интеграл »
решить интеграл - страница 3
Решить интеграл \(\int\sqrt{(a^2-x^2)}dx \)
Решение: интеграл суммы есть сумма интегралов.интеграл a^2dx+интеграл-x^2dx
Проинтегрировали константу:
a^2x+интеграл-x^2dx
Вынесли константу из-под знака интеграла
a^2x-интегралx^2dx
Проинтегрировали степенную функцию:
a^2x-1/3x^3
Записываем финальный ответ:
знак интеграла a^2-x^2dx=a^2x-1/3x^3+const
Нужно решить интеграл простой.
Здесь а=-1, b=-4 \( \int\limits^a_b {(-4-5x- x^{2} )} \, dx \)
Решение: Для начала найдём первообразную этой функции
$$ \int\limits{-x^{2}-5x-4} \, dx =- \int\limits {x^{2}+5x+4} \, dx =-\frac{x^{3}}{3}-5\frac{x^{2}}{2}-4x $$
По формуле Ньютона-Лейбница найдём значение соответствующего интеграла:
$$ F(a)-F(b) \\ [-\frac{(-1)^{3}}{3}-5\frac{(-1)^{2}}{2}-4(-1)]-[-\frac{(-4)^{3}}{3}-5\frac{(-4)^{2}}{2}-4(-4)]= \\ \frac{1}{3}-\frac{5}{2}+4-\frac{64}{3}+40-16=-21-2,5+4+40-16=4,5 $$
1) \(\int\limits_1^4(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}) dx \\ 2) \int\limits_1^9\frac{x-1}{\sqrt{x}}dx \)
Решение: $$ \frac{x-1}{ \sqrt{x} }= \frac{x}{ \sqrt{x} } - \frac{1}{ \sqrt{x} } = \sqrt{x} - \frac{1}{ \sqrt{x} } \\ \int\limits^4_1 {( \sqrt{x} }- \frac{1}{ \sqrt{x} }) \, dx =( \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} }-2 \sqrt{x} )|_{1}^{4}= \\ ( \frac{2}{3} 4^{ \frac{3}{2} }-2 \sqrt{4} ) -( \frac{2}{3} 1^{ \frac{3}{2} }-2 \sqrt{1}) = \frac{16}{3} -4-1+2=2 \frac{1}{3} \\ \int\limits^9_1 {( \sqrt{x} }- \frac{1}{ \sqrt{x} }) \, dx =( \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} }-2 \sqrt{x} )|_{1}^{9}= \\ \\ ( \frac{2}{3} 9^{ \frac{3}{2} }-2 \sqrt{9} )-( \frac{2}{3} 1^{ \frac{3}{2} }-2 \sqrt{1} )=(18-6)-(1-2)=12-1+2=13 \\ $$
решить интеграл 1/3 интеграл (d(1+x^3))/(1+x^3)
Решение: 1/3 интеграл (d(1+x^3))/(1+x^3)=1/3ln модуль(1+x^3)+cЗанесем х^2 из числиться под знак дифференциала. после этого нам нужно компенсировать то что получится от взятия дифференциала от х^3, это 3х^2dx. Значит нам не хватает 1/3. Получим:
интеграл((dx^3)/(x^3+1))
теперь прибавим 1 под знаком дифференциала:
интеграл((d(x^3+1))/(x^3+1))
теперь посчитаем:
ln(x^3+1)+C
что непонятно спрашивай в личкунужно решить интеграл cos7x*sin8x
Решение: Перепишем выражение
$$ cos(7x)sin(8x)= \frac{1}{2}sin(15x)+ \frac{1}{2}sin(x) \\ \int\limits \frac{1}{2}sin(15x)+ \frac{1}{2}sin(x) \, dx $$
интеграл суммы есть сумма интегралов
$$ \int\limits \frac{1}{2}sin {15x}\,dx+ \int\limits \frac{1}{2} sin{x} \, dx $$
в первом и во втором интегралах вынесем константы за знак интеграла
$$ \frac{1}{2} \int\limits sin {15x} \, dx + \frac{1}{2} \int\limits sin{x} \, dx $$
в первом интеграле произведем замену переменной u=15x
$$ \frac{1}{2} \int\limits \frac{1}{15}sin {u} \, du + \frac{1}{2} \int\limits sin{x} \, dx $$
проинтегрируем первый синус
$$ - \frac{1}{30}cos(u)+ \frac{1}{2} \int\limits {sin x} \, dx $$
проведем обратную замену переменной
$$ - \frac{1}{30}cos(15x)+ \frac{1}{2} \int\limits sin{x} \, dx $$
и проинтегрируем второй синус
$$ - \frac{1}{30}cos(15x)- \frac{1}{2}cos(x) $$
вычислить интеграл: Как решить интеграл: cosx/(6-5sinx)^5dx?
Решение: Запиши дробь степенью. Получится(6-5sinx)^(-5) *cosx dx.
Дифференциал от основания степени будет -5cosx dx. Перед интегралом выставляем -1/5, а к cosxdx добавляем (-5). Остальное в файле.
