интеграл »

вычислить интеграл - страница 4

  • Нужно вычислить интеграл функции (t-1)*sin(wt), пределы: от -пи до 0. интегрировать по dt


    Решение: $$ \int\limits^0_{-\pi} {(t-1)sin(wt)} \, dt=\int\limits^0_{-\pi} {tsin(wt)} \, dt - \int\limits^0_{-\pi} {sin(wt)} \, dt\\\\ \int\limits^0_{-\pi} {tsin(wt)} \, dt \\ dv=sin(wt) \ \ v=\frac{-cos (wt)}{w}\\ u=t \ \ du=dt\\\\ \int\limits^0_{-\pi} {tsin(wt)} \, dt= -cos(wt)|^{0}_{-\pi}+\frac{1}{w}\cdot \int\limits^0_{-\pi} {cos(wt)} \, dt=\\=-cos(0)+cos(-\pi)+\frac{sin(w*0)}{w}-\frac{sin(-\pi*w)}{w}=-0-1+\frac{1}{w}+\frac{sin(\pi*w)}{w}\\\\ - \int\limits^0_{-\pi} {sin(wt)} \, dt = cos(wt)|_(-\pi)^{0}=0+1=\\=1 \int\limits^0_{-\pi} {(t-1)sin(wt)} \, dt=-1+\frac{1}{w}+\frac{sin(\pi*w)}{w}+1=\frac{1}{w}+\frac{sin(\pi*w)}{w} $$

  • Вычислите интеграл, преобразуя подынтегральные функции: 1) \(\int\limits^ \frac{3 \pi }{8}_\frac{\pi }{8}12sin(\frac{ \pi }{8}-x)*cos(\frac{ \pi }{8}-x) \) 2) \( \int\limits^\frac{\pi }{3}_\frac{\pi }{6}cos^{2}(x+\frac{ \pi }{3})-sin^{2}(x+\frac{ \pi }{3})\)


    Решение: 1) $$ 6*2sin(\frac{ \pi }{8}-x)*cos(\frac{ \pi }{8}-x)=6sin(2*(\frac{ \pi }{8}-x))=\\=6sin(\frac{ \pi }{4}-2x) \\ \int\limits^ \frac{3 \pi }{8}_\frac{\pi }{8} {6sin(\frac{ \pi }{4}-2x)} \, dx=-6*0.5*\int\limits^ \frac{3 \pi }{8}_\frac{\pi }{8} {sin(\frac{ \pi }{4}-2x)} \\ d(\frac{ \pi }{4}-2x)=3*cos(\frac{ \pi }{4}-2x) \\ =3*cos(\frac{ \pi }{4}-\frac{6\pi }{4})-3*cos(\frac{ \pi }{4}-\frac{\pi }{4})=3*cos(-\frac{5\pi }{4})-3= \\ =3*(cos(\frac{5\pi }{4})-1)=3*(cos( \pi +\frac{\pi }{4})-1)=3*(-cos(\frac{\pi }{4})-1)= \\ =-3*(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{2}{2})=-\frac{3*(\sqrt{2}-2)}{2}=\frac{3*(2-\sqrt{2})}{2} $$
    2) $$ cos^{2}(x+\frac{ \pi }{3})-sin^{2}(x+\frac{ \pi }{3})=cos(2*(x+\frac{ \pi }{3}))=cos(2x+\frac{2\pi }{3}) \\ \int\limits^\frac{\pi }{3}_\frac{\pi }{6} {cos(2x+\frac{2\pi }{3})} \, dx=0.5*\int\limits^\frac{\pi }{3}_\frac{\pi }{6} {cos(2x+\frac{2\pi }{3})} \, d(2x+\frac{2\pi }{3})=\\=0.5*sin(2x+\frac{2\pi }{3})=\\=0.5sin(\frac{2\pi }{3}+\frac{2\pi }{3})-0.5*sin(\frac{2\pi }{6}+\frac{2\pi }{3})=\\=0.5*sin(\frac{4\pi }{3})-0.5*sin(\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi }{3})=\\=0.5*sin( \pi+\frac{\pi }{3})-0.5*sin( \pi)=-0.5*sin(\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{4} $$

