интеграл »

решить интеграл - страница 3

  • Решить интеграл \(\int\sqrt{(a^2-x^2)}dx \)


    Решение: интеграл суммы есть сумма интегралов.

    интеграл a^2dx+интеграл-x^2dx

    Проинтегрировали константу:

    a^2x+интеграл-x^2dx

    Вынесли константу из-под знака интеграла

    a^2x-интегралx^2dx

    Проинтегрировали степенную функцию:

    a^2x-1/3x^3

    Записываем финальный ответ:

    знак интеграла a^2-x^2dx=a^2x-1/3x^3+const

  • Нужно решить интеграл простой.
    Здесь а=-1, b=-4 \( \int\limits^a_b {(-4-5x- x^{2} )} \, dx \)


    Решение: Для начала найдём первообразную этой функции
    $$ \int\limits{-x^{2}-5x-4} \, dx =- \int\limits {x^{2}+5x+4} \, dx =-\frac{x^{3}}{3}-5\frac{x^{2}}{2}-4x $$
    По формуле Ньютона-Лейбница найдём значение соответствующего интеграла:
    $$ F(a)-F(b) \\ [-\frac{(-1)^{3}}{3}-5\frac{(-1)^{2}}{2}-4(-1)]-[-\frac{(-4)^{3}}{3}-5\frac{(-4)^{2}}{2}-4(-4)]= \\ \frac{1}{3}-\frac{5}{2}+4-\frac{64}{3}+40-16=-21-2,5+4+40-16=4,5 $$

  • 1) \(\int\limits_1^4(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}) dx \\ 2) \int\limits_1^9\frac{x-1}{\sqrt{x}}dx \)


    Решение: $$ \frac{x-1}{ \sqrt{x} }= \frac{x}{ \sqrt{x} } - \frac{1}{ \sqrt{x} } = \sqrt{x} - \frac{1}{ \sqrt{x} } \\ \int\limits^4_1 {( \sqrt{x} }- \frac{1}{ \sqrt{x} }) \, dx =( \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} }-2 \sqrt{x} )|_{1}^{4}= \\ ( \frac{2}{3} 4^{ \frac{3}{2} }-2 \sqrt{4} ) -( \frac{2}{3} 1^{ \frac{3}{2} }-2 \sqrt{1}) = \frac{16}{3} -4-1+2=2 \frac{1}{3} \\ \int\limits^9_1 {( \sqrt{x} }- \frac{1}{ \sqrt{x} }) \, dx =( \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} }-2 \sqrt{x} )|_{1}^{9}= \\ \\ ( \frac{2}{3} 9^{ \frac{3}{2} }-2 \sqrt{9} )-( \frac{2}{3} 1^{ \frac{3}{2} }-2 \sqrt{1} )=(18-6)-(1-2)=12-1+2=13 \\ $$

    frac x- sqrt x frac x sqrt x - frac sqrt x sqrt x - frac sqrt x int limits sqrt x - frac sqrt x dx frac x frac - sqrt x frac frac - sqrt - frac frac - sqrt frac - - frac int...
  • решить интеграл 1/3 интеграл (d(1+x^3))/(1+x^3)


    Решение: 1/3 интеграл (d(1+x^3))/(1+x^3)=1/3ln модуль(1+x^3)+c

    Занесем х^2 из числиться под знак дифференциала. после этого нам нужно компенсировать то что получится от взятия дифференциала от х^3, это 3х^2dx. Значит нам не хватает 1/3. Получим:
    интеграл((dx^3)/(x^3+1))
    теперь прибавим 1 под знаком дифференциала:
    интеграл((d(x^3+1))/(x^3+1))
    теперь посчитаем:
    ln(x^3+1)+C
    что непонятно спрашивай в личку

  • нужно решить интеграл cos7x*sin8x


    Решение: Перепишем выражение
    $$ cos(7x)sin(8x)= \frac{1}{2}sin(15x)+ \frac{1}{2}sin(x) \\ \int\limits \frac{1}{2}sin(15x)+ \frac{1}{2}sin(x) \, dx $$
    интеграл суммы есть сумма интегралов
    $$ \int\limits \frac{1}{2}sin {15x}\,dx+ \int\limits \frac{1}{2} sin{x} \, dx $$
    в первом и во втором интегралах вынесем константы за знак интеграла
    $$ \frac{1}{2} \int\limits sin {15x} \, dx + \frac{1}{2} \int\limits sin{x} \, dx $$
    в первом интеграле произведем замену переменной u=15x
    $$ \frac{1}{2} \int\limits \frac{1}{15}sin {u} \, du + \frac{1}{2} \int\limits sin{x} \, dx $$
    проинтегрируем первый синус
    $$ - \frac{1}{30}cos(u)+ \frac{1}{2} \int\limits {sin x} \, dx $$
    проведем обратную замену переменной
    $$ - \frac{1}{30}cos(15x)+ \frac{1}{2} \int\limits sin{x} \, dx $$
    и проинтегрируем второй синус
    $$ - \frac{1}{30}cos(15x)- \frac{1}{2}cos(x) $$

  • вычислить интеграл: Как решить интеграл: cosx/(6-5sinx)^5dx?


    Решение: Запиши дробь степенью. Получится(6-5sinx)^(-5) *cosx dx.
    Дифференциал от основания степени будет -5cosx dx. Перед интегралом выставляем -1/5, а к cosxdx добавляем (-5). Остальное в файле.

