интеграл »

вычислить интеграл - страница 3

  • Вычислите интегралы:
    \( \int\limits^0_{-2} {(3x^2+10)} \, dx ;\\ \int\limits^2_0 {(6x^2-2x+5)} \, dx;\\ \int\limits^\frac{\pi}{2}_0 {cos^2\frac{x}{4}} \, dx \)


    Решение: $$ 1)\quad \int\limits^0_{-2} {(3x^2+10)} \, dx =(3\cdot \frac{x^3}{3}+10x)|_{-2}^0=\\\\=0-\left ((-2)^3+10\cdot (-2)\right )=-(-8-20)=28\\\\2)\quad \int _0^2(6x^2-2x+5)dx=(6\cdot \frac{x^3}{3}-2\cdot \frac{x^2}{2}+5x)|_0^2=\\\\=2\cdot 8-4+10-0=22\\\\3)\quad \int _0^{\frac{\pi}{2}}cos^2\frac{x}{4}\, dx=\frac{1}{2}\cdot \int _0^{\frac{\pi}{2}}(1+cos\frac{x}{2})dx=\frac{1}{2}(x+2sin\frac{x}{2})|_0^{\frac{\pi}{2}}= $$
     
     $$ =\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}+2sin\frac{\pi}{4})-0=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}+2\cdot \frac{\sqrt2}{2})= \ \frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt2}{2} $$ 

  • Вычислить интеграл:
    \( \int\limits^ \frac{3}{4} _ \frac{4}{7} ({ 3x^{4}-2x } )\,dx \)


    Решение: $$ \int\limits_\frac47^\frac34\left(3x^4-2x\right)dx=\\=\int\limits_\frac47^\frac343x^4dx-\int\limits_\frac47^\frac342xdx=3\cdot\frac{1}{4+1}x^{4+1}\left|_\frac47^\frac34-2\cdot\frac{1}{1+1}x^{1+1}\right|_\frac47^\frac34=\\ =3\cdot\frac15x^5\left|_\frac47^\frac34-2\cdot\frac122x^2\right|_\frac47^\frac34=\frac35x^5\left|_\frac47^\frac34-x^2\right|_\frac47^\frac34=\\ =\frac35\left(\left(\frac{3}{4}\right)^5-\left(\frac47\right)^5\right)-\left(\left(\frac34\right)^2-\left(\frac47\right)^2\right)=\\ \\ =\frac35\left(\frac{3^5}{4^5}-\frac{4^5}{7^5}\right)-\left(\frac{3^2}{4^2}-\frac{4^2}{7^2}\right)= \frac35\cdot\frac{3^5\cdot7^5-4^{10}}{4^5\cdot7^5}-\frac{3^2\cdot7^2-4^4}{4^2\cdot7^2}=\\ =\frac35\cdot\frac{4084101-1048576}{28^5}-\frac{441-256}{28^2}=\\=\frac35\cdot\frac{3035525}{28^5}-\frac{185}{28^2}=\frac{1821312}{28^5}-\frac{185}{28^2}=\\ =\frac{1821312-28^3\cdot185}{28^5}=\frac{1821312-4061120}{28^5}= $$

  • Вычислите интегралы:
    1) \( \int\limits^{12}_2 \frac{dx}{ \sqrt{3x-1} } \)
    2) \( \int\limits^{12}_4 \frac{dx}{ \sqrt{2x+1} } \)
    3) \( \int\limits^3_2 \frac{2x^{3}+ x^{2} +2x+ 1 }{1+ x^{2} } dx \)
    4) \( \int\limits^{-2}_{-3} \frac{ x^{3}- x^{2} -x+1 }{ x^{2} -1} dx \)


    Решение: 1
    =2/3*√(3x-1)|12-2=2/3*(√35-√5)
    2
    =√(2x+1)|12-4=√25-√9=5-3=2
    3
    (2x³+x²+2x+1)/(1+x²)=[x²(2x+1)+(2x+1)]/(1+x²)=(2x+1)(x²+1)/(1+x²)=2x+1
    Под знаком интеграла будет 2х+1 интеграл равен
    =x²+x|3-2=9+3-4-2=6
    4
    (x³-x²-x+1)/(x²-1)=[x²(x-1)-(x-1)]/(x²-1)=(x-1)(x²-1)/(x²-1)=x-1
    Под знаком интеграла будет x-1 интеграл равен
    =x²/2-x|-2-(-3)=2+2-4,5-3=-3,5