  • 2. Вычислить интеграл методом подстановки \( \int{\frac{\sqrt{3x}dx}{\sqrt{3x}-1}} \) 5. Вычислить интеграл от следующей функции \( \int{\frac{\sqrt{1-9x^2}dx}{x}} \)


    Решение: 2.28
    $$ \int{\frac{\sqrt{3x}dx}{\sqrt{3x}-1}}=\\ \|\sqrt{3x}=t;\ \ 3x=t^2;\ x=\frac{t^2}{3}\ ==>dx=d\left(\frac{t^2}{3}\right.=\frac{2tdt}{3})\|\\ =\int{\frac{t\frac{2tdt}{3}}{t-1}}=\frac23\int{\frac{t^2}{t-1}}dt=\frac23\int{\frac{t^2-1+1}{t-1}}dt=\\ \frac23\int{\frac{(t-1)(t+1)+1}{t-1}}dt=\frac23\int{(t+1+\frac1{t-1})}dt=\\ =\frac23\left(\int t^1dt+\int t^0dt+\int{\frac{d(t-1)}{t-1}}\right)=\\ =\frac23\cdot\left(\frac1{1+1}\cdot t^{1+1}+\frac{1}{0+1}\cdot t^{0+1}+\ln|t-1|\right)+C=|\ C-const;\\ \\ =\frac23\left(\frac12t^2+t+\ln|t-1|\right)+C=\\ \|t=\sqrt{3x}\|;\\ =\frac23\left(\frac12\cdot3x+\sqrt{3x}+\ln|\sqrt{3x}-1|\right)+C=\\ =\frac23\cdot\frac32\cdot x+\frac23\cdot\sqrt3\cdot\sqrt{x}+\frac23\ln|\sqrt{3x}-1|+C=\\ =x+\frac{2}{\sqrt3}\sqrt{x}+\frac23\ln|\sqrt{3x}-1|+C=x+\frac{2\sqrt3}{3}\sqrt{x}+\frac23\ln|\sqrt{3x}-1|+C. $$
    5.28
    $$ \int{\frac{\sqrt{1-9x^2}dx}{x}}=\int{\frac{\sqrt{1-3^2x^2}dx}{x}}=\int{\frac{\sqrt{1-(3x)^2}dx}{x}}=\\ \|3x=t==>x=\frac t3;\ dx=d\frac t3=\frac13dt\|\\ =\int{\frac{\sqrt{1-t^2}dt}{3\cdot\frac t3}}=\int{\frac{\sqrt{1-t^2}dt}{t}}=\\ \|D(f):1-t^2\geq0;\ \ t^2\leq1;\ \ |t|\leq1;==>-1\leq t\leq1\|\\ \|t=\sin\phi,\ 1-t^2=1-\sin^2\phi=\cos^2\phi\geq0\ \ \sqrt{1-t^2}=|\cos\phi|\|\\ \|dt=d\sin\phi=\cos\phi d\phi\|\\ =\int{\frac{\cos\phi\cdot\cos\phi d\phi}{sin\phi}}=\int{\frac{\cos^2\phi}{\sin\phi}}d\phi=\\ \\ \int{\frac{1-\sin^2\phi}{\sin\phi}}d\phi = \int{\left(\frac1{\sin\phi}{-\sin\phi} \right)}d\phi\\ $$

  • Вычислить интеграл:
    Интеграл от 1 до 2 функции X(x-2) dx


    Решение: Нужно разбить на сумму интегралов, первый будет интеграл от ХdX, второй будет интеграл от 2dX, третий от (-X^2)dX, все три в пределах от -1 до 2. Затем берем их по очереди по таблице неопределённых интегралов, получаем X^2/2+2X-X^3/3 в пределах от -1 до 2. Подставляем верхний предел, а из того, что получилось вычитаем туже формулу с подставленным нижним пределом : 2^2/2+2*2-2^3/3-((-1)^2/2+2*(-1)-(-1)^3/3)=1/2

