интеграл »
вычислить интеграл - страница 3
Вычислите интегралы:
\( \int\limits^0_{-2} {(3x^2+10)} \, dx ;\\ \int\limits^2_0 {(6x^2-2x+5)} \, dx;\\ \int\limits^\frac{\pi}{2}_0 {cos^2\frac{x}{4}} \, dx \)
Решение: $$ 1)\quad \int\limits^0_{-2} {(3x^2+10)} \, dx =(3\cdot \frac{x^3}{3}+10x)|_{-2}^0=\\\\=0-\left ((-2)^3+10\cdot (-2)\right )=-(-8-20)=28\\\\2)\quad \int _0^2(6x^2-2x+5)dx=(6\cdot \frac{x^3}{3}-2\cdot \frac{x^2}{2}+5x)|_0^2=\\\\=2\cdot 8-4+10-0=22\\\\3)\quad \int _0^{\frac{\pi}{2}}cos^2\frac{x}{4}\, dx=\frac{1}{2}\cdot \int _0^{\frac{\pi}{2}}(1+cos\frac{x}{2})dx=\frac{1}{2}(x+2sin\frac{x}{2})|_0^{\frac{\pi}{2}}= $$
$$ =\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}+2sin\frac{\pi}{4})-0=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}+2\cdot \frac{\sqrt2}{2})= \ \frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt2}{2} $$Вычислить интеграл:
\( \int\limits^ \frac{3}{4} _ \frac{4}{7} ({ 3x^{4}-2x } )\,dx \)
Решение: $$ \int\limits_\frac47^\frac34\left(3x^4-2x\right)dx=\\=\int\limits_\frac47^\frac343x^4dx-\int\limits_\frac47^\frac342xdx=3\cdot\frac{1}{4+1}x^{4+1}\left|_\frac47^\frac34-2\cdot\frac{1}{1+1}x^{1+1}\right|_\frac47^\frac34=\\ =3\cdot\frac15x^5\left|_\frac47^\frac34-2\cdot\frac122x^2\right|_\frac47^\frac34=\frac35x^5\left|_\frac47^\frac34-x^2\right|_\frac47^\frac34=\\ =\frac35\left(\left(\frac{3}{4}\right)^5-\left(\frac47\right)^5\right)-\left(\left(\frac34\right)^2-\left(\frac47\right)^2\right)=\\ \\ =\frac35\left(\frac{3^5}{4^5}-\frac{4^5}{7^5}\right)-\left(\frac{3^2}{4^2}-\frac{4^2}{7^2}\right)= \frac35\cdot\frac{3^5\cdot7^5-4^{10}}{4^5\cdot7^5}-\frac{3^2\cdot7^2-4^4}{4^2\cdot7^2}=\\ =\frac35\cdot\frac{4084101-1048576}{28^5}-\frac{441-256}{28^2}=\\=\frac35\cdot\frac{3035525}{28^5}-\frac{185}{28^2}=\frac{1821312}{28^5}-\frac{185}{28^2}=\\ =\frac{1821312-28^3\cdot185}{28^5}=\frac{1821312-4061120}{28^5}= $$
Вычислите интегралы:
1) \( \int\limits^{12}_2 \frac{dx}{ \sqrt{3x-1} } \)
2) \( \int\limits^{12}_4 \frac{dx}{ \sqrt{2x+1} } \)
3) \( \int\limits^3_2 \frac{2x^{3}+ x^{2} +2x+ 1 }{1+ x^{2} } dx \)
4) \( \int\limits^{-2}_{-3} \frac{ x^{3}- x^{2} -x+1 }{ x^{2} -1} dx \)
Решение: 1
=2/3*√(3x-1)|12-2=2/3*(√35-√5)
2
=√(2x+1)|12-4=√25-√9=5-3=2
3
(2x³+x²+2x+1)/(1+x²)=[x²(2x+1)+(2x+1)]/(1+x²)=(2x+1)(x²+1)/(1+x²)=2x+1
Под знаком интеграла будет 2х+1 интеграл равен
=x²+x|3-2=9+3-4-2=6
4
(x³-x²-x+1)/(x²-1)=[x²(x-1)-(x-1)]/(x²-1)=(x-1)(x²-1)/(x²-1)=x-1
Под знаком интеграла будет x-1 интеграл равен
=x²/2-x|-2-(-3)=2+2-4,5-3=-3,5