    $$ 1) \int _2^{12}\frac{dx}{\sqrt{3x-1}}=\frac{2}{3}\sqrt{3x-1}\, |_2^{12}=\frac{2}{3}(\sqrt{35}-\sqrt{5})\\\\2)\; \; \int _4^{12}\frac{dx}{\sqrt{2x+1}}= \frac{2}{2} \cdot \sqrt{2x+1}\; |_4^{12}=\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2\\\\3)\; \; \int _2^3\frac{2x^3+x^2+2x+1}{1+x^2}dx=\int _2^3 \frac{2x(x^2+1)+(x^2+1)}{x^2+1} dx=\\\\=\int _2^3\frac{(x^2+1)(2x+1)}{x^2+1}dx=\int _2^3(2x+1)dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2x+1)^2}{2}|_2^3=\\\\=\frac{1}{4}(7^2-5^2)=\frac{1}{4}(49-25)=\frac{24}{4}=6 \\ 4)\; \; \int \limits _{-3}^{-2}\frac{x^3-x^2-x+1}{x^2-1}dx=\int\limits _{-3}^{-2}\frac{x^2(x-1)-(x-1)}{x^2-1}dx=\\\\=\int \limits _{-3}^{-2}\frac{(x-1)(x^2-1)}{x^2-1}dx=\int \limits (x-1)dx=\frac{(x-1)^2}{2}|_{-3}^{-2}=\\\\=\frac{1}{2}((-3)^2-(-4)^2)=\frac{1}{2}(9-16)=-\frac{7}{2}=-3,5 $$

  • 1) найти производную
    f(x)=x^sqrt3-x^-sqrt3
    Sqrt-корень квадратный
    2) вычислить интеграл
    Вверху1 внизу 0; x^sqrt3dx
    3) найти найти min и max функции
    f(x)=x^2*lnx


    Решение: Производная степенной функции находится по формуле
     (x^n)’=n * x^(n-1).
    1. (x^√3 - x^(-√3))’ = √3 *x^(√3 -1) -(-√3) * x^(-√3 -1) = 
    =√3 *( x^(√3 - 1) + x^(-√3 - 1)).
    3. Для нахождения максимума и минимума функции нужно найти ее производную, приравнять нулю, найти критические точки, решив уравнение f’(x) = 0. Потом определить знаки производной и поведение функции на интервалах.

    $$ \int\limits^1_0 {x^{ \sqrt{3} }} \, dx = \frac{x^{ \sqrt{3}+1 }}{\sqrt{3}+1} |^1_0= \frac{1^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}- \frac{0^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1} = \frac{1}{\sqrt{3}+1} $$2) 

    Производная степенной функции находится по формуле   x n n x n- . . x - x -   x  - - - x - -   x - x - - . . Для нахождения максимума и минимума функции нужно найти ее произв...
  • Вычислить интегралы:
    \( \int\limits^2_1 {x^{3}+2x+1 } \, dx \)
    \( \int\limits^1_0 { \frac{dx}{(3x+1)^4} } \, dx \)
    \( \int\limits {x*lnx} \, dx \)
    Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями:
    x+2y-4=0; y=0; x= -3; x=2


    Решение: $$ 1)\quad \int \limits _1^2(x^3+2x+1)dx=(\frac{x^4}{4}+x^2+x)|_1^2=\\\\=4+4+2-(\frac{1}{4}+1+1)=10-\frac{1}{4}-2=7\frac{3}{4}\\\\2)\quad \int \limits _0^1\frac{dx}{(3x+1)^4}=\frac{(3x+1)^{-3}}{-3}\; |_0^1=-\frac{1}{3}(\frac{1}{4^3}-\frac{1}{1^3})=\frac{1}{4}\\\\3)\; \; \int x\cdot lnx\, dx=[\; u=lnx,\; du=\frac{dx}{x},\; dv=x\, dx,\; v=\frac{x^2}{2}\; ]=\\\\=[\; \int \; u\cdot dv=uv-\int \; v\cdot du\; ]=\\\\=\frac{x^2}{2}\cdot lnx-\int \frac{x}{2}dx= \frac{x^2}{2}\cdot lnx-\frac{x^2}{4} +C \\ 4)\quad x+2y-4=0\;,\; \; y=0\;,\; x=-3\;,\; \; x=2\\\\2y=-x+4\;,\; \; y=-\frac{x}{2}+2\\\\S=\int \limits _{-3}^2(-\frac{x}{2}+2)dx=(-\frac{x^2}{4}+2x)|_{-3}^2=-1+4-(-\frac{9}{4}-6)=\\\\=3+6+\frac{9}{4}=9+\frac{9}{4}=\frac{45}{4}=11,25 $$

  • Вычислить интеграл:
    \( \int\limits { \frac{x+2}{x^3-2x^2+2x} } \, dx \)


