вычислить интеграл
Вычислить интеграл с помощью формул понижения степени \( \int_0^{\frac{\pi}{3}} sin^2(x-\frac{\pi}{6})dx \)
Решение: $$ \int_0^{\frac{\pi}{3}} sin^2(x-\frac{\pi}{6})dx=\frac{1}{2}\int (1-cos(2x-\frac{\pi}{3}))dx=\\=\frac{1}{2}x|_0^{\frac{\pi}{3}}-\frac{1}{4}sin(2x-\frac{\pi}{3})|_0^{\frac{\pi}{3}}=\\=\frac{\pi}{6}-\frac{1}{4}(sin\frac{\pi}{3}-sin(-\frac{\pi}{3}))=\frac{\pi}{6}-\frac{1}{4}(\frac{\sqrt3}{2}\cdot 2)=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{4} $$Sin^2(x-pi/6)=(1-cos2(x-pi/6))/2=1/2-cos2(x-pi/6) интеграл(1./2)-интеграл(cos(x-pi/6)/2) =1/2x|(0 pi/3)-sin(x-pi/6)/2 (0 pi/3)=1/2(pi/3-0)-1/2sin(pi/3-pi/6)+1/2sin(0-pi/6=pi/6-1/2*1/2+1/2*1/2=pi/6
Вычислите интеграл с помощью формулы НЬТОНА-ЛЕЙБНИЦА (выполните подстановку числовых пределов)
\( \int\limits^3_2 {5xdx/(x-1)( x^{2} +2x+2)} \)
Решение подробно
Решение: Решим сначала интеграл.
$$ \int\limits { \frac{5x}{(x-1)(x^2+2x+2)} } \, dx =5 \int\limits {( \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2}) } \, dx \,\,\,\boxed{=} \\ \frac{x}{(x-1)(x^2+2x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2}= \frac{A(x^2+2x+2)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+2x+2)} \\ \\ x=A(x^2+2x+2)+(Bx+C)(x-1) \\ x^1\,\,\,:\,\,\, 1=5A;\\x^0\,\,\,:\,\,\, 0=2A-C\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,C= \frac{2}{5} \\ x^{-1}\,\,\,:\,\,\,1=A-2(C-B);\Rightarrow\,\,\,\,B=- \frac{1}{5} \\ \boxed{=}\,\,5\cdot ( \int\limits { \frac{ \frac{1}{5} }{x-1} } \, dx + \int\limits { \frac{-\frac{1}{5} x+\frac{2}{5}}{x^2+2x+2} } \, dx)= \int\limits { \frac{1}{x-1} } \, dx -\int\limits { \frac{x-2}{x^2+2x+2} } \, dx=\\ \\ =\ln |x-1|-\int\limits { \frac{x-2}{(x+1)^2+1} } \, dx=\{x+1=u;\,\,dx=du\}=\\ =\ln|x-1|+\int\limits { \frac{u-3}{u^2+1} } \, dx=\ln|x-1|+0.5\ln|u^2+1|-3arctg u+C=\\ =\ln|x-1|- \frac{\ln(x^2+2x+2)-6arctg(x+1)}{2} +C $$
Вычисляем определённый интеграл
$$ (\ln|x-1|- \frac{\ln(x^2+2x+2)-6arctg(x+1)}{2} )|^3_2=\\= \frac{2\ln 2-\ln17+\ln10+6arctg4-6arctg3}{2} $$
вычислить интеграл ((квадратный кореньиз х)+1))dx / корень шестой степени из х в 7ой +корень шестой степенииз х в 5ой
Решение: $$ I=\int{\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[6]{x^7}}+\sqrt[6]{x^5}}\, dx= \int{\frac{6t^5(t^3+1)}{t^7+t^5}}\, dt; $$Здесь мы сделали замену переменной:
$$ t=\sqrt[6]{x}. $$
Тогда x = t⁶, dx = 6t⁵dt
Продолжаем искать интеграл с новой переменной и сократив на t⁵, приходим к виду:
$$ I=\int{\frac{6(t^3+1)}{t^2+1}}\, dt=6\int{\frac{t^3}{t^2+1}}\, dt+6\int{\frac{1}{t^2+1}}\, dt=3\int{\frac{z}{z+1}}\, dz+6arctgt; $$
Где z = t²
$$ I=3\int{\frac{(z+1)-1}{z+1}}\, dz+6arctgt=3z-3ln|z+1|+6arctgt+C; $$
Возвращаемся к переменной х и получаем ответ:
$$ I=3\sqrt[3]{x}-3ln|\sqrt[3]{x}+1|+6arctg\sqrt[6]{x}+C. $$
Вычислитель интеграл от 4 до -4 х*|х|
Решение: Функция у = х*|х| нечетная. График симметричен относительно начала координат. Потому достаточно найти определенный интеграл только на одном участке, а затем (в силу симметричности) удвоить его.Возьмем промежуток от 0 до 4. На этом участке функция монотонно растет. Первообразная имеет вид x^3/3 + C. В нуле она равна С. В точке с абсциссой 4 равна 64/3 +С. По формуле Ньютона - Лейбница 64/3 +С - С = 64/3.
Не забываем удвоить его и записать ответ:
128/3 = 42 2/3.
Как посчитать интеграл (в числителе 2 в степени корень из х, а в числителе корень из х)?
Решение: Видимо, в числителе 2^√(x), а в ЗНАМЕНАТЕЛЕ √(х).