$$ 1) \int _2^{12}\frac{dx}{\sqrt{3x-1}}=\frac{2}{3}\sqrt{3x-1}\, |_2^{12}=\frac{2}{3}(\sqrt{35}-\sqrt{5})\\\\2)\; \; \int _4^{12}\frac{dx}{\sqrt{2x+1}}= \frac{2}{2} \cdot \sqrt{2x+1}\; |_4^{12}=\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2\\\\3)\; \; \int _2^3\frac{2x^3+x^2+2x+1}{1+x^2}dx=\int _2^3 \frac{2x(x^2+1)+(x^2+1)}{x^2+1} dx=\\\\=\int _2^3\frac{(x^2+1)(2x+1)}{x^2+1}dx=\int _2^3(2x+1)dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2x+1)^2}{2}|_2^3=\\\\=\frac{1}{4}(7^2-5^2)=\frac{1}{4}(49-25)=\frac{24}{4}=6 \\ 4)\; \; \int \limits _{-3}^{-2}\frac{x^3-x^2-x+1}{x^2-1}dx=\int\limits _{-3}^{-2}\frac{x^2(x-1)-(x-1)}{x^2-1}dx=\\\\=\int \limits _{-3}^{-2}\frac{(x-1)(x^2-1)}{x^2-1}dx=\int \limits (x-1)dx=\frac{(x-1)^2}{2}|_{-3}^{-2}=\\\\=\frac{1}{2}((-3)^2-(-4)^2)=\frac{1}{2}(9-16)=-\frac{7}{2}=-3,5 $$
1) найти производную
f(x)=x^sqrt3-x^-sqrt3
Sqrt-корень квадратный
2) вычислить интеграл
Вверху1 внизу 0; x^sqrt3dx
3) найти найти min и max функции
f(x)=x^2*lnx
Решение: Производная степенной функции находится по формуле
(x^n)’=n * x^(n-1).
1. (x^√3 - x^(-√3))’ = √3 *x^(√3 -1) -(-√3) * x^(-√3 -1) =
=√3 *( x^(√3 - 1) + x^(-√3 - 1)).
3. Для нахождения максимума и минимума функции нужно найти ее производную, приравнять нулю, найти критические точки, решив уравнение f’(x) = 0. Потом определить знаки производной и поведение функции на интервалах. $$ \int\limits^1_0 {x^{ \sqrt{3} }} \, dx = \frac{x^{ \sqrt{3}+1 }}{\sqrt{3}+1} |^1_0= \frac{1^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}- \frac{0^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1} = \frac{1}{\sqrt{3}+1} $$2)
Вычислить интегралы:
\( \int\limits^2_1 {x^{3}+2x+1 } \, dx \)
\( \int\limits^1_0 { \frac{dx}{(3x+1)^4} } \, dx \)
\( \int\limits {x*lnx} \, dx \)
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями:
x+2y-4=0; y=0; x= -3; x=2
Решение: $$ 1)\quad \int \limits _1^2(x^3+2x+1)dx=(\frac{x^4}{4}+x^2+x)|_1^2=\\\\=4+4+2-(\frac{1}{4}+1+1)=10-\frac{1}{4}-2=7\frac{3}{4}\\\\2)\quad \int \limits _0^1\frac{dx}{(3x+1)^4}=\frac{(3x+1)^{-3}}{-3}\; |_0^1=-\frac{1}{3}(\frac{1}{4^3}-\frac{1}{1^3})=\frac{1}{4}\\\\3)\; \; \int x\cdot lnx\, dx=[\; u=lnx,\; du=\frac{dx}{x},\; dv=x\, dx,\; v=\frac{x^2}{2}\; ]=\\\\=[\; \int \; u\cdot dv=uv-\int \; v\cdot du\; ]=\\\\=\frac{x^2}{2}\cdot lnx-\int \frac{x}{2}dx= \frac{x^2}{2}\cdot lnx-\frac{x^2}{4} +C \\ 4)\quad x+2y-4=0\;,\; \; y=0\;,\; x=-3\;,\; \; x=2\\\\2y=-x+4\;,\; \; y=-\frac{x}{2}+2\\\\S=\int \limits _{-3}^2(-\frac{x}{2}+2)dx=(-\frac{x^2}{4}+2x)|_{-3}^2=-1+4-(-\frac{9}{4}-6)=\\\\=3+6+\frac{9}{4}=9+\frac{9}{4}=\frac{45}{4}=11,25 $$
Вычислить интеграл:
\( \int\limits { \frac{x+2}{x^3-2x^2+2x} } \, dx \)
Решение: Разложим подинтегральную дробь на простейшие дроби.
