интеграл »
вычислить интеграл - страница 5
Вычислите интегралы:
\( \int\limits^0_{-2} {(3x^2+10)} \, dx ;\\ \int\limits^2_0 {(6x^2-2x+5)} \, dx;\\ \int\limits^\frac{\pi}{2}_0 {cos^2\frac{x}{4}} \, dx \)
Решение: $$ 1)\quad \int\limits^0_{-2} {(3x^2+10)} \, dx =(3\cdot \frac{x^3}{3}+10x)|_{-2}^0=\\\\=0-\left ((-2)^3+10\cdot (-2)\right )=-(-8-20)=28\\\\2)\quad \int _0^2(6x^2-2x+5)dx=(6\cdot \frac{x^3}{3}-2\cdot \frac{x^2}{2}+5x)|_0^2=\\\\=2\cdot 8-4+10-0=22\\\\3)\quad \int _0^{\frac{\pi}{2}}cos^2\frac{x}{4}\, dx=\frac{1}{2}\cdot \int _0^{\frac{\pi}{2}}(1+cos\frac{x}{2})dx=\frac{1}{2}(x+2sin\frac{x}{2})|_0^{\frac{\pi}{2}}= $$
$$ =\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}+2sin\frac{\pi}{4})-0=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}+2\cdot \frac{\sqrt2}{2})= \ \frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt2}{2} $$Вычислить интеграл:
\( \int\limits^ \frac{3}{4} _ \frac{4}{7} ({ 3x^{4}-2x } )\,dx \)
Решение: $$ \int\limits_\frac47^\frac34\left(3x^4-2x\right)dx=\\=\int\limits_\frac47^\frac343x^4dx-\int\limits_\frac47^\frac342xdx=3\cdot\frac{1}{4+1}x^{4+1}\left|_\frac47^\frac34-2\cdot\frac{1}{1+1}x^{1+1}\right|_\frac47^\frac34=\\ =3\cdot\frac15x^5\left|_\frac47^\frac34-2\cdot\frac122x^2\right|_\frac47^\frac34=\frac35x^5\left|_\frac47^\frac34-x^2\right|_\frac47^\frac34=\\ =\frac35\left(\left(\frac{3}{4}\right)^5-\left(\frac47\right)^5\right)-\left(\left(\frac34\right)^2-\left(\frac47\right)^2\right)=\\ \\ =\frac35\left(\frac{3^5}{4^5}-\frac{4^5}{7^5}\right)-\left(\frac{3^2}{4^2}-\frac{4^2}{7^2}\right)= \frac35\cdot\frac{3^5\cdot7^5-4^{10}}{4^5\cdot7^5}-\frac{3^2\cdot7^2-4^4}{4^2\cdot7^2}=\\ =\frac35\cdot\frac{4084101-1048576}{28^5}-\frac{441-256}{28^2}=\\=\frac35\cdot\frac{3035525}{28^5}-\frac{185}{28^2}=\frac{1821312}{28^5}-\frac{185}{28^2}=\\ =\frac{1821312-28^3\cdot185}{28^5}=\frac{1821312-4061120}{28^5}= $$
Вычислите интегралы:
1) \( \int\limits^{12}_2 \frac{dx}{ \sqrt{3x-1} } \)
2) \( \int\limits^{12}_4 \frac{dx}{ \sqrt{2x+1} } \)
3) \( \int\limits^3_2 \frac{2x^{3}+ x^{2} +2x+ 1 }{1+ x^{2} } dx \)
4) \( \int\limits^{-2}_{-3} \frac{ x^{3}- x^{2} -x+1 }{ x^{2} -1} dx \)
Решение: 1
=2/3*√(3x-1)|12-2=2/3*(√35-√5)
2
=√(2x+1)|12-4=√25-√9=5-3=2
3
(2x³+x²+2x+1)/(1+x²)=[x²(2x+1)+(2x+1)]/(1+x²)=(2x+1)(x²+1)/(1+x²)=2x+1
Под знаком интеграла будет 2х+1 интеграл равен
=x²+x|3-2=9+3-4-2=6
4
(x³-x²-x+1)/(x²-1)=[x²(x-1)-(x-1)]/(x²-1)=(x-1)(x²-1)/(x²-1)=x-1
Под знаком интеграла будет x-1 интеграл равен
=x²/2-x|-2-(-3)=2+2-4,5-3=-3,5