Нужно решить интеграл Int e^(4x)*cos xdx
Решение: Надо интегрировать два раза частями, чтоб получить в правой части тот же интеграл, что в начале + функцию
Интегрируем 1 раз
u - e^(4x)
dv - cosx
\e^(4x)*cosx dx= [v=sinx]=e^(4x)*sinx-\sinx d(e^(4x))===
Интегрируем 2 раз
\sinx d(e^(4x))=4\sinx e^(4x)dx= [v=-cosx]=4(-e^(4x)cosx + \cosxd(e^(4x)))=
u - e^(4x)
dv - sinx
=4(-e^(4x)cosx +4\cosx e^(4x) dx)
===e^(4x)*sinx+ 4e^(4x)cosx - 16\cosx e^(4x) dx
имеем
\e^(4x)*cosx dx = e^(4x)*sinx+4e^(4x)cosx- 16\cosx e^(4x) dx
или
17\e^(4x)*cosx dx=e^(4x)*sinx+4e^(4x)cosx
\e^(4x)*cosx dx=(e^(4x)*sinx+4e^(4x)cosx)/17+C
Решить интеграл методом подстановки (неопределенный интеграл). 1) интеграл lnxdx/x(sqrt1+lnx) 2) интеграл sinxcos^3xdx/1+cos^2x
Решение: $$ 1)\; \int \frac{lnx\cdot dx}{x\cdot \sqrt{1+lnx}}=\int \frac{lnx\cdot \frac{dx}{x}}{\sqrt{1+lnx}}=[\ t=lnx,\; dt=\frac{dx}{x}\, ]=\\\\=\int \frac{t\cdot dt}{\sqrt{1+t}}=[\, z=\sqrt{1+t},\; z^2=1+t,\, t=z^2-1,\, dt=2z\, dz\, ]=\\\\=\int \frac{(z^2-1)\cdot 2z\, dz}{z}=2\int (z^2-1)\, dz=2(\frac{z^3}{3}-z)+C=\\\\=\frac{2}{3}\sqrt{(1+lnx)^3}-2\sqrt{1+lnx}+C \\ 2)\; \int \frac{sinx\cdot cos^3x\, dx}{1+cos^2x}=[\, t=cosx,\, dt=-sinx\, dx\, ]=\\\\=-\int \frac{t^3\cdot dt}{1+t^2}=-\int (t-\frac{t}{1+t^2})\, dt=-\int t\, dt+\frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{1+t^2}=\\\\=-\frac{t^2}{2}+\frac{1}{2}\int \frac{d(1+t^2)}{1+t^2}=-\frac{cos^2x}{2}+\frac{1}{2}ln|1+t^2|+C=\\\\=-\frac{cos^2x}{2}+\frac{1}{2}ln(1+cos^2x)+C $$Решить интегралы:
1)a=pi; b= -pi
\( \int\limits^a_b {x*cosnx} \, dx \)
\( \int\limits^a_b {cosnx} \, dx \)
Решение: $$ 2)\quad \int _{-\pi }^{\pi }\, cos\, nx\cdot dx=\frac{1}{n}\cdot sin\, nx\, |_{-\pi }^{\pi }=\frac{1}{n}\cdot (sin\pi n-\underbrace {sin(-\pi n)}_{-sin\, \pi n})=\\\\=\frac{1}{n}\cdot (0-0)=0 \\ 1)\quad \int _{-\pi }^{\pi }\, x\cdot cos\, nx\cdot dx=\\\\=[\, u=x,\; du=dx,\; dv=cos\, nx\, dx,\; v=\frac{1}{n}sin\, nx\, ]=\\\\=\frac{x}{n}\cdot sin\, nx|_{-\pi }^{\pi }-\frac{1}{n}\cdot \int _{-\pi }^{\pi }\, sin\, nx\cdot dx=\\\\=0+\frac{1}{n^2}\cdot cos\, nx|_{-\pi }^{\pi }=\frac{1}{n^2}\cdot (cos\pi n-\underbrace {cos(-\pi n)}_{cos\, \pi n})=\\\\=\frac{1}{n^2}\cdot ((-1)^{n}-(-1)^{n})=0 $$
Решить ИНТЕГРАЛ (интегрирование по частям) \(\int(x^7+2x)lnxdx \)
Решение: Введем следующие обозначения:
$$ du=(x^7+2x)dx;\\ v=\ln(x) $$
Тогда несложно вычислить следующие выражения:
$$ u=\frac{x^8}{8}+x^2;\\ dv=\frac{dx}{x} $$
Требуется найти интеграл от v*du. По формуле интегрирования по частям ее можно преобразовать следующим образом:
$$ \int v*du=(v*u)-\int u*dv=(\frac{x^8}{8}+x^2)*\ln(x)-\int \frac{(x^8+8x^2)dx}{8x}=\\ =(\frac{x^8}{8}+x^2)*\ln(x)-\int (\frac{x^7}{8}+x)dx. $$
Произведение в преобразованиях не нуждается, а интеграл раскладывается на сумму табличных интегралов. Записываем ответ:
$$ \int (x^7+2x)\ln (x)dx=(\frac{x^8}{8}+x^2)*\ln(x)-\frac{x^8}{64}-\frac{x^2}{2}+C $$
