интеграл »

вычислить интеграл

  • Вычислить интеграл с помощью формул понижения степени \( \int_0^{\frac{\pi}{3}} sin^2(x-\frac{\pi}{6})dx \)


    Решение:  $$ \int_0^{\frac{\pi}{3}} sin^2(x-\frac{\pi}{6})dx=\frac{1}{2}\int (1-cos(2x-\frac{\pi}{3}))dx=\\=\frac{1}{2}x|_0^{\frac{\pi}{3}}-\frac{1}{4}sin(2x-\frac{\pi}{3})|_0^{\frac{\pi}{3}}=\\=\frac{\pi}{6}-\frac{1}{4}(sin\frac{\pi}{3}-sin(-\frac{\pi}{3}))=\frac{\pi}{6}-\frac{1}{4}(\frac{\sqrt3}{2}\cdot 2)=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{4} $$

    Sin^2(x-pi/6)=(1-cos2(x-pi/6))/2=1/2-cos2(x-pi/6)  интеграл(1./2)-интеграл(cos(x-pi/6)/2) =1/2x|(0  pi/3)-sin(x-pi/6)/2 (0  pi/3)=1/2(pi/3-0)-1/2sin(pi/3-pi/6)+1/2sin(0-pi/6=pi/6-1/2*1/2+1/2*1/2=pi/6

  • вычислить интеграл ((квадратный кореньиз х)+1))dx / корень шестой степени из х в 7ой +корень шестой степенииз х в 5ой


    Решение: $$ I=\int{\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[6]{x^7}}+\sqrt[6]{x^5}}\, dx= \int{\frac{6t^5(t^3+1)}{t^7+t^5}}\, dt; $$

    Здесь мы сделали замену переменной:

    $$ t=\sqrt[6]{x}. $$

    Тогда x = t⁶,  dx = 6t⁵dt

    Продолжаем искать интеграл с новой переменной и сократив на t⁵, приходим к виду:

    $$ I=\int{\frac{6(t^3+1)}{t^2+1}}\, dt=6\int{\frac{t^3}{t^2+1}}\, dt+6\int{\frac{1}{t^2+1}}\, dt=3\int{\frac{z}{z+1}}\, dz+6arctgt; $$

    Где z = t²

    $$ I=3\int{\frac{(z+1)-1}{z+1}}\, dz+6arctgt=3z-3ln|z+1|+6arctgt+C; $$

    Возвращаемся к переменной х и получаем ответ:

    $$ I=3\sqrt[3]{x}-3ln|\sqrt[3]{x}+1|+6arctg\sqrt[6]{x}+C. $$

  • Вычислить интеграл: Верхнее 2, нижнее -2. dx/под корнем 2x+5


    Решение: $$ \int\limits^2_{-2} { \frac{dx}{ \sqrt{2x+5} } } = \sqrt{2x+5} = \sqrt{2*2+5} - \sqrt{2*(-2)+5}= \sqrt{9} - \sqrt{1} =2 \\ \int\limits {x^a} \, dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} +C $$
    С - просто какое то число (в нашем примере оно не нужно
    х - переменная (в нашем примере это сложная переменная (2х+5))
    а - число (в нашем примере т. к. 1 делим на корень, то степень \( - \frac{1}{2}\))

  • Вычислить интеграл (3x^2-(3/(x^2/3)+5/(x^2)-7)dx


    Решение: Для начала разобьем интеграл по частям. $$ \int\limits {3x^2} \, dx - \int\limits {(3/(x^(2/3)} \, dx + \int\limits {5/(x^2)} \, dx -7 \int\limits {x} \, dx $$
    Затем подставим пределы интегральной суммы:
    $$ \lim_{n \to \infty} 7 \lim_{n \to \infty} (3x^2-(3/(x^2/3)+5/(x^2)) \lim_{n \to \infty} $$
    И решая пределы получим:
    $$ \lim_{n \to \infty} 3X^2= $$Δα/Δβ+2πk=3/(4*√2)

