6}{v+3}dv $$
Решая два интеграла, находим:
$$ =2v-6\ln \left(v+3\right) $$
Делаем обратную замену:
$$ \:v=\sqrt{u},\:u=x+5 $$
Получаем окончательный ответ:
$$ =2\sqrt{x+5}-6\ln \left(\sqrt{x+5}+3\right)+C $$
Решить интеграл (с подробным решением )
(3x^2-4x-1)dx
Решение: 1) dx(3x2−4x−1)
2) dx×3x2+dx×−4x−dx
3) 3dxx2+dx×−4x−dx
4) 3dx1+2+dx×−4x−dx
5) 3dx3+dx×−4x−dx
6) 3dx3+−dx×4x−dx
7) 3dx3−dx2×4−dx
8) 3dx3−4dx2−dx
Решение интеграла на фото
Решить интеграл\( \int\limits { \frac{1}{ \sqrt[3]{x}+ \sqrt[4]{x} } } \, dx \)
Решение: $$ \int\limits{ \frac{1}{ \sqrt[4]{x}+ \sqrt[3]{x} } } \, dx = \int\limits { \frac{12 t^{11} }{ t^{4}+ t^{3} } } \, dx = \int\limits { \frac{12 t^{8} }{ t+ 1 } } \, dx= \\ 12\int\limits { \frac{ (t^{7}- t^{6}+ t^{5} -t^{4} + t^{3} - t^{2} +t-1)(t+1) +1 }{t+1} } \, dx = \\ 12\int\limits{ t^{7}- t^{6}+ t^{5} -t^{4} + t^{3} - t^{2} +t-1 + \frac{1}{t+1} } \, dx = \\ 12( \frac{1}{8} t^{8}- \frac{1}{7} t^{7}+ \frac{1}{6} t^{6} - \frac{1}{5} t^{5} + \frac{1}{4} t^{4} - \frac{1}{3} t^{3} + \frac{1}{2} t^{2} -t + ln(t+1))= \\ 12(\frac{1}{8} x^{ \frac{2}{3} }- \frac{1}{7} x^{ \frac{7}{12} }+ \frac{1}{6} x^{ \frac{1}{2} } - \frac{1}{5} x^{ \frac{5}{12} } + \frac{1}{4} x^{ \frac{1}{3} }{4} + \frac{1}{2} x^{ \frac{1}{6} } - \\ x^{ \frac{1}{12} } +ln(x^{ \frac{1}{12} } +1))= $$
$$ \frac{3}{2} x^{ \frac{2}{3} }- \frac{12}{7} x^{ \frac{7}{12} }+2x^{ \frac{1}{2} } - \frac{12}{5} x^{ \frac{5}{12} } +3 x^{ \frac{1}{3} } - 4 x^{ \frac{1}{4}} + 6 x^{ \frac{1}{6} } - 12 x^{ \frac{1}{12} } + \\ 12ln( x^{ \frac{1}{12} } +1) $$
Решить интеграл
\( 1) \int\limits \frac{dx}{5+9x} \\ \\2) \int\limits ( \sqrt[4]{x}- \frac{2}{ \sqrt[3]{x} }+ x^{4} )dx \\ \\ 3)\int\limits xsin( x^{2} +1)dx \\ \\ 4)\int\limits(3x-8)*sinxdx \\ \\ 5)\int\limits \frac{5x+1}{ x^{2} +7}dx \\ \\ 6)\int\limits x^{2} *sinx \)
Решение: 1)$$ \frac{1}{9} \int\limits { \frac{d(9x+5)}{9x+5} }= \frac{1}{9}ln|9x+5|+C $$
2)$$ \int\limits ({x^{1/4}-2x^{-1/3}+x^4}) \, dx = \frac{x^{(5/4)}}{5/4}- \frac{2x^{(2/3)}}{2/3}+ \frac{x^5}{5}+C $$
3)$$ \frac{1}{2} \int\limits {sin(x^2+1)} \, d(x^2+1)= -cos( x^{2} +1)+C $$
5)$$ \int\limits { \frac{5x}{ x^{2} +7} } \, dx + \int\limits { \frac{dx}{ x^{2} +7} } = \frac{5}{2}ln( x^{2} +7)+ \frac{1}{ \sqrt{7} }arctg \frac{x}{ \sqrt{7} }+C $$
6) по частям: u=x² du=2xdx
dv=sinx v=-cosx
$$ - x^{2} cosx+2 \int\limits {xcosx} \, dx = $$
u=x du=dx
dv=cosx v=sinx
=$$ - x^{2} cosx+xsinx- \int\limits {sinx} \, dx =-x^2cosx+xsinx+cosx+C $$
4)$$ \int\limits {3xsinx} \, dx - \int\limits {8sinx} \, dx =-3xcosx+3 \int\limits {cosx} \, dx +8cosx= $$
=$$ -3xcosx+3sinx+8cosx+C $$Нужно решить интеграл sin(4x)/2sin^2(x)-2+2cos(3x)cos(x) по Dx.
Решение: $$ \int ( \frac{sin4x}{2sin^2x-2} +2cos3x\cdot cosx)dx=\\\\=\int ( \frac{2sin2x\cdot cos2x}{-2(1-sin^2x)} +2\cdot \frac{1}{2}(cos(3x+x)+cos(3x-x))dx=\\\\=\int ( \frac{4sinx\cdot cosx\cdot (2cos^2x-1)}{-2cos^2x} +cos4x+cox2x)dx=\\\\=\int (-4sinx\cdot cosx+2\cdot \frac{sinx}{cosx}+cos4x+cos2x)dx=\\\\=-4\int sinx\cdot d(sinx)+2\int \frac{-d(cosx)}{cosx} +\int cos4x\, dx+\int cos2x\, dx=\\\\=-4\cdot \frac{sin^2x}{2}-2ln|cosx|+\frac{1}{4}sin4x+\frac{1}{2}sin2x+C \\ P.S.\quad d(sinx)=(sinx)’dx=cosx\, dx \\ d(cosx)=(cosx)’dx=-sinx*dx\\\\ \int\limits {cos(ax+b)} \, dx =\frac{1}{a}sin(ax+b)+C $$
Интегал x^4-3x^3+4x^2+6x-8/x^2
Решение: $$ \int\limits { x^4 dx } - 3\int\limits {x^3 dx} + 4\int\limits {x^2 dx} + 6 \int\limits { x dx } - 8 \int\limits {x^{-2} dx} = $$ $$ \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{4} + \frac{4x^3}{3} + \frac{6x^2}{2} - \frac{8 x^{-1} }{(-1)} = \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{4} + \frac{4x^3}{3} +3x^2 + \frac{8}{x} $$
1. Применяем правило $$ \int\limits (u+v)dx = \int\limits udx + \int\limits vdx $$ (работает для + и -)
2. Выносим константы за знак интеграла
3. Решаем интегралы ( все табличные ).$$ \frac{1}{x^2} $$ можно (нужно) представить как $$ x^{-2} $$
4. Упрощаем, получаем ответ
