интеграл »

вычислить интеграл - страница 2

  • найти интеграл:
    1. ∫ x³dx/³√(5x⁴+2)²
    2. вычислите интегралы:
    а). верху 1 внизу0 ∫dx/(3x+1)⁴
    б). верху 1внизу 0 ∫arcsinxdx


    Решение: $$ 1)\; \int \frac{x^3\, dx}{\sqrt[3]{(5x^4+2)^2}}=[t=5x^4+2,\; dt=20x^3\, dx\; \to \; x^3\, dx=\frac{dt}{20}\, ]=\\\\=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{2}\int t^{-\frac{2}{3}}dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}+C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{5x^4+2}+C\\\\2a)\; \int _0^1\frac{dx}{(3x+1)^4}=[\, t=3x+1,\; dt=3\, dx\; \to \; dx=\frac{dt}{3},\;\\\\ t_1=3\cdot 1+1=4\;,\; t_2=3\cdot 0+1=1\, ]=\\\\=\frac{1}{3}\cdot \int _1^4\, t^{-4}\, dt=\frac{1}{3}\cdot \frac{t^{-3}}{-3}+C= \\ =-\frac{1}{9(3x+1)^3}+C\\\\2b)\; \int_0^1arcsinx\, dx=[\, u=arcsinx,\; du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},\; dv=dx,\; v=x\, ]=\\\\=x\cdot arcsinx\, |_0^1-\int _0^1\frac{x\; dx}{\sqrt{1-x^2}}=(1\cdot arcsin1-0)+\frac{1}{2}\int_0^1\frac{d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}=\\\\=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1-x^2}\, |_0^1=\frac{\pi}{2}+(0-1)=\frac{\pi}{2}-1 $$

  • Обьясните, как вычислить интеграл 45x/x^3


    Решение: $$ \int\frac{45x}{x^3} \, dx = - \frac{15}{x^3} $$ +C

    \(\int\)45х/x^3dx=постоянный множитель, в нашем случае 45, выносится за знак интеграла, а Х в числителе и знаменателе сократятся и останется =
    45\(\int\)1/х²dx=45\(\int\)(х^-2)dx = теперь под знаком интеграла табличный интеграл вида х^n, \(\int\) от х^n=x^(n+1)/(n+1) +С, в нашем виде n=-2, тогда
    =45*(x^(-2+1))/(-2+1)=-45/x +С

  • Вычислить интегралы.
    1) \( \int^8_1 { \sqrt[3]{ x^{2} } }\, dx \)
    2) \( \int^7_8 {\frac{dx}{ \sqrt[3]{x}}} \) (интеграл запишите не 7, а 27 и 8)


    Решение: $$ = \int\limits^8_1 { x^{ \frac{2}{3} } } \, dx = \frac{3 x^{ \frac{5}{3} } }{5} = \frac{3 \sqrt[3]{ 8^{5} } }{5} - \frac{3}{5} = \frac{93}{5}= 18,6 \\ \int\limits^{27}_8 { x^{ \frac{1}{3} } } \, dx = \frac{3 x^{ \frac{4}{3} } }{4}= \frac{3 \sqrt[3]{ 27^{4} } }{4} - \frac{3 \sqrt[3]{ 8^{4} } }{4} =48,75 $$

    $$ 1) \int^8_1 { \sqrt[3]{x^2} } \, dx =\int^8_1 { x^{ \frac{2}{3} } } \, dx =( \frac{x^{ \frac{2}{3} +1}}{\frac{2}{3} +1} ) |=( \frac{x^{ \frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} ) |=( \frac{3x \sqrt[3]{x^2} }{5} ) |= \\ = \frac{3*8 \sqrt[3]{8^2} }{5}-\frac{3*1 \sqrt[3]{1^2} }{5}= \frac{3*8*4}{5} - \frac{3}{5}= \frac{96-3}{5}= \frac{93}{5}= 18 \frac{3}{5} \\ 2) \int^{27}_8 \frac{dx}{\sqrt[3]{x}} = \int^{27}_8 {x^{-\frac{1}{3}}}dx= \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1}| = \frac{3 \sqrt[3]{x^2} }{2}| =\frac{3\sqrt[3]{27^2}}{2}-\frac{3\sqrt[3]{8^2}}{2}= \\ \\ =\frac{3*9 }{2}-\frac{3 *4 }{2}= \frac{27-12}{2}= \frac{15}{2}=7,5 $$

  • Вычислите интеграл
    Интеграл от -3П до 0 cos3xdx
    Интеграл от 1 до 3 3x-1/2dx