  • Вычислить интеграл
    1). ∫₁² (3x² - 4x - 2/x²) dx
    2) ∫₁⁴ (4√x - 3x²)dx


    Решение: Разность интеграла есть разность интегралов.
    То есть каждую часть ты берете и интегрируете, далее подставляете границы. 
    Ну я в общем все реши, держи:
    _______________________
    $$ \int\limits^2_1 {( 3x^{2}-4x- \frac{2}{ x^{2} }) } \, dx = \int\limits^2_1 {3 x^{2} } \, dx - \int\limits^2_1 {4x} \, dx - \int\limits^2_1 { \frac{2}{ x^{2} } } \, dx = x^{3} - 2 x^{2} + \frac{2}{x} $$
    Там понятно, что у каждого границы от 1 до 2, поэтому я не писал.
    Далее находим их значения:
    $$ (8-1)-(8-2)+(1-2)=0 $$
    __________________________
    $$ \int\limits^4_1 {(4 \sqrt{x} -3 x^{2} )} \, dx = \int\limits^4_1 {4 \sqrt{x} } \, dx - \int\limits^4_1 {3 x^{2} } \, dx = 4 \int\limits^4_1 { \sqrt{x} } \, dx - 3 \int\limits^4_1 { x^{2} } \, dx \\ \frac{8 \sqrt{ x^{3} } }{3}- x^{3} $$
    Далее подставляем границы и получаем:
    Но я подумал, желательно тебе расписать еще так:
    $$ \frac{8}{3} \sqrt{ x^{3} } - x^{3} $$ 
    Так будет легче подставлять границы.
    $$ \frac{8}{3}(8-1)-(64-1) \\ 7* \frac{8}{3}-63 \\ \frac{56}{3}-63= \frac{56-189}{3}= -\frac{133}{3} $$

  • Обьясните, как вычислить интеграл 45x/x^3


    Решение: $$ \int\frac{45x}{x^3} \, dx = - \frac{15}{x^3} $$ +C

    \(\int\)45х/x^3dx=постоянный множитель, в нашем случае 45, выносится за знак интеграла, а Х в числителе и знаменателе сократятся и останется =
    45\(\int\)1/х²dx=45\(\int\)(х^-2)dx = теперь под знаком интеграла табличный интеграл вида х^n, \(\int\) от х^n=x^(n+1)/(n+1) +С, в нашем виде n=-2, тогда
    =45*(x^(-2+1))/(-2+1)=-45/x +С

  • Вычислить интегралы.
    1) \( \int^8_1 { \sqrt[3]{ x^{2} } }\, dx \)
    2) \( \int^7_8 {\frac{dx}{ \sqrt[3]{x}}} \) (интеграл запишите не 7, а 27 и 8)


    Решение: $$ = \int\limits^8_1 { x^{ \frac{2}{3} } } \, dx = \frac{3 x^{ \frac{5}{3} } }{5} = \frac{3 \sqrt[3]{ 8^{5} } }{5} - \frac{3}{5} = \frac{93}{5}= 18,6 \\ \int\limits^{27}_8 { x^{ \frac{1}{3} } } \, dx = \frac{3 x^{ \frac{4}{3} } }{4}= \frac{3 \sqrt[3]{ 27^{4} } }{4} - \frac{3 \sqrt[3]{ 8^{4} } }{4} =48,75 $$

    $$ 1) \int^8_1 { \sqrt[3]{x^2} } \, dx =\int^8_1 { x^{ \frac{2}{3} } } \, dx =( \frac{x^{ \frac{2}{3} +1}}{\frac{2}{3} +1} ) |=( \frac{x^{ \frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} ) |=( \frac{3x \sqrt[3]{x^2} }{5} ) |= \\ = \frac{3*8 \sqrt[3]{8^2} }{5}-\frac{3*1 \sqrt[3]{1^2} }{5}= \frac{3*8*4}{5} - \frac{3}{5}= \frac{96-3}{5}= \frac{93}{5}= 18 \frac{3}{5} \\ 2) \int^{27}_8 \frac{dx}{\sqrt[3]{x}} = \int^{27}_8 {x^{-\frac{1}{3}}}dx= \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1}| = \frac{3 \sqrt[3]{x^2} }{2}| =\frac{3\sqrt[3]{27^2}}{2}-\frac{3\sqrt[3]{8^2}}{2}= \\ \\ =\frac{3*9 }{2}-\frac{3 *4 }{2}= \frac{27-12}{2}= \frac{15}{2}=7,5 $$

  • Вычислить интеграл: \( \int \frac{dx}{ \sqrt{2+3x-2 x^{2}} } \)


    Решение:                           Решение :
    .

