вычислить интеграл - страница 4
Вычислить интеграл: \( \int \frac{dx}{ \sqrt{2+3x-2 x^{2}} } \)
Решение: Решение :
.
Выделим полный квадрат.
$$ -2 x^{2} +3x+2=2-(2x^2-3x+ \frac{9}{8}- \frac{9}{8})= \\ =2-( (\sqrt{2}x)^2-2* \sqrt{2}* \frac{3}{2\sqrt{2}} x+( \frac{3}{2\sqrt{2}})^2 )+ \frac{9}{8}= \\ =\frac{25}{8}-( \sqrt{2}x- \frac{3}{ \sqrt{8}})^2= \frac{25}{8}(1-( \frac{ \frac{4x-3}{ \sqrt{8}}}{\frac{5}{ \sqrt{8} }})^2)=\frac{25}{8}(1-( \frac{4x-3}{5})^2) \\ \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{2+3x-2 x^{2} } } } \, dx= \int\limits { \frac{1}{ \frac{5}{2 \sqrt{2}} \sqrt{1-( \frac{4x-3}{5})^2} } } \, dx \\ \frac{4x-3}{5}=t;dt= \frac{4}{5}dx;dx= \frac{5}{4}dt; \\ \int\limits { \frac{1}{ \frac{5}{2 \sqrt{2}} \sqrt{1-( \frac{4x-3}{5})^2} } } \, dx= \frac{2 \sqrt{2} }{5}* \frac{5}{4} \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{1-t^2} } } \, dt= \frac{1}{ \sqrt{2}}arcsint+C= \\ =\frac{1}{ \sqrt{2}}arcsin \frac{4x-3}{5}+C $$
Вычислить интеграл:
\( \int\limits { \frac{dx}{x^3+x^2+2x+2} } \,= \)
Решение: Разложим подинтегральную дробь на простейшие дроби.
Для этого разложим знаменатель на множители
х³+х²+2х+2=х²(x+1)+2(х+1)=(x+1)(x²+2)
Дробь раскладывается на простейшие дроби
$$ \frac{1}{x^3+x^2+2x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Mx+N}{x^2+2} $$
Приводим к общему знаменателю правую часть и приравниваем только числители
1=А·(х²+2)+Mx²+Nx+Mx+N
1=(А+M)x²+(M+N)x+2A+N
Слева многочлен нулевой степени, но его можно записать и как многочлен второй степени, если приписать 0·х²+0·х+1
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа
A+M=0 ⇒ A=-M
M+N=0 ⇒ N=-M
2A+N=1
2·(-M)+(-M)=1
M=-1/3
A=1/3
N=1/3
$$ \int \frac{1}{x^3+x^2+2x+2}dx= \int (\frac{ \frac{1}{3} }{x+1}+ \frac{ -\frac{1}{3}x+ \frac{1}{3} }{x^2+2} )dx = \\ \\ =\frac{1}{3} \int \frac{1 }{x+1}dx - \frac{1}{6}\int \frac{2x}{x^2+2}dx + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2+2}dx \\ \\ =\frac{1}{3}ln|x+1|-\frac{1}{6}ln|x^2+2|+ \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{ \sqrt{2} }arctg \frac{x}{ \sqrt{2} }+C $$
Вычислить интеграл \( \int\limits^1_0 {(x+3)e^-x} \, dx \)
Решение: $$ \int\limits_0^1(x+3)e^{-x}dx\\-\\\int(x+3)e^{-x}dx=-\int(x+3)(-e^{-x})dx\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}v=x+3&u’=-e^{-x}\\v’=1&u=e^{-x}\end{array}\right|\\\\\\\Rightarrow-\left[(x+3)e^{-x}-\int(1\cdot e^{-x})dx\right]=-\left[(x+3)e^{-x}-(-e^{-x})\right]\\\\=-\left(xe^{-x}+3e^{-x}+e^{-x}\right)=-\left(xe^{-x}+4e^{-x}\right)=-(x+4)e^{-x}\\- \\ \int\limits_0^1(x+3)e^{-x}dx=\left [-(x+4)e^{-x}\right]^1_0=-(1+4)e^{-1}+(0+4)e^{-0}\\\\=-5e^{-1}+4\cdot1=4-\frac{5}{e}=\frac{4e-5}{e} $$
Вычислить интеграл\( \int\limits^1_3( {3+ \frac{1}{ x^{2} } }) \, dx \)
Решение: ∫e−a22(x+y)(x+y)3/2dy = −2π−−√aerf(a2√x+y−−−−−√)∫e−a22(x+y)(x+y)3/2dy = −2πaerf(a2x+y)∫∞0e−a22(x+y)(x+y)3/2dy = 2π−−√aerf(a2x−−√)∫0∞e−a22(x+y)(x+y)3/2dy = 2πaerf(a2x)provided R(x) > 0 ∨x∉Rℜ(x) > 0 ∨x∉R Now, consider ∫erf(1t√)dt=(t+2)erf(1t√)+2e−1/tt√π√∫erf(1t)dt = (t+2)erf(1t)+2e−1/ttπI = ∫b0erf(1t√)dt = (b+2)erf(1b√)+2b√e−1/bπ√−2I = ∫0berf(1t)dt = (b+2)erf(1b)+2be−1/bπ−2Now, for large values of bb,I = −2+4b√π√+43πb−−√+O(1b3/2)I = −2+4bπ+43πb+O(1b3/2) which would then make 2π−−√a∫b0erf(a2x−−√) = −2π−−√a+4b√+23a21b−−√+O(1b3/2)A)
lim(x^3-3x^2+7)
x->3
б)
lim3x+12/x^2-16
x-> -4
в)
lim5x^2-11x+18/3-x^2
x->∞
2. Вычислить интегралы:
а)
2
∫(2x^2-3x)dx
-3
б)
п/3
∫dx/sin^2x
п/4
в)
1
∫ dx/√5x+1
3
Решение: Lim(x^3-3x^2+7) = 7
x->3
б)
lim3x+12/x^2-16=lim x+4/x^2-16=lim 1/x-4=-1/8
x-> -4
в)
lim 5x^2-11x+18/3-x^2 = -5
x->∞
2. Вычислить интегралы:
а)
2
∫(2x^2-3x)dx=2x^3/3-3x^2/2=185/6=30,8(3)
-3
б)
п/3
∫dx/sin^2x=1-1/корень(3) ~ 0,42265
п/4
в)
1
∫ dx/√5x+1 = 2/5*√(5x+1) = 2/5*(корень(6)-4)
3