  • 1. Найти производную функции а) \( y=4x^3-\frac3{x^2}; b)\;\sin^6\left(4x^3-2\right) \) 2) вычислить интеграл методом непосредственного интегрирования \( a)\;\int\left(\frac1{\cos^2x}+\frac1{\sqrt{1-x^2}}\right)dx; b)\;\int\left(5\cos x-3x^2+\frac1x\right)dx \)
    3) решить дифференциальное уравнение \( y’=\frac1{\cos^2x}+x^4 \)


    Решение: $$ 1.\;a)\;y=4x^3-\frac3{x^2}\\y’=12x^2+\frac6{x^3}\\b)\;\sin^6\left(4x^3-2\right)\\y’=6\sin^5(4x^3-2)\cdot\cos^6(4x^3-2)\cdot12x^2=\\=72x^2\cdot\sin^5(4x^3-2)\cos^6(4x^3-2) \\ 2.\;a)\;\int\left(\frac1{\cos^2x}+\frac1{\sqrt{1-x^2}}\right)dx=\int\frac{dx}{\cos^2x}+\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\\=tg x+\arcsin x\\b)\;\int\left(5\cos x-3x^2+\frac1x\right)dx=\int5\cos xdx-\int3x^2dx+\int\frac{dx}{x}=\\=5\sin x-x^2+\ln x \\ 3.\;y’=\frac1{\cos^2x}+x^4\\y=\int\left(\frac1{\cos^2x}+x^4\right)dx=\int\frac{dx}{\cos^2x}+\int x^4dx=tgx+\frac15 x^5+C $$

  • Вычислите интеграл: правая граница 1/2, левая граница -1 функции (2x+1)^3 dx


    Решение: Найдем интеграл функции. интеграл (2x+1)^3 dx = 1/2 * (2x+1)^4 / 4 = (2x+1)^4/8. Подставим правую границу: (2*1/2+1)^4/8=2^4/8=16/8=2. Подставим левую границу: (2*(-1)+1)^4/8=(-2+1)^4/8
    = (-1)^4/8=1/8
    Определенный интеграл равен: 2-1/8 = 15/8=1ц 7/8

    $$ \int^{\frac{1}{2}}_{-1} {(2x+1)^3} \, dx=\\\\ \frac{1}{2}\int^{\frac{1}{2}}_{-1} {(2x+1)^3} \, d(2x+1)=\\\\ \frac{1}{2}\frac{(2x+1)^4}{4}|\int^{\frac{1}{2}}_{-1}=\\\\ \frac{1}{8}*(2x+1)^4|\int^{\frac{1}{2}}_{-1}=\\\\ 0.125*(2*\frac{1}{2}+1)^4-0.125*(2*(-1)+1)^4=0.125*(16-1)=\frac{15}{8} $$

  • Выполнить чертеж данных функций
    Искомую площадь представить как сумму или разность площадей
    Из условия задачи и чертежа определить пределы интегрирования
    Вычислить Интеграл.
    1) y=sinx, y=x, x=pi(п)


    Решение: Из условия и чертежа пределы интегрирования будут 0,π.
    ∫(в пределах 0,π) sin(x)= -cos(0)-(-cos(π))=-1-1=-2
    2 - есть искомая площадь.

    Из условия и чертежа пределы интегрирования будут . в пределах sin x -cos - -cos - - - - есть искомая площадь....

  • Вычислите интегралы, преобразуя подынтегральные функции 1) \( \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}sin^2\frac{x}{2}dx \) 2) \( \int\limits_0^1\frac{x^3+x^2+x+1}{x+1}dx \)