    Выделим полный квадрат.
    $$ -2 x^{2} +3x+2=2-(2x^2-3x+ \frac{9}{8}- \frac{9}{8})= \\ =2-( (\sqrt{2}x)^2-2* \sqrt{2}* \frac{3}{2\sqrt{2}} x+( \frac{3}{2\sqrt{2}})^2 )+ \frac{9}{8}= \\ =\frac{25}{8}-( \sqrt{2}x- \frac{3}{ \sqrt{8}})^2= \frac{25}{8}(1-( \frac{ \frac{4x-3}{ \sqrt{8}}}{\frac{5}{ \sqrt{8} }})^2)=\frac{25}{8}(1-( \frac{4x-3}{5})^2) \\ \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{2+3x-2 x^{2} } } } \, dx= \int\limits { \frac{1}{ \frac{5}{2 \sqrt{2}} \sqrt{1-( \frac{4x-3}{5})^2} } } \, dx \\ \frac{4x-3}{5}=t;dt= \frac{4}{5}dx;dx= \frac{5}{4}dt; \\ \int\limits { \frac{1}{ \frac{5}{2 \sqrt{2}} \sqrt{1-( \frac{4x-3}{5})^2} } } \, dx= \frac{2 \sqrt{2} }{5}* \frac{5}{4} \int\limits { \frac{1}{ \sqrt{1-t^2} } } \, dt= \frac{1}{ \sqrt{2}}arcsint+C= \\ =\frac{1}{ \sqrt{2}}arcsin \frac{4x-3}{5}+C $$

                              Решение . Выделим полный квадрат. - x x - x - x frac - frac - sqrt x - sqrt frac sqrt x frac sqrt frac frac - sqrt x- frac sqrt frac - frac frac x-...

  • Вычислить интеграл:
    \( \int\limits { \frac{dx}{x^3+x^2+2x+2} } \,= \)


    Решение: Разложим подинтегральную дробь на простейшие дроби.
    Для этого разложим знаменатель на множители
    х³+х²+2х+2=х²(x+1)+2(х+1)=(x+1)(x²+2)
    Дробь раскладывается на простейшие дроби
    $$ \frac{1}{x^3+x^2+2x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Mx+N}{x^2+2} $$
    Приводим к общему знаменателю правую часть и приравниваем только числители
    1=А·(х²+2)+Mx²+Nx+Mx+N
    1=(А+M)x²+(M+N)x+2A+N
    Слева многочлен нулевой  степени, но его можно записать и как многочлен второй степени, если приписать 0·х²+0·х+1
    Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа
    A+M=0  ⇒   A=-M
    M+N=0  ⇒   N=-M
    2A+N=1
    2·(-M)+(-M)=1
    M=-1/3
    A=1/3
    N=1/3
    $$ \int \frac{1}{x^3+x^2+2x+2}dx= \int (\frac{ \frac{1}{3} }{x+1}+ \frac{ -\frac{1}{3}x+ \frac{1}{3} }{x^2+2} )dx = \\ \\ =\frac{1}{3} \int \frac{1 }{x+1}dx - \frac{1}{6}\int \frac{2x}{x^2+2}dx + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2+2}dx \\ \\ =\frac{1}{3}ln|x+1|-\frac{1}{6}ln|x^2+2|+ \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{ \sqrt{2} }arctg \frac{x}{ \sqrt{2} }+C $$

  • Вычислить интеграл \( \int\limits^1_0 {(x+3)e^-x} \, dx \)


    Решение: $$ \int\limits_0^1(x+3)e^{-x}dx\\-\\\int(x+3)e^{-x}dx=-\int(x+3)(-e^{-x})dx\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}v=x+3&u’=-e^{-x}\\v’=1&u=e^{-x}\end{array}\right|\\\\\\\Rightarrow-\left[(x+3)e^{-x}-\int(1\cdot e^{-x})dx\right]=-\left[(x+3)e^{-x}-(-e^{-x})\right]\\\\=-\left(xe^{-x}+3e^{-x}+e^{-x}\right)=-\left(xe^{-x}+4e^{-x}\right)=-(x+4)e^{-x}\\- \\ \int\limits_0^1(x+3)e^{-x}dx=\left [-(x+4)e^{-x}\right]^1_0=-(1+4)e^{-1}+(0+4)e^{-0}\\\\=-5e^{-1}+4\cdot1=4-\frac{5}{e}=\frac{4e-5}{e} $$

1 2 3 > >>