Для этого разложим знаменатель на множители
х³-2х²+2х=х(х²-2х+2)
Дискриминант квадратного трехчлена х²-2х+2 отрицательный, поэтому на множители не раскладывается
$$ \frac{x+2}{x(x^2-2x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{Mx+N}{x^2-2x+2} $$
Приводим к общему знаменателю правую часть и приравниваем только числители
х+2=А·(х²-2х+2)+Mx²+Nx
х+2=(А+M)x²+(N-2A)x+2A
Слева многочлен первой степени, но его можно записать и как многочлен второй степени, если приписать 0·х²
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа
A+M=0
N-2A=1
2A=2
A=1
M=-1
N=1+2A=1+2=3
$$ 1)\int \frac{dx}{x}=ln|x|+C_1 \\ 2)\int \frac{(-x+3)}{x^2-2x+2} dx= \int \frac{(-x+3)}{(x^2-2x+1)+1} dx= \int \frac{(-x+3)}{(x-1)^2+1} dx= $$
Замена переменной
(х-1)=t
x=t+1
dx=dt
$$ =\int \frac{(-(t+1)+3)}{t^2+1} dt=\int \frac{2-t}{t^2+1} dt=\int \frac{2}{t^2+1} dt-\int \frac{t}{t^2+1} dt= \\ \\ =2arctgt- \frac{1}{2}ln|t^2+1 |+C_2= 2arctg|x-1|- \frac{1}{2}ln|x^2-2x+2 |+C_2 $$
Ответ.
$$ ln|x|+C_1+2arctg|x-1|- \frac{1}{2}ln|x^2-2x+2 |+C_2= \\ \\ =ln|x|+2arctg|x-1|- \frac{1}{2}ln|x^2-2x+2 |+C $$
№1 Вычислить интеграл
\( \int\limits^1_2 {(3-4x)} \, dx \) (двойка с минусом -2)
\( \int\limits^ \pi _0 {(sin \frac{x}{3} )} \, dx \)
№2
y=(x+1)^2 +1
y=2
Скрин к №2
Решение: 1
$$ =3x-2 x^{2} =(3-2)-(-6+8)=-1 $$
2
$$ =-3cos \frac{x}{3} =-3cos \frac{ \pi }{3}+3cos0= - \frac{3}{2} +3=1,5 $$
3 Найдем точки пересечения этих графиков
$$ x^{2} +2x+1+1=2 \\ x^{2} +2x=0 \\ x_{1}=0 \\ x_{2}=-2 \\ \int\limits^0_{-2} ({2- x^{2} -2x-2)} \, dx = -\int\limits^0_{-2} { (x^{2} +2x)} \, dx =-( \frac{ x^{3} }{3} + x^{2} )=0+ \frac{8}{3} +4= \ 6 \frac{2}{3} $$
Вычислить интеграл, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница
\( \int\limits^3_2 {5xdx/(x-1)( x^{2} +2x+2)} \, \)
Решение: $$ \int \frac{5x\cdot dx}{(x-1)(x^2+2x+2)} =I\\\\ \frac{5x}{(x-1)(x^2+2x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+2} =\\= \frac{(A+B)x^2+(2A-B+C)x+(2A-C)}{(x-1)(x^2+2x+2)} \\\\x^2\; |\; A+B=0\;,\qquad \quad A=-B\\\\x^1\; |\; 2A-B+C=5\;,\qquad -3B+C=5\;,\; -3B-2B=5,\; B=-1\\\\x^0\; |\; 2A-C=0\;,\qquad\quad C=2A=-2B\\\\B=-1,\; A=1,\; C=2. \\ I=\int \frac{dx}{x-1} +\int \frac{-x+2}{x^2+2x+2} dx=ln|x-1|-\int \frac{x-2}{(x+1)^2+1} dx=\\\\=[\, x+1=t\;,\; x=t-1\;,\; dx=dt\, ]=\\\\=ln|x-1|-\int \frac{t-3}{t^2+1} dt=ln|x-1|-\int \frac{t\, dt}{t^2+1} +3\int \frac{dt}{t^2+1} = \\ =[u=t^2+1,du=2t*dt]= \\ =ln|x-1|-\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}+3arctgt=\\\\=ln|x-1|-\frac{1}{2}ln|u|+3arctg(x+1)+C=\\\\=ln|x-1|-\frac{1}{2}ln|x^2+2x+2|+3arctg(x+1)+C $$Вычислить интеграл рационально :\( \int{(\frac{1+sin^2x}{sin^2x}+3*sin\frac{x}{2}-\frac{1}{x\sqrt{x}})}\, dx \)
Решение: Сначала упростим подынтегральное выражение.$$ \frac{1+sin^2x}{sin^2x} $$
Разделим каждое слагаемое из числителя на знаменатель, получим
$$ \frac{1}{sin^2x}+1 $$
