вычислить интеграл - страница 5

Вычислить криволинейный интеграл x(cos ydx-sin ydy), где l отрезок прямой, соединяющей начальную точку О(0,0) с конечной В(1; п/4)

Так как проходит через начало координат, то ищем в виде:

у = кх

Подставив координаты В:

п/4 = к

Итак уравнение прямой: у = пх/4.

Будем вычислять криволинейный интеграл (хотя в данном случае он - прямолинейный))) ) исходя из того, что параметром будет х:

тогда :dy = y’dx = (п/4)dx

Получим:

I=$$ \int\limits^1_0 {x(cosax} \, dx-asinaxdx)=\int\limits^1_0 {xcosax} \, dx-\int\limits^1_0 {axsinax} \, dx $$

Здесь я обозначил:

а = П/4

Далее используя интегрирование по частям:

I=$$ \frac{1}{a}\int\limits^1_0 {x} \, dsinax+\int\limits^1_0 {x} \, dcosax=\frac{1}{a}xsinax|_0^1-\frac{1}{a}\int\limits^1_0 {sinax} \, dx+ \\ +xcosax|_0^1-\int\limits^1_0 {cosax} \, dx=\frac{1}{a}xsinax|_0^1+\frac{1}{a^2}cosax|_0^1+xcosax|_0^1- $$

-$$ -\frac{1}{a}sinax|_0^1=\frac{4\sqrt{2}}{2\pi}+\frac{16}{\pi^2}{(\frac{\sqrt{2}}{2}-1)+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{4\sqrt{2}}{2\pi}}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{16}{\pi^2}+1)-\frac{16}{\pi^2}. $$

Вычислить криволинейный интеграл \( J=\int_C (2x+4Z)dx +(2y+2z)dy -12zDz \) вдоль одного витка винтовой линии C: \( \begin{cases} x=2cos4t \\ y=2sin4t \\ z=6t \end{cases} \, \, 0\leq t\leq 2\pi\)

Вычислить интеграл с точностью до 0.0001. \( \int\limits^a_0 { \frac{sin(x)}{x} } \, dx \)
Верхний предел a=0.5

Вычислите интеграл
a)0,5
интеграл dx/x^2
0,25
б) п/4
интеграл cos2xdx
0

Вычислить интеграл ∫ cos(ln x)dx

$$ I=\int {cos(ln x)}\, dx= x *cos(ln x) - \int {x}\, d (cos (ln x))=\\= x*cos(ln x)-\int {x(-sin (ln x))*\frac{1}{x}}\, dx= x *cos(ln x)+\int sin (ln x)\, dx=\\= x *cos(ln x)+x*sin(ln x)-\int {x}\, d{sin (ln x)}=\\= x *cos(ln x)+x*sin(ln x)-\int {x *cos (lnx)*\frac {1}{x}}\, d{x}=\\= x *cos(ln x)+x*sin(ln x)-\int {cos (lnx)}\, d{x}+c=\\= x *cos(ln x)+x*sin(ln x)-I+c; \\ I=\frac {x *cos(ln x)+x*sin(ln x)+c} {2} $$

где с є R

Вычислить интеграл методом постановки [ dx/ (1+e^x)

Вычислите интеграл : а) интеграл от 0,25 до 0, 5 dx/x^2
б) Вычислить интеграл от 0 до пи / 4 cos2xdx

Вычислить интеграл:
1) cos^3(x)*sin^2(x) dx
2)dx\(x^2+10x-1)

Вычислите интеграл. Объясните поэтапно, как это решить.
\( \int\limits^1_3 6 x^{2} \, dx \)
\( \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _ \frac{ \pi }{4} 4cos2{x} \, dx \)

$$ \int\limits^1_3 {6x^2} \, dx = $$ {Первообразная произведения числа 6 на функцию $$ x^{2} $$ равна произведению числа 6 на первообразную функции  $$ x^{2} $$, получаем}
$$ =6* \frac{x^3}{3} \mid ^1_3 =2 x^{3} \mid ^1_3= $$ {первообразную функции  $$ x^{2} $$, получили по формуле "первообразная степенной функции", далее по формуле Ньютона-Лейбница $$ \int\limits^b_a {x} \, dx =F(b)-F(a) $$ получаем}
$$ =2*1^3-2*3^3=2-54=-52 \\ \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _ \frac{ \pi }{4} {4cos2x} \, dx = $${Первообразная произведения числа 4 на функцию $$ cos2x $$ равна произведению числа 4 на первообразную cложной функции  $$ cos2x $$ с коэффициентом $$ \frac{1}{2} $$, получаем}
$$ =4* \frac{1}{2}sin2x \mid ^ \frac{ \pi }{2} _\frac{ \pi }{4}=2sin2x \mid ^ \frac{ \pi }{2} _ \frac{ \pi }{4}= $$ {первообразную функции  $$ cos2x $$, получили по формуле "первообразная тригонометрической функции", далее по формуле Ньютона-Лейбница $$ \int\limits^b_a {x} \, dx =F(b)-F(a) $$ получаем}
$$ =2sin(2*\frac{ \pi }{2})-2sin(2* \frac{ \pi }{4})=2sin \pi - 2sin( \frac{ \pi }{2}) =-2 $$

Вычислить интеграл, выделив целую часть дроби (применяя деление «уголком» многочлена на многочлен) и разложив интеграл на сумму более простых интегралов. \( \int\limits { \frac{x^5+2}{x^2-4} } \, dx \)