    Решение: $$ \int\limits^0_{-3 \pi } {cos3x} \, dx= \frac{1}{3} \int\limits^0_{-3 \pi } {cos3x} \, d(3x)= \frac{1}{3} \cdot(-sin3x)|^0_{-3 \pi }= \\ \\ ==\frac{1}{3} \cdot(-sin0+sin(-9 \pi ))=0 \\ \int\limits^1_3 { \frac{3x-1}{2} } \, dx= \frac{1}{3} \int\limits^1_3 { \frac{3x-1}{2} } \, d(3x-1)= \\ \\ =\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \int\limits^1_3 { (3x-1) } \, d(3x-1)= \frac{1}{6} \cdot \frac{(3x-1)^2}{2} |^1_3= \\ \\ =\frac{1}{6} \cdot( \frac{(3\cdot 3-1)^2}{2} -\frac{(3\cdot 1-1)^2}{2})=\frac{1}{6} \cdot( \frac{8^2}{2}- \frac{2^2}{2})=5 $$

  • Вычислите Интеграл\( -\frac{2}{3} ^{ \int\limits^1{x ^{3} } \, dx } \\ \int^3_1 \frac{dx} x^{2} \\ \int^{\pi}_{\frac{\pi}{2}} sinx\, dx \) )


    Решение: $$ \int\limits^1_{-2/3} {x^3} \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} |_{-2/3}^1=\frac{x^4}{4} |_{-2/3}^1=\frac{1^4}{4}-\frac{(-2/3)^4}{4}=\frac{1}{4}-\frac{2^4}{4*3^4}= \frac{3^4-2^4}{4*3^4}= \\ = \frac{65}{324} \\ \int\limits^3_1 \, \frac{dx}{x^2} = \int\limits^3_1 x^{-2} \, dx= \frac{x^{-2+1}}{-2+1} |_1^3=- \frac{1}{x} |_1^3= \\ =- \frac{1}{3}+ \frac{1}{1} = \frac{2}{3} \\ \int\limits^ \pi _{ \pi /2} sin{x} \, dx =-cosx|_{ \pi /2}^ \pi =-cos \pi +cos \frac{ \pi }{2} =1 $$

  • Вычислить интеграл: \( \int \frac{dx}{ \sqrt{2+3x-2 x^{2}} } \)


    Решение:                           Решение :
    .

    Выделим полный квадрат.
    $$ -2 x^{2} +3x+2=2-(2x^2-3x+ \frac{9}{8}- \frac{9}{8})= \\ =2-( (\sqrt{2}x)^2-2* \sqrt{2}* \frac{3}{2\sqrt{2}} x+( \frac{3}{2\sqrt{2}})^2 )+ \frac{9}{8}= \\ =\frac{25}{8}-( \sqrt{2}x- \frac{3}{ \sqrt{8}})^2= \frac{25}{8}(1-( \frac{ \frac{4x-3}{ \sqrt{8}}}{\frac{5}{ \sqrt{8} }})^2)=\frac{25}{8}(1-( \frac{4x-3}{5})^2) \\ \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{2+3x-2 x^{2} } } } \, dx= \int\limits { \frac{1}{ \frac{5}{2 \sqrt{2}} \sqrt{1-( \frac{4x-3}{5})^2} } } \, dx \\ \frac{4x-3}{5}=t;dt= \frac{4}{5}dx;dx= \frac{5}{4}dt; \\ \int\limits { \frac{1}{ \frac{5}{2 \sqrt{2}} \sqrt{1-( \frac{4x-3}{5})^2} } } \, dx= \frac{2 \sqrt{2} }{5}* \frac{5}{4} \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{1-t^2} } } \, dt= \frac{1}{ \sqrt{2}}arcsint+C= \\ =\frac{1}{ \sqrt{2}}arcsin \frac{4x-3}{5}+C $$

                              Решение . Выделим полный квадрат. - x x - x - x frac - frac - sqrt x - sqrt frac sqrt x frac sqrt frac frac - sqrt x- frac sqrt frac - frac frac x-...