    Решение: Разложим подинтегральную дробь на простейшие дроби.
    Для этого разложим знаменатель на множители
    х³-2х²+2х=х(х²-2х+2)
    Дискриминант квадратного трехчлена х²-2х+2 отрицательный, поэтому на множители не раскладывается
    $$ \frac{x+2}{x(x^2-2x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{Mx+N}{x^2-2x+2} $$
    Приводим к общему знаменателю правую часть и приравниваем только числители
    х+2=А·(х²-2х+2)+Mx²+Nx
    х+2=(А+M)x²+(N-2A)x+2A
    Слева многочлен первой степени, но его можно записать и как многочлен второй степени, если приписать 0·х²
    Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа
    A+M=0
    N-2A=1
    2A=2
    A=1
    M=-1
    N=1+2A=1+2=3
    $$ 1)\int \frac{dx}{x}=ln|x|+C_1 \\ 2)\int \frac{(-x+3)}{x^2-2x+2} dx= \int \frac{(-x+3)}{(x^2-2x+1)+1} dx= \int \frac{(-x+3)}{(x-1)^2+1} dx= $$
    Замена переменной
    (х-1)=t
    x=t+1
    dx=dt
    $$ =\int \frac{(-(t+1)+3)}{t^2+1} dt=\int \frac{2-t}{t^2+1} dt=\int \frac{2}{t^2+1} dt-\int \frac{t}{t^2+1} dt= \\ \\ =2arctgt- \frac{1}{2}ln|t^2+1 |+C_2= 2arctg|x-1|- \frac{1}{2}ln|x^2-2x+2 |+C_2 $$
    Ответ.
    $$ ln|x|+C_1+2arctg|x-1|- \frac{1}{2}ln|x^2-2x+2 |+C_2= \\ \\ =ln|x|+2arctg|x-1|- \frac{1}{2}ln|x^2-2x+2 |+C $$

  • №1 Вычислить интеграл
    \( \int\limits^1_2 {(3-4x)} \, dx \) (двойка с минусом -2)
    \( \int\limits^ \pi _0 {(sin \frac{x}{3} )} \, dx \)
    №2
    y=(x+1)^2 +1
    y=2
    Скрин к №2


    Решение: 1
    $$ =3x-2 x^{2} =(3-2)-(-6+8)=-1 $$
    2
    $$ =-3cos \frac{x}{3} =-3cos \frac{ \pi }{3}+3cos0= - \frac{3}{2} +3=1,5 $$
    3 Найдем точки пересечения этих графиков
    $$ x^{2} +2x+1+1=2 \\ x^{2} +2x=0 \\ x_{1}=0 \\ x_{2}=-2 \\ \int\limits^0_{-2} ({2- x^{2} -2x-2)} \, dx = -\int\limits^0_{-2} { (x^{2} +2x)} \, dx =-( \frac{ x^{3} }{3} + x^{2} )=0+ \frac{8}{3} +4= \ 6 \frac{2}{3} $$

  • Вычислить интеграл, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница
    \( \int\limits^3_2 {5xdx/(x-1)( x^{2} +2x+2)} \, \)


    Решение: $$ \int \frac{5x\cdot dx}{(x-1)(x^2+2x+2)} =I\\\\ \frac{5x}{(x-1)(x^2+2x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+2} =\\= \frac{(A+B)x^2+(2A-B+C)x+(2A-C)}{(x-1)(x^2+2x+2)} \\\\x^2\; |\; A+B=0\;,\qquad \quad A=-B\\\\x^1\; |\; 2A-B+C=5\;,\qquad -3B+C=5\;,\; -3B-2B=5,\; B=-1\\\\x^0\; |\; 2A-C=0\;,\qquad\quad C=2A=-2B\\\\B=-1,\; A=1,\; C=2. \\ I=\int \frac{dx}{x-1} +\int \frac{-x+2}{x^2+2x+2} dx=ln|x-1|-\int \frac{x-2}{(x+1)^2+1} dx=\\\\=[\, x+1=t\;,\; x=t-1\;,\; dx=dt\, ]=\\\\=ln|x-1|-\int \frac{t-3}{t^2+1} dt=ln|x-1|-\int \frac{t\, dt}{t^2+1} +3\int \frac{dt}{t^2+1} = \\ =[u=t^2+1,du=2t*dt]= \\ =ln|x-1|-\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}+3arctgt=\\\\=ln|x-1|-\frac{1}{2}ln|u|+3arctg(x+1)+C=\\\\=ln|x-1|-\frac{1}{2}ln|x^2+2x+2|+3arctg(x+1)+C $$

  • Вычислить интеграл рационально :\( \int{(\frac{1+sin^2x}{sin^2x}+3*sin\frac{x}{2}-\frac{1}{x\sqrt{x}})}\, dx \)


