интеграл »
вычислить интеграл - страница 2
Вычислите интегралы \( \int\limits^{ \pi /4}_{- \pi /4} ( \frac{1}{cos^2x}+sinx) \\ \int\limits^1_{-1} \sqrt{2x+3}\)
Решение: 2) = (tgx -Cosx)| в пределах от -π/4 до π/4 =
= (tgπ/4 -Сosπ/4)-(tg(-π/4) - Cos(-π/4))=
=1 -√2/2 +1 +√2/2 = 2$$ \int\limits^{ \pi /4}_{- \pi /4} ( \frac{1}{cos^2x}+sinx) \, dx=(tgx-cosx)|^{ \pi /4} _{- \pi /4}=\\\\=(tg \pi /4-cos \pi /4)-(tg(-\pi /4)-cos(- \pi /4))=\\\\=1- \sqrt{2}/2 -(-1- \sqrt{2}/2)=1- \sqrt{2}/2+1+ \sqrt{2}/2=2 \\ \int\limits^1_{-1} \sqrt{2x+3} \, dx =( \frac{1}{2}* \frac{(2x+3)^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} })|^1_{-1} =( \frac{(2x+3)^{ \frac{3}{2} }}{3})^1_{-1}=\\\\=\frac{(2*1+3)^{ \frac{3}{2} }}{3}-\frac{(2*(-1)+3)^{ \frac{3}{2} }}{3}= \frac{5^{ \frac{3}{2}}-1^{ \frac{3}{2} } }{3} = \frac{5 \sqrt{5}-1 }{3} $$
Вычислить интеграл: Верхнее 2, нижнее -2. dx/под корнем 2x+5
Решение: $$ \int\limits^2_{-2} { \frac{dx}{ \sqrt{2x+5} } } = \sqrt{2x+5} = \sqrt{2*2+5} - \sqrt{2*(-2)+5}= \sqrt{9} - \sqrt{1} =2 \\ \int\limits {x^a} \, dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} +C $$
С - просто какое то число (в нашем примере оно не нужно
х - переменная (в нашем примере это сложная переменная (2х+5))
а - число (в нашем примере т. к. 1 делим на корень, то степень \( - \frac{1}{2}\))Вычислить интеграл (3x^2-(3/(x^2/3)+5/(x^2)-7)dx
Решение: Для начала разобьем интеграл по частям. $$ \int\limits {3x^2} \, dx - \int\limits {(3/(x^(2/3)} \, dx + \int\limits {5/(x^2)} \, dx -7 \int\limits {x} \, dx $$
Затем подставим пределы интегральной суммы:
$$ \lim_{n \to \infty} 7 \lim_{n \to \infty} (3x^2-(3/(x^2/3)+5/(x^2)) \lim_{n \to \infty} $$
И решая пределы получим:
$$ \lim_{n \to \infty} 3X^2= $$Δα/Δβ+2πk=3/(4*√2)
Вычислить интеграл
1). ∫₁² (3x² - 4x - 2/x²) dx
2) ∫₁⁴ (4√x - 3x²)dx
Решение: Разность интеграла есть разность интегралов.
То есть каждую часть ты берете и интегрируете, далее подставляете границы.
Ну я в общем все реши, держи:
_______________________
$$ \int\limits^2_1 {( 3x^{2}-4x- \frac{2}{ x^{2} }) } \, dx = \int\limits^2_1 {3 x^{2} } \, dx - \int\limits^2_1 {4x} \, dx - \int\limits^2_1 { \frac{2}{ x^{2} } } \, dx = x^{3} - 2 x^{2} + \frac{2}{x} $$
Там понятно, что у каждого границы от 1 до 2, поэтому я не писал.
Далее находим их значения:
$$ (8-1)-(8-2)+(1-2)=0 $$
__________________________
$$ \int\limits^4_1 {(4 \sqrt{x} -3 x^{2} )} \, dx = \int\limits^4_1 {4 \sqrt{x} } \, dx - \int\limits^4_1 {3 x^{2} } \, dx = 4 \int\limits^4_1 { \sqrt{x} } \, dx - 3 \int\limits^4_1 { x^{2} } \, dx \\ \frac{8 \sqrt{ x^{3} } }{3}- x^{3} $$
Далее подставляем границы и получаем:
Но я подумал, желательно тебе расписать еще так:
$$ \frac{8}{3} \sqrt{ x^{3} } - x^{3} $$
Так будет легче подставлять границы.
$$ \frac{8}{3}(8-1)-(64-1) \\ 7* \frac{8}{3}-63 \\ \frac{56}{3}-63= \frac{56-189}{3}= -\frac{133}{3} $$
Вычислите интеграл сверху 3 снизу 0 (x^2 + (1-x)^2)dx
Решение: 3 3 3 3 3
∫ (x²+(1-x)²) dx= ∫(x²+1-2x+x²)dx= 2 ∫ x²dx - 2 ∫xdx + ∫dx =
0 0 0 0 0
3
=(2*x³/3 -2x²/2 +x) | =
0
=(2*27/3 -9 +3 - 0)= 11