Теперь упростим
$$ \frac{1}{x\sqrt{x}}=x^{-3/2} $$
Теперь будем вычислять интеграл. Т. к. нет пределов, то просто найду первообразную
$$ \int{(\frac{1}{sin^2x}+1+3sin\frac{x}{2}-x^{-\frac{3}{2}}})\, dx=-ctgx+x-6cos\frac{x}{2}+2x^{-\frac{1}{2}} $$
1) Исследовать функцию и построить график:
y=x-2x^3
2) Решить систему уравнений:
x+y-3z= -1
2x-3y+z=0
4x+3y-2z=5
3) вычислить интеграл:
(5x^2-9)dx
Решение: 1) f(x)=−2x³+xТочки пересечения с осью координат YГрафик пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x - 2*x^3.
Результат:
f(0)=0Точка:
(0, 0)
График пересекает ось X, когда y равняется 0:
подставляем 0 = x - 2x³ = x(1 - 2x²).
Отсюда имеем 3 точки пересечения с осью Ох:
х = 0, х = 1/√2 и х = -1/√2.
f = -2*x^3 + xДля того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнениеf’(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:f’(x)= −6x²+1=0Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x1=−1/√6x2=1/√6
Значит, экстремумы в точках: (-0.40825;-0.27217)
(0.408248; 0.27217).
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
х = -0.5 -0.40825 -0.3 0.3 0.408248 0.5
y’ =-6x^2+1 -0.5 0 0.46 0.46 0 -0.5.
Где производная меняет знак с - на + это минимум, а где с + на - это максимум.
Минимум функции в точке:
x1=−1/√6.
Максимум функции в точке:
x2=1/√6.
Убывает на промежутках [-sqrt(6)/6, sqrt(6)/6]
Возрастает на промежутках
(-oo,sqrt(6)/6] U [sqrt(6)/6, oo) Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
f’’(x)=0(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,
f’’(x)=−12x=0. Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x1=0Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 0]
Выпуклая на промежутках
[0, oo) Горизонтальные асимптотыГоризонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx→−∞(−2x3+x)=∞limx→−∞(−2x3+x)=∞
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx→∞(−2x3+x)=−∞limx→∞(−2x3+x)=−∞
значит, горизонтальной асимптоты справа не существуетНаклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x - 2*x^3, делённой на x при x->+oo и x->-oo
limx→−∞(1x(−2x3+x))=−∞limx→−∞(1x(−2x3+x))=−∞
значит, наклонной асимптоты слева не существует
limx→∞(1x(−2x3+x))=−∞limx→∞(1x(−2x3+x))=−∞
значит, наклонной асимптоты справа не существуетЧётность и нечётность функции
Проверим функцию чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x - 2*x³ = -x + 2*x³
- Нет
x - 2*x³ = -x - 2*x³
- Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
2) Решить систему уравнений:
x+y-3z= -1 2x+2y-6z= -2 2x-3y+z=0 4x+4y-12z=-4
2x-3y+z=0 -2x+3y-z=0 4x+3y-2z=5 -4x-3y+ 2z =-5
4x+3y-2z=5 -
5у -7z = -2 6x - z =5 y -10z =-9
5у -7z = -2 5у -7z = -2 6x=z+5 y = 10z -9
y -10z =-9 -5y+50z = 45 x=(1+5)/6 = 1. y= 10*1-9=1.
-
43z = 43
z = 1.
Ответ: x = 1, y = 1, z = 1.
3) вычислить интеграл (5x^2-9)dx.
$$ \int\limits {(5x^2-9)} \, dx = \frac{5x^3}{3} -9x+C. $$