    Решение: 1\2 интеграл (от 0 до π\2) (1 - cos x) dx = (x - sin x) | ₀ π\2 = π\2 - cos π\2 -( 0 - cos 0) =π\2-0 - 0+1 = π\2 + 1 = (π+2)\2
    интеграл ( от 0 до 1) (х²+1)(х+1) \ ( х+1) dx = интеграл ( от 0 до 1) (х²+1) dx =
    (1\3 x³ +x) |¹₀ = 1\3 + 1 - 0 = 1 1\3

    $$ 1)\int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0{sin ^{2} \frac{x}{2} } \, dx = \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0 { \frac{1-cosx}{2} } \, dx = \frac{x-sinx}{2}| _{0 }^{ \frac{ \pi }{2}} = \frac{ \pi }{4} - \frac{1}{2} = \frac{ \pi -2}{4} \\ 2) \int\limits^1_0 { \frac{ x^{3}+x^{2} + x+1}{x+1} } \, dx= \int\limits^1_0 { \frac{ x^{2}(x+1) +( x+1)}{x+1} } \, dx = \int\limits^1_0 { \frac{ (x+1)(x^{2} +1)}{x+1} } \, dx= \\ = \int\limits^1_0 { (x^{2} +1) } \, dx= (\frac{ x^{3} }{3}+x)| _{0} ^{1}= \frac{1}{3}+1=1 \frac{1}{3} $$

  • Вычислите интегралы, преобразуя подынтегральные функции:
    \( 1) \; \int\limits^\frac{3\pi}{8}_\frac{\pi}{8} {12sin(\frac{\pi}{8}-x)cos(\frac{\pi}{8}-x)} \, dx \)


    Решение: $$ 1)\; \; \int\limits^{\frac{3\pi}{8}}_{\frac{\pi}{8}} {12sin(\frac{\pi}{8}-x)cos(\frac{\pi}{8}-x)} \, dx = \int\limits^{\frac{3\pi}{8}}_{\frac{\pi}{8}} {6sin(\frac{\pi}{4}-2x)x} \, dx =\\\\=-6\cdot \frac{-1}{2}\cdot cos(\frac{\pi}{4}-2x)|_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}}=3\cdot (cos(\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{4})-cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}))=\\\\=3\cdot (cos(-\frac{\pi}{2})-cos0)=3\cdot (0-1)=-3 $$
    2) $$ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} {(2sin2x-1)} \, dx = \int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} {(2\cdot 2sinx\cdot cosx-1)} \, dx =\\\\=[\, \int sinx\cdot cosx\, dx=[t=sinx,\; dt=cosx\, dx]=\int t\cdot dt=\\\\=\frac{t^2}{2}+C=\frac{sin^2x}{2}+C\; ]=\\\\=(4\cdot \frac{sin^2x}{2}-x)|_0^{\frac{\pi}{3}}=2sin^2\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=2\cdot (\frac{\sqrt3}{2})^2-\frac{\pi}{3}=\frac{3}{2}-\frac{\pi}{3}\;. \\ P.S.\int sinx\cdot cosx\, dx=\int sinx\cdot d(sinx)=\frac{sin^2x}{2}+C $$

  • Вычислите интеграл, преобразуя подынтегральную функцию:
    \( \int\limits^\frac{\pi}{2}_0 {cos^2\frac{x}{4}} \, dx \)
    у меня в ответе выходит:
    \( \frac{\pi}{4}+\frac{\pi^2\sqrt2}{64} \)


    Решение: $$ \int\limits^{ \pi /2}_0 cos^2 \frac{x}{4} \, dx= \int\limits^{ \pi /2}_0 \frac{1+cos \frac{x}{2} }{2}dx= \int\limits^{ \pi /2}_0( \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}cos \frac{x}{2})dx=\\\\= \int\limits^{ \pi /2}_0\frac{1}{2}dx+ \int\limits^{ \pi /2}_0 \frac{1}{2}cos \frac{x}{2}dx= \frac{1}{2} \int\limits^{ \pi /2}_0dx+ \frac{1}{2} \int\limits^{ \pi /2}_0cos \frac{x}{2}dx=\\\\= \frac{1}{2}*1+ \frac{1}{2}(2sin \frac{x}{2})|^{ \pi /2}_0= \frac{1}{2}+sin \frac{ \pi }{4}-sin0= \\ = \frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{2} }{2}-0= \frac{1+ \sqrt{2} }{2} $$

<< < 234 5 6 > >>