интеграл »

вычислить интеграл - страница 3

  • найти интеграл:
    1. ∫ x³dx/³√(5x⁴+2)²
    2. вычислите интегралы:
    а). верху 1 внизу0 ∫dx/(3x+1)⁴
    б). верху 1внизу 0 ∫arcsinxdx


    Решение: $$ 1)\; \int \frac{x^3\, dx}{\sqrt[3]{(5x^4+2)^2}}=[t=5x^4+2,\; dt=20x^3\, dx\; \to \; x^3\, dx=\frac{dt}{20}\, ]=\\\\=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{2}\int t^{-\frac{2}{3}}dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}+C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{5x^4+2}+C\\\\2a)\; \int _0^1\frac{dx}{(3x+1)^4}=[\, t=3x+1,\; dt=3\, dx\; \to \; dx=\frac{dt}{3},\;\\\\ t_1=3\cdot 1+1=4\;,\; t_2=3\cdot 0+1=1\, ]=\\\\=\frac{1}{3}\cdot \int _1^4\, t^{-4}\, dt=\frac{1}{3}\cdot \frac{t^{-3}}{-3}+C= \\ =-\frac{1}{9(3x+1)^3}+C\\\\2b)\; \int_0^1arcsinx\, dx=[\, u=arcsinx,\; du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},\; dv=dx,\; v=x\, ]=\\\\=x\cdot arcsinx\, |_0^1-\int _0^1\frac{x\; dx}{\sqrt{1-x^2}}=(1\cdot arcsin1-0)+\frac{1}{2}\int_0^1\frac{d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}=\\\\=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1-x^2}\, |_0^1=\frac{\pi}{2}+(0-1)=\frac{\pi}{2}-1 $$

  • Обьясните, как вычислить интеграл 45x/x^3


    Решение: $$ \int\frac{45x}{x^3} \, dx = - \frac{15}{x^3} $$ +C

    \(\int\)45х/x^3dx=постоянный множитель, в нашем случае 45, выносится за знак интеграла, а Х в числителе и знаменателе сократятся и останется =
    45\(\int\)1/х²dx=45\(\int\)(х^-2)dx = теперь под знаком интеграла табличный интеграл вида х^n, \(\int\) от х^n=x^(n+1)/(n+1) +С, в нашем виде n=-2, тогда
    =45*(x^(-2+1))/(-2+1)=-45/x +С

  • Вычислить интегралы.
    1) \( \int^8_1 { \sqrt[3]{ x^{2} } }\, dx \)
    2) \( \int^7_8 {\frac{dx}{ \sqrt[3]{x}}} \) (интеграл запишите не 7, а 27 и 8)


    Решение: $$ = \int\limits^8_1 { x^{ \frac{2}{3} } } \, dx = \frac{3 x^{ \frac{5}{3} } }{5} = \frac{3 \sqrt[3]{ 8^{5} } }{5} - \frac{3}{5} = \frac{93}{5}= 18,6 \\ \int\limits^{27}_8 { x^{ \frac{1}{3} } } \, dx = \frac{3 x^{ \frac{4}{3} } }{4}= \frac{3 \sqrt[3]{ 27^{4} } }{4} - \frac{3 \sqrt[3]{ 8^{4} } }{4} =48,75 $$

    $$ 1) \int^8_1 { \sqrt[3]{x^2} } \, dx =\int^8_1 { x^{ \frac{2}{3} } } \, dx =( \frac{x^{ \frac{2}{3} +1}}{\frac{2}{3} +1} ) |=( \frac{x^{ \frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} ) |=( \frac{3x \sqrt[3]{x^2} }{5} ) |= \\ = \frac{3*8 \sqrt[3]{8^2} }{5}-\frac{3*1 \sqrt[3]{1^2} }{5}= \frac{3*8*4}{5} - \frac{3}{5}= \frac{96-3}{5}= \frac{93}{5}= 18 \frac{3}{5} \\ 2) \int^{27}_8 \frac{dx}{\sqrt[3]{x}} = \int^{27}_8 {x^{-\frac{1}{3}}}dx= \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1}| = \frac{3 \sqrt[3]{x^2} }{2}| =\frac{3\sqrt[3]{27^2}}{2}-\frac{3\sqrt[3]{8^2}}{2}= \\ \\ =\frac{3*9 }{2}-\frac{3 *4 }{2}= \frac{27-12}{2}= \frac{15}{2}=7,5 $$

  • Вычислите интеграл
    Интеграл от -3П до 0 cos3xdx
    Интеграл от 1 до 3 3x-1/2dx


    Решение: $$ \int\limits^0_{-3 \pi } {cos3x} \, dx= \frac{1}{3} \int\limits^0_{-3 \pi } {cos3x} \, d(3x)= \frac{1}{3} \cdot(-sin3x)|^0_{-3 \pi }= \\ \\ ==\frac{1}{3} \cdot(-sin0+sin(-9 \pi ))=0 \\ \int\limits^1_3 { \frac{3x-1}{2} } \, dx= \frac{1}{3} \int\limits^1_3 { \frac{3x-1}{2} } \, d(3x-1)= \\ \\ =\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \int\limits^1_3 { (3x-1) } \, d(3x-1)= \frac{1}{6} \cdot \frac{(3x-1)^2}{2} |^1_3= \\ \\ =\frac{1}{6} \cdot( \frac{(3\cdot 3-1)^2}{2} -\frac{(3\cdot 1-1)^2}{2})=\frac{1}{6} \cdot( \frac{8^2}{2}- \frac{2^2}{2})=5 $$

  • Вычислите Интеграл\( -\frac{2}{3} ^{ \int\limits^1{x ^{3} } \, dx } \\ \int^3_1 \frac{dx} x^{2} \\ \int^{\pi}_{\frac{\pi}{2}} sinx\, dx \) )


    Решение: $$ \int\limits^1_{-2/3} {x^3} \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} |_{-2/3}^1=\frac{x^4}{4} |_{-2/3}^1=\frac{1^4}{4}-\frac{(-2/3)^4}{4}=\frac{1}{4}-\frac{2^4}{4*3^4}= \frac{3^4-2^4}{4*3^4}= \\ = \frac{65}{324} \\ \int\limits^3_1 \, \frac{dx}{x^2} = \int\limits^3_1 x^{-2} \, dx= \frac{x^{-2+1}}{-2+1} |_1^3=- \frac{1}{x} |_1^3= \\ =- \frac{1}{3}+ \frac{1}{1} = \frac{2}{3} \\ \int\limits^ \pi _{ \pi /2} sin{x} \, dx =-cosx|_{ \pi /2}^ \pi =-cos \pi +cos \frac{ \pi }{2} =1 $$

<< < 123 4 5 > >>