$$ 1) \int _2^{12}\frac{dx}{\sqrt{3x-1}}=\frac{2}{3}\sqrt{3x-1}\, |_2^{12}=\frac{2}{3}(\sqrt{35}-\sqrt{5})\\\\2)\; \; \int _4^{12}\frac{dx}{\sqrt{2x+1}}= \frac{2}{2} \cdot \sqrt{2x+1}\; |_4^{12}=\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2\\\\3)\; \; \int _2^3\frac{2x^3+x^2+2x+1}{1+x^2}dx=\int _2^3 \frac{2x(x^2+1)+(x^2+1)}{x^2+1} dx=\\\\=\int _2^3\frac{(x^2+1)(2x+1)}{x^2+1}dx=\int _2^3(2x+1)dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2x+1)^2}{2}|_2^3=\\\\=\frac{1}{4}(7^2-5^2)=\frac{1}{4}(49-25)=\frac{24}{4}=6 \\ 4)\; \; \int \limits _{-3}^{-2}\frac{x^3-x^2-x+1}{x^2-1}dx=\int\limits _{-3}^{-2}\frac{x^2(x-1)-(x-1)}{x^2-1}dx=\\\\=\int \limits _{-3}^{-2}\frac{(x-1)(x^2-1)}{x^2-1}dx=\int \limits (x-1)dx=\frac{(x-1)^2}{2}|_{-3}^{-2}=\\\\=\frac{1}{2}((-3)^2-(-4)^2)=\frac{1}{2}(9-16)=-\frac{7}{2}=-3,5 $$
1) найти производную
f(x)=x^sqrt3-x^-sqrt3
Sqrt-корень квадратный
2) вычислить интеграл
Вверху1 внизу 0; x^sqrt3dx
3) найти найти min и max функции
f(x)=x^2*lnx
Решение: Производная степенной функции находится по формуле
(x^n)’=n * x^(n-1).
1. (x^√3 - x^(-√3))’ = √3 *x^(√3 -1) -(-√3) * x^(-√3 -1) =
=√3 *( x^(√3 - 1) + x^(-√3 - 1)).
3. Для нахождения максимума и минимума функции нужно найти ее производную, приравнять нулю, найти критические точки, решив уравнение f’(x) = 0. Потом определить знаки производной и поведение функции на интервалах. $$ \int\limits^1_0 {x^{ \sqrt{3} }} \, dx = \frac{x^{ \sqrt{3}+1 }}{\sqrt{3}+1} |^1_0= \frac{1^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}- \frac{0^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1} = \frac{1}{\sqrt{3}+1} $$2)
Вычислить интегралы:
\( \int\limits^2_1 {x^{3}+2x+1 } \, dx \)
\( \int\limits^1_0 { \frac{dx}{(3x+1)^4} } \, dx \)
\( \int\limits {x*lnx} \, dx \)
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями:
x+2y-4=0; y=0; x= -3; x=2
Решение: $$ 1)\quad \int \limits _1^2(x^3+2x+1)dx=(\frac{x^4}{4}+x^2+x)|_1^2=\\\\=4+4+2-(\frac{1}{4}+1+1)=10-\frac{1}{4}-2=7\frac{3}{4}\\\\2)\quad \int \limits _0^1\frac{dx}{(3x+1)^4}=\frac{(3x+1)^{-3}}{-3}\; |_0^1=-\frac{1}{3}(\frac{1}{4^3}-\frac{1}{1^3})=\frac{1}{4}\\\\3)\; \; \int x\cdot lnx\, dx=[\; u=lnx,\; du=\frac{dx}{x},\; dv=x\, dx,\; v=\frac{x^2}{2}\; ]=\\\\=[\; \int \; u\cdot dv=uv-\int \; v\cdot du\; ]=\\\\=\frac{x^2}{2}\cdot lnx-\int \frac{x}{2}dx= \frac{x^2}{2}\cdot lnx-\frac{x^2}{4} +C \\ 4)\quad x+2y-4=0\;,\; \; y=0\;,\; x=-3\;,\; \; x=2\\\\2y=-x+4\;,\; \; y=-\frac{x}{2}+2\\\\S=\int \limits _{-3}^2(-\frac{x}{2}+2)dx=(-\frac{x^2}{4}+2x)|_{-3}^2=-1+4-(-\frac{9}{4}-6)=\\\\=3+6+\frac{9}{4}=9+\frac{9}{4}=\frac{45}{4}=11,25 $$
