вычислить интеграл - страница 5
Вычислить криволинейный интеграл x(cos ydx-sin ydy), где l отрезок прямой, соединяющей начальную точку О(0,0) с конечной В(1; п/4)
Решение: Находим уравнение прямой:Так как проходит через начало координат, то ищем в виде:
у = кх
Подставив координаты В:
п/4 = к
Итак уравнение прямой: у = пх/4.
Будем вычислять криволинейный интеграл (хотя в данном случае он - прямолинейный))) ) исходя из того, что параметром будет х:
тогда :dy = y’dx = (п/4)dx
Получим:
I=1∫0x(cosaxdx−asinaxdx)=1∫0xcosaxdx−1∫0axsinaxdx
Здесь я обозначил:
а = П/4
Далее используя интегрирование по частям:
I=1a1∫0xdsinax+1∫0xdcosax=1axsinax|10−1a1∫0sinaxdx++xcosax|10−1∫0cosaxdx=1axsinax|10+1a2cosax|10+xcosax|10−
-−1asinax|10=4√22π+16π2(√22−1)+√22−4√22π=√22(16π2+1)−16π2.
Вычислить криволинейный интеграл J=∫C(2x+4Z)dx+(2y+2z)dy−12zDz вдоль одного витка винтовой линии C: {x=2cos4ty=2sin4tz=6t0≤t≤2π
Решение: ответ -864pi^2+98pi
Вычислить интеграл с точностью до 0.0001. a∫0sin(x)xdx
Верхний предел a=0.5
Решение: Используем разложение подынтегральной функции в степенной ряд:
1)sinx=x−x33!.+−1n−1(2n−1)!x2n−1.2)sinxx=1−x23!.+−1n−1(2n−)!x2n−2.
Достаточно двух прописанных членов ряда, чтобы получить точность 0,0001.
Далее вычисляем сам интеграл:
0,5∫0sinxxdx=0,5∫0(1−x23!)dx=(x−x318)|0,50=0,5−0,0069=0,4931
Вычислите интеграл
a)0,5
интеграл dx/x^2
0,25
б) п/4
интеграл cos2xdx
0
Решение: А)
тогда первообразная
вычтем из полученного значения для верхнего предела, полученное значение для нижнего предела: - 2 - ( - 4) = 2
Ответ: а) 2
б)
тогда первообразная
вычтем из полученного значения для верхнего предела, полученное значение для нижнего предела: 1/2 * sin(pi/2) - 1/2 * sin(0) = 1/2
Ответ: б) 1/2Вычислить интеграл ∫ cos(ln x)dx
Решение: используя интегрирование частямиI=∫cos(lnx)dx=x∗cos(lnx)−∫xd(cos(lnx))==x∗cos(lnx)−∫x(−sin(lnx))∗1xdx=x∗cos(lnx)+∫sin(lnx)dx==x∗cos(lnx)+x∗sin(lnx)−∫xdsin(lnx)==x∗cos(lnx)+x∗sin(lnx)−∫x∗cos(lnx)∗1xdx==x∗cos(lnx)+x∗sin(lnx)−∫cos(lnx)dx+c==x∗cos(lnx)+x∗sin(lnx)−I+c;I=x∗cos(lnx)+x∗sin(lnx)+c2
где с є R
Вычислить интеграл методом постановки [ dx/ (1+e^x)
Решение: Заменим: e^x=u, значит e^x *dx = du, получаем
∫1u(u+1)du=∫Audu+∫Bu−1du=1(u+1)u=Au+Bu+1=A(u+1)+Buu(u+1)x0:1=Ax−1:B=−1=∫1udu−∫1u+1du=ln|u|−ln|u+1|+C==ln|uu+1|+C=ln|exex+1|+C=lnexex+1+C
Вычислите интеграл : а) интеграл от 0,25 до 0, 5 dx/x^2
б) Вычислить интеграл от 0 до пи / 4 cos2xdx
Решение: А) a∫b1/x2dx
тогда первообразная −1/x
вычтем из полученного значения для верхнего предела, полученное значение для нижнего предела: - 2 - ( - 4) = 2
Ответ: а) 2
б) a∫bcos(2x)dx
тогда первообразная 1/2∗sin(2x)
вычтем из полученного значения для верхнего предела, полученное значение для нижнего предела: 1/2 * sin(pi/2) - 1/2 * sin(0) = 1/2
Ответ: б) 1/2Вычислить интеграл:
1) cos^3(x)*sin^2(x) dx
2)dx\(x^2+10x-1)
Решение: 1)∫cos3x⋅sin2xdx=∫sin2x⋅cos2x⋅cosxdx==∫sin2x(1−sin2x)cosxdx=[t=sinx,dt=cosxdx]==∫(t2−t4)dt=t33−t55+C=13sin3x−15sin5x+C2)∫dxx2+10x−1=∫dx(x+5)2−26=[t=x+5,dt=dx]==∫dtt2−26=12√26⋅ln|t−√26t+√26|+C=12√26⋅ln|x+5√26x+5+√26|+CВычислите интеграл. Объясните поэтапно, как это решить.
1∫36x2dx
π2∫π44cos2xdx
Решение:
1∫36x2dx= {Первообразная произведения числа 6 на функцию x2 равна произведению числа 6 на первообразную функции x2, получаем}
=6∗x33∣13=2x3∣13= {первообразную функции x2, получили по формуле "первообразная степенной функции", далее по формуле Ньютона-Лейбница b∫axdx=F(b)−F(a) получаем}
=2∗13−2∗33=2−54=−52π2∫π44cos2xdx={Первообразная произведения числа 4 на функцию cos2x равна произведению числа 4 на первообразную cложной функции cos2x с коэффициентом 12, получаем}
=4∗12sin2x∣π2π4=2sin2x∣π2π4= {первообразную функции cos2x, получили по формуле "первообразная тригонометрической функции", далее по формуле Ньютона-Лейбница b∫axdx=F(b)−F(a) получаем}
=2sin(2∗π2)−2sin(2∗π4)=2sinπ−2sin(π2)=−2
Вычислить интеграл, выделив целую часть дроби (применяя деление «уголком» многочлена на многочлен) и разложив интеграл на сумму более простых интегралов. ∫x5+2x2−4dx
Решение: _ x⁵ + 2 | x²-4
x⁵- 4x³ x³+4x
-
_ 4x³+2
4x³-16x
-
16x +2
(x⁵+2)/(x²-4)=x³+4x + (16x+2/(x²-4))
∫x5+2x2−4dx=∫(x3+4x+16x+2x2−4)dx==∫(x3+4x+8⋅2xx2−4+12(x−2)−12(x+2))dx===x44+2x2+8ln|x2−4|+12ln|x−2|−12ln|x+2|+C.