    Запиши дробь степенью. Получится - sinx - cosx dx.Дифференциал от основания степени будет - cosx dx. Перед интегралом выставляем - а к cosxdx добавляем - . Остальное в файле....
  • Нужно решить интеграл Int e^(4x)*cos xdx


    Решение: Надо интегрировать два раза частями, чтоб получить в правой части тот же интеграл, что в начале + функцию
    Интегрируем 1 раз
    u - e^(4x)
    dv -  cosx
    \e^(4x)*cosx dx= [v=sinx]=e^(4x)*sinx-\sinx d(e^(4x))===
    Интегрируем 2 раз
    \sinx d(e^(4x))=4\sinx e^(4x)dx= [v=-cosx]=4(-e^(4x)cosx + \cosxd(e^(4x)))=
    u - e^(4x)
    dv -  sinx
    =4(-e^(4x)cosx +4\cosx e^(4x) dx)
    ===e^(4x)*sinx+ 4e^(4x)cosx - 16\cosx e^(4x) dx
    имеем
    \e^(4x)*cosx dx = e^(4x)*sinx+4e^(4x)cosx- 16\cosx e^(4x) dx
    или
    17\e^(4x)*cosx dx=e^(4x)*sinx+4e^(4x)cosx
    \e^(4x)*cosx dx=(e^(4x)*sinx+4e^(4x)cosx)/17+C

  • Решить интеграл методом подстановки (неопределенный интеграл). 1) интеграл lnxdx/x(sqrt1+lnx) 2) интеграл sinxcos^3xdx/1+cos^2x


    Решение: $$ 1)\; \int \frac{lnx\cdot dx}{x\cdot \sqrt{1+lnx}}=\int \frac{lnx\cdot \frac{dx}{x}}{\sqrt{1+lnx}}=[\ t=lnx,\; dt=\frac{dx}{x}\, ]=\\\\=\int \frac{t\cdot dt}{\sqrt{1+t}}=[\, z=\sqrt{1+t},\; z^2=1+t,\, t=z^2-1,\, dt=2z\, dz\, ]=\\\\=\int \frac{(z^2-1)\cdot 2z\, dz}{z}=2\int (z^2-1)\, dz=2(\frac{z^3}{3}-z)+C=\\\\=\frac{2}{3}\sqrt{(1+lnx)^3}-2\sqrt{1+lnx}+C \\ 2)\; \int \frac{sinx\cdot cos^3x\, dx}{1+cos^2x}=[\, t=cosx,\, dt=-sinx\, dx\, ]=\\\\=-\int \frac{t^3\cdot dt}{1+t^2}=-\int (t-\frac{t}{1+t^2})\, dt=-\int t\, dt+\frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{1+t^2}=\\\\=-\frac{t^2}{2}+\frac{1}{2}\int \frac{d(1+t^2)}{1+t^2}=-\frac{cos^2x}{2}+\frac{1}{2}ln|1+t^2|+C=\\\\=-\frac{cos^2x}{2}+\frac{1}{2}ln(1+cos^2x)+C $$

  • Решить интегралы:
    1)a=pi; b= -pi
    \( \int\limits^a_b {x*cosnx} \, dx \)
    \( \int\limits^a_b {cosnx} \, dx \)


    Решение: $$ 2)\quad \int _{-\pi }^{\pi }\, cos\, nx\cdot dx=\frac{1}{n}\cdot sin\, nx\, |_{-\pi }^{\pi }=\frac{1}{n}\cdot (sin\pi n-\underbrace {sin(-\pi n)}_{-sin\, \pi n})=\\\\=\frac{1}{n}\cdot (0-0)=0 \\ 1)\quad \int _{-\pi }^{\pi }\, x\cdot cos\, nx\cdot dx=\\\\=[\, u=x,\; du=dx,\; dv=cos\, nx\, dx,\; v=\frac{1}{n}sin\, nx\, ]=\\\\=\frac{x}{n}\cdot sin\, nx|_{-\pi }^{\pi }-\frac{1}{n}\cdot \int _{-\pi }^{\pi }\, sin\, nx\cdot dx=\\\\=0+\frac{1}{n^2}\cdot cos\, nx|_{-\pi }^{\pi }=\frac{1}{n^2}\cdot (cos\pi n-\underbrace {cos(-\pi n)}_{cos\, \pi n})=\\\\=\frac{1}{n^2}\cdot ((-1)^{n}-(-1)^{n})=0 $$

  • Решить ИНТЕГРАЛ (интегрирование по частям) \(\int(x^7+2x)lnxdx \)


    Решение: Введем следующие обозначения:
    $$ du=(x^7+2x)dx;\\ v=\ln(x) $$
    Тогда несложно вычислить следующие выражения:
    $$ u=\frac{x^8}{8}+x^2;\\ dv=\frac{dx}{x} $$
    Требуется найти интеграл от v*du. По формуле интегрирования по частям ее можно преобразовать следующим образом:
    $$ \int v*du=(v*u)-\int u*dv=(\frac{x^8}{8}+x^2)*\ln(x)-\int \frac{(x^8+8x^2)dx}{8x}=\\ =(\frac{x^8}{8}+x^2)*\ln(x)-\int (\frac{x^7}{8}+x)dx. $$
    Произведение в преобразованиях не нуждается, а интеграл раскладывается на сумму табличных интегралов. Записываем ответ:
    $$ \int (x^7+2x)\ln (x)dx=(\frac{x^8}{8}+x^2)*\ln(x)-\frac{x^8}{64}-\frac{x^2}{2}+C $$

<< < 123 4 > >>