Тогда, заменяем: y=√(x). Найдем производную в правой и левой части:
dy=1/(2*√(х))dx.
Или же можно записать так: 2dy=1/√(х) dx
Следовательно, интеграл имеет вид:
в числителе 2*2^y
в знаменателе 1
Интеграл от 2*2^y = 2*2^y/ln(2)
Обратная замена: 2*2^√(x)/ln(x) = 2^(√(x)+1)/ln(x)Вычислите интегралы \( \int\limits^{ \pi /4}_{- \pi /4} ( \frac{1}{cos^2x}+sinx) \\ \int\limits^1_{-1} \sqrt{2x+3}\)
Решение: 2) = (tgx -Cosx)| в пределах от -π/4 до π/4 =
= (tgπ/4 -Сosπ/4)-(tg(-π/4) - Cos(-π/4))=
=1 -√2/2 +1 +√2/2 = 2$$ \int\limits^{ \pi /4}_{- \pi /4} ( \frac{1}{cos^2x}+sinx) \, dx=(tgx-cosx)|^{ \pi /4} _{- \pi /4}=\\\\=(tg \pi /4-cos \pi /4)-(tg(-\pi /4)-cos(- \pi /4))=\\\\=1- \sqrt{2}/2 -(-1- \sqrt{2}/2)=1- \sqrt{2}/2+1+ \sqrt{2}/2=2 \\ \int\limits^1_{-1} \sqrt{2x+3} \, dx =( \frac{1}{2}* \frac{(2x+3)^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} })|^1_{-1} =( \frac{(2x+3)^{ \frac{3}{2} }}{3})^1_{-1}=\\\\=\frac{(2*1+3)^{ \frac{3}{2} }}{3}-\frac{(2*(-1)+3)^{ \frac{3}{2} }}{3}= \frac{5^{ \frac{3}{2}}-1^{ \frac{3}{2} } }{3} = \frac{5 \sqrt{5}-1 }{3} $$
Вычислить интеграл: Верхнее 2, нижнее -2. dx/под корнем 2x+5
Решение: $$ \int\limits^2_{-2} { \frac{dx}{ \sqrt{2x+5} } } = \sqrt{2x+5} = \sqrt{2*2+5} - \sqrt{2*(-2)+5}= \sqrt{9} - \sqrt{1} =2 \\ \int\limits {x^a} \, dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} +C $$
С - просто какое то число (в нашем примере оно не нужно
х - переменная (в нашем примере это сложная переменная (2х+5))
а - число (в нашем примере т. к. 1 делим на корень, то степень \( - \frac{1}{2}\))Вычислить интеграл (3x^2-(3/(x^2/3)+5/(x^2)-7)dx
Решение: Для начала разобьем интеграл по частям. $$ \int\limits {3x^2} \, dx - \int\limits {(3/(x^(2/3)} \, dx + \int\limits {5/(x^2)} \, dx -7 \int\limits {x} \, dx $$
Затем подставим пределы интегральной суммы:
$$ \lim_{n \to \infty} 7 \lim_{n \to \infty} (3x^2-(3/(x^2/3)+5/(x^2)) \lim_{n \to \infty} $$
И решая пределы получим:
$$ \lim_{n \to \infty} 3X^2= $$Δα/Δβ+2πk=3/(4*√2)
Вычислить интеграл
1). ∫₁² (3x² - 4x - 2/x²) dx
2) ∫₁⁴ (4√x - 3x²)dx
Решение: Разность интеграла есть разность интегралов.
То есть каждую часть ты берете и интегрируете, далее подставляете границы.
Ну я в общем все реши, держи:
_______________________
$$ \int\limits^2_1 {( 3x^{2}-4x- \frac{2}{ x^{2} }) } \, dx = \int\limits^2_1 {3 x^{2} } \, dx - \int\limits^2_1 {4x} \, dx - \int\limits^2_1 { \frac{2}{ x^{2} } } \, dx = x^{3} - 2 x^{2} + \frac{2}{x} $$
Там понятно, что у каждого границы от 1 до 2, поэтому я не писал.
Далее находим их значения:
$$ (8-1)-(8-2)+(1-2)=0 $$
__________________________
$$ \int\limits^4_1 {(4 \sqrt{x} -3 x^{2} )} \, dx = \int\limits^4_1 {4 \sqrt{x} } \, dx - \int\limits^4_1 {3 x^{2} } \, dx = 4 \int\limits^4_1 { \sqrt{x} } \, dx - 3 \int\limits^4_1 { x^{2} } \, dx \\ \frac{8 \sqrt{ x^{3} } }{3}- x^{3} $$
Далее подставляем границы и получаем:
Но я подумал, желательно тебе расписать еще так:
$$ \frac{8}{3} \sqrt{ x^{3} } - x^{3} $$
Так будет легче подставлять границы.
$$ \frac{8}{3}(8-1)-(64-1) \\ 7* \frac{8}{3}-63 \\ \frac{56}{3}-63= \frac{56-189}{3}= -\frac{133}{3} $$
Вычислите интеграл сверху 3 снизу 0 (x^2 + (1-x)^2)dx
Решение: 3 3 3 3 3
∫ (x²+(1-x)²) dx= ∫(x²+1-2x+x²)dx= 2 ∫ x²dx - 2 ∫xdx + ∫dx =
0 0 0 0 0
3
=(2*x³/3 -2x²/2 +x) | =
0
=(2*27/3 -9 +3 - 0)= 11