    Решение: Сначала упростим подынтегральное выражение.

    $$ \frac{1+sin^2x}{sin^2x} $$

    Разделим каждое слагаемое из числителя на знаменатель, получим

    $$ \frac{1}{sin^2x}+1 $$

    Теперь упростим

    $$ \frac{1}{x\sqrt{x}}=x^{-3/2} $$

    Теперь будем вычислять интеграл. Т. к. нет пределов, то просто найду первообразную

    $$ \int{(\frac{1}{sin^2x}+1+3sin\frac{x}{2}-x^{-\frac{3}{2}}})\, dx=-ctgx+x-6cos\frac{x}{2}+2x^{-\frac{1}{2}} $$

  • 1) Исследовать функцию и построить график:
    y=x-2x^3
    2) Решить систему уравнений:
    x+y-3z= -1
    2x-3y+z=0
    4x+3y-2z=5
    3) вычислить интеграл:
    (5x^2-9)dx


    Решение: 1) f(x)=−2x³+xТочки пересечения с осью координат YГрафик пересекает ось Y, когда x равняется 0:
    подставляем x = 0 в x - 2*x^3.
    Результат:
    f(0)=0Точка:
    (0, 0)
    График пересекает ось X, когда y равняется 0:
    подставляем 0 = x - 2x³ = x(1 - 2x²).
    Отсюда имеем 3 точки пересечения с осью Ох:
    х = 0, х = 1/√2 и х = -1/√2.
    f = -2*x^3 + xДля того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнениеf’(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:f’(x)= −6x²+1=0Решаем это уравнение
    Корни этого уравнения
    x1=−1/√6x2=1/√6
    Значит, экстремумы в точках:  (-0.40825;-0.27217)
    (0.408248; 0.27217).
    Интервалы возрастания и убывания функции:
    Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
    х = -0.5 -0.40825 -0.3 0.3 0.408248  0.5
    y’ =-6x^2+1 -0.5 0  0.46  0.46  0  -0.5.
    Где производная меняет знак с - на + это минимум, а где с + на - это максимум.
    Минимум функции в точке:
    x1=−1/√6.
    Максимум функции в точке:
    x2=1/√6.
    Убывает на промежутках [-sqrt(6)/6, sqrt(6)/6]
    Возрастает на промежутках
    (-oo,sqrt(6)/6] U [sqrt(6)/6, oo) Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
    f’’(x)=0(вторая производная равняется нулю),
    корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,
    f’’(x)=−12x=0. Решаем это уравнение
    Корни этого уравнения
    x1=0Интервалы выпуклости и вогнутости:
    Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
    Вогнутая на промежутках
    (-oo, 0]
    Выпуклая на промежутках
    [0, oo) Горизонтальные асимптотыГоризонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
    limx→−∞(−2x3+x)=∞limx→−∞(−2x3+x)=∞
    значит,
    горизонтальной асимптоты слева не существует
    limx→∞(−2x3+x)=−∞limx→∞(−2x3+x)=−∞
    значит, горизонтальной асимптоты справа не существуетНаклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x - 2*x^3, делённой на x при x->+oo и x->-oo
    limx→−∞(1x(−2x3+x))=−∞limx→−∞(1x(−2x3+x))=−∞
    значит, наклонной асимптоты слева не существует
    limx→∞(1x(−2x3+x))=−∞limx→∞(1x(−2x3+x))=−∞
    значит, наклонной асимптоты справа не существуетЧётность и нечётность функции
    Проверим функцию чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
    Итак, проверяем:
     x - 2*x³ = -x + 2*x³
    - Нет
    x - 2*x³ = -x - 2*x³
    - Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
    2) Решить систему уравнений:
    x+y-3z= -1 2x+2y-6z= -2 2x-3y+z=0 4x+4y-12z=-4
    2x-3y+z=0 -2x+3y-z=0 4x+3y-2z=5 -4x-3y+ 2z =-5
    4x+3y-2z=5 -
      5у -7z = -2 6x - z =5 y -10z =-9
    5у -7z = -2 5у -7z = -2 6x=z+5 y = 10z -9 
     y -10z =-9 -5y+50z = 45 x=(1+5)/6 = 1. y= 10*1-9=1.
      -
      43z = 43
      z = 1.
    Ответ: x = 1, y = 1,  z = 1.
    3) вычислить интеграл (5x^2-9)dx.
    $$ \int\limits {(5x^2-9)} \, dx = \frac{5x^3}{3} -9x+C. $$

     f x x xТочки пересечения с осью координат YГрафик пересекает ось Y когда x равняется подставляем x в x - x .Результат f Точка График пересекает ось X когда y равняется подст...
<< < 123 4 5 > >>