  • Вычислить интеграл:
    \( \int\limits { \frac{dx}{x^3+x^2+2x+2} } \,= \)


    Решение: Разложим подинтегральную дробь на простейшие дроби.
    Для этого разложим знаменатель на множители
    х³+х²+2х+2=х²(x+1)+2(х+1)=(x+1)(x²+2)
    Дробь раскладывается на простейшие дроби
    $$ \frac{1}{x^3+x^2+2x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Mx+N}{x^2+2} $$
    Приводим к общему знаменателю правую часть и приравниваем только числители
    1=А·(х²+2)+Mx²+Nx+Mx+N
    1=(А+M)x²+(M+N)x+2A+N
    Слева многочлен нулевой  степени, но его можно записать и как многочлен второй степени, если приписать 0·х²+0·х+1
    Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа
    A+M=0  ⇒   A=-M
    M+N=0  ⇒   N=-M
    2A+N=1
    2·(-M)+(-M)=1
    M=-1/3
    A=1/3
    N=1/3
    $$ \int \frac{1}{x^3+x^2+2x+2}dx= \int (\frac{ \frac{1}{3} }{x+1}+ \frac{ -\frac{1}{3}x+ \frac{1}{3} }{x^2+2} )dx = \\ \\ =\frac{1}{3} \int \frac{1 }{x+1}dx - \frac{1}{6}\int \frac{2x}{x^2+2}dx + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2+2}dx \\ \\ =\frac{1}{3}ln|x+1|-\frac{1}{6}ln|x^2+2|+ \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{ \sqrt{2} }arctg \frac{x}{ \sqrt{2} }+C $$

  • Вычислить интеграл \( \int\limits^1_0 {(x+3)e^-x} \, dx \)


    Решение: $$ \int\limits_0^1(x+3)e^{-x}dx\\-\\\int(x+3)e^{-x}dx=-\int(x+3)(-e^{-x})dx\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}v=x+3&u’=-e^{-x}\\v’=1&u=e^{-x}\end{array}\right|\\\\\\\Rightarrow-\left[(x+3)e^{-x}-\int(1\cdot e^{-x})dx\right]=-\left[(x+3)e^{-x}-(-e^{-x})\right]\\\\=-\left(xe^{-x}+3e^{-x}+e^{-x}\right)=-\left(xe^{-x}+4e^{-x}\right)=-(x+4)e^{-x}\\- \\ \int\limits_0^1(x+3)e^{-x}dx=\left [-(x+4)e^{-x}\right]^1_0=-(1+4)e^{-1}+(0+4)e^{-0}\\\\=-5e^{-1}+4\cdot1=4-\frac{5}{e}=\frac{4e-5}{e} $$

  • Вычислить интеграл\( \int\limits^1_3( {3+ \frac{1}{ x^{2} } }) \, dx \)


    Решение: ∫e−a22(x+y)(x+y)3/2dy = −2π−−√aerf(a2√x+y−−−−−√)∫e−a22(x+y)(x+y)3/2dy = −2πaerf(a2x+y)∫∞0e−a22(x+y)(x+y)3/2dy = 2π−−√aerf(a2x−−√)∫0∞e−a22(x+y)(x+y)3/2dy = 2πaerf(a2x)provided R(x) > 0 ∨x∉Rℜ(x) > 0 ∨x∉R Now, consider ∫erf(1t√)dt=(t+2)erf(1t√)+2e−1/tt√π√∫erf(1t)dt = (t+2)erf(1t)+2e−1/ttπI = ∫b0erf(1t√)dt = (b+2)erf(1b√)+2b√e−1/bπ√−2I = ∫0berf(1t)dt = (b+2)erf(1b)+2be−1/bπ−2Now, for large values of bb,I = −2+4b√π√+43πb−−√+O(1b3/2)I = −2+4bπ+43πb+O(1b3/2) which would then make 2π−−√a∫b0erf(a2x−−√) = −2π−−√a+4b√+23a21b−−√+O(1b3/2)

  • A)
    lim(x^3-3x^2+7)
    x->3
    б)
    lim3x+12/x^2-16
    x-> -4
    в)
    lim5x^2-11x+18/3-x^2
    x->∞
    2. Вычислить интегралы:
    а)
    2
    ∫(2x^2-3x)dx
    -3
    б)
    п/3
    ∫dx/sin^2x
    п/4
    в)
    1
    ∫ dx/√5x+1
    3


    Решение: Lim(x^3-3x^2+7) = 7
    x->3
    б)
    lim3x+12/x^2-16=lim x+4/x^2-16=lim 1/x-4=-1/8
    x-> -4
    в)
    lim 5x^2-11x+18/3-x^2 = -5
    x->∞
    2. Вычислить интегралы:
    а)
    2
    ∫(2x^2-3x)dx=2x^3/3-3x^2/2=185/6=30,8(3)
    -3
    б)
    п/3
    ∫dx/sin^2x=1-1/корень(3) ~ 0,42265
    п/4
    в)
    1
    ∫ dx/√5x+1 = 2/5*√(5x+1) = 2/5*(корень(6)-4)
    3

<< < 12 3 4 > >>