интеграл »

решить интеграл - страница 4

  • Решить интеграл: arctgx^0,5*dx


    Решение: $$ \int arctg\sqrt{x}\cdot dx=[\, t=\sqrt{x}\;,\; x=t^2\;,\; dx=2t\cdot dt\, ]=\\\\=2\cdot \int t\cdot arctgt\cdot dt=[\, u=arctgt\;,\; du=\frac{dt}{1+t^2}\;,dv=t\cdot dt\;,\; v=\frac{t^2}{2}\, ]=\\\\=uv-\int v\cdot du=2\cdot (\frac{t^2}{2}\cdot arctgt-\frac{1}{2}\cdot \int \frac{t^2\cdot dt}{1+t^2})=\\\\=t^2\cdot arctgt-\int (1-\frac{1}{1+t^2})dt=t^2\cdot arctgt-\int dt+\int \frac{dt}{1+t^2}=\\\\=t^2\cdot arctgt-t+arctgt+C=arctgt\cdot (t^2+1)-t+C=\\\\=arctg\sqrt{x}\cdot (x+1)-\sqrt{x}+C $$

  • ∫(ln^5*x)/x

    ∫(tgx)/(cos^2*x) и это все dx

    ∫e^x*xdx
    Решите интегралы подстановкой или по частям


    Решение: 1) тот x который в знаменателе, его производная ф-ции натуральный логарифм,  ее вносим под знак дифференциала.

    $$ \int\frac{ln^{5}x}{x}\, dx = \int(\frac{1}{x}ln^{5}x)dx = \int(\ln^{5}x)d(lnx) = \frac{ln^{6}x}{6} + C $$

    2) tgx = Sinx/Cosx сокращаем cosx и получаем

    $$ \int(\frac{tgx}{cos^{2}x})dx = \int(\frac{sinx*cos^{2}x}{cosx})dx = \int(sinx*cosx)dx = -\int(cosx)d(cosx) = -sinx + C $$

    3) интегрирование по частям

    $$ \int\ e^{x}xdx = [ u = x; du = dx; dv = e^{x}; v = e^{x} ] => xe^{x} - \int\ e^{x}dx = xe^{x} - e^{x} + C $$

<< < 234