интеграл »
вычислить интеграл - страница 7
Вычислить интеграл |8cos(4x-12)dx
Решение: $$ \int{8cos(4x-12)}\, dx $$выносим константу за знак интеграла
$$ 8\int{cos(4x-12)}\, dx $$
проведем замену переменной
$$ u=4x-12 \\ 8\int{\frac{1}{4}cos(u)}\, du $$
выносим константу за знак интеграла
$$ 2\int{cos(u)}\, du $$
проинтегрируем косинус
$$ 2sin(u) $$
проведем обратную замену переменной
$$ 2sin(4x-12) $$
запишем конечный результат
$$ \int{8cos(4x-12)}\, dx=2sin(4x-12)+const $$
вычислить интеграл: \(\int\limits_{-1}^2 (3х^2 -2х+1)dx\)
Решение: Находим первообразную без прибавления константы, то есть без +Сx^3 - x^2 + x
И находим разность между подставленными в выражение выше 2 и -1
(2^3-2^2+2) - ((-1)^3-(-1)^2-1)=(8-4+2)-(-1-1-1)=6+3=9
Найти интеграл \( \int\limits^{3}_{0} ln(x + 3) \ dx \) интегрирование по частям
Решение: dx=dv ln(x+3)=u v=x du=1/(x+3)*dxuv-интеграл(v*du)=xln(x+3)-инт(0,3)(x/(x+3)*dx) = xln(x+3)-инт((x+3-3)/(x+3)) = xln(x+3)-инт(1-3/(x+3)) = xln(x+3)-x+ln(x+3) = 3ln6-6+ln6-ln3 = 7ln6+ln3-6
$$ \int\limits^{3}_{0} ln(x + 3) \ dx = F(3) - F(0) \\ [ \ \int ln(x + 3) \ dx = xln(x + 3) - \int \frac{x}{x+3} \ dx =\\\\ xln(x + 3) - \int \frac{x + 3 - 3}{x+3} \ dx = xln(x + 3) - \int 1 - \frac{3}{x+3} \ dx =\\\\ xln(x + 3) - x + 3ln(x + 3) + C = (x+3)ln(x + 3) - x + C\ ] \\ F(3) - F(0) = (x+3)ln(x + 3) - x | \int\limits^{3}_{0}= 6ln6 - 3 -3ln3 =\\\\ 3(2ln6 - ln3) - 3 = 3(ln6^2 - ln3) - 3 =3ln12 - 3 = 3(ln12 - 1) $$
Вычислить интеграл, преобразуя по формуле 1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]
интеграл от внизу П/2 до П cosxcos2xdx
Решение: $$ \int\limits^ \pi _ { \pi /2} {(\cos x\cos2x) } \, dx= \int\limits^ \pi _ { \pi /2} {( \frac{1}{2} (\cos (x+2x)+\cos(x-2x) ))} \, dx \\\ =\frac{1}{2} \int\limits^ \pi _ { \pi /2} { (\cos 3x+\cos x}) \, dx=\frac{1}{2}(\sin3x\cdot \frac{1}{3}+\sin x )|^ \pi _ { \pi /2}= \\\ =(\frac{1}{6}\sin3x+\frac{1}{2}\sin x )|^ \pi _ { \pi /2}= \frac{1}{6}\sin3 \pi+\frac{1}{2}\sin \pi -\frac{1}{6}\sin \frac{3 \pi }{2} -\frac{1}{2}\sin \frac{ \pi }{2}= \\\ =0+0-\frac{1}{6}\cdot(-1)- \frac{1}{2} \cdot1=-\frac{1}{3} $$Вычислить интеграл (sin^2) x на промежутке (0;pi/2).
Решение: $$ \int\limits^{ \frac{ \pi}{2} }_0 {sin^2x} \, dx $$
Воспользуемся формулой
1-cos2x=2sin²x
sin²x=1/2-(1/2)cos2x
$$ \int\limits {( \frac{1}{2}- \frac{1}{2}cos2x) } \, dx= \frac{x}{2}- \frac{1}{2} \int\limits{cos2x} \, dx= $$
Вводим замену переменной
2x=u, тогда du=2dx ⇒ dx=du/2
$$ =\frac{x}{2}- \frac{1}{4} \int\limits{cosu}\, du=\frac{x}{2}- \frac{1}{4}sinu=\frac{x}{2}- \frac{1}{4}sin2x+C \\ \int\limits^{ \frac{ \pi}{2} }_0 {sin^2x} \, dx=\frac{x}{2}- \frac{1}{4}sin2x|_0^{ \frac{ \pi }{2}} = \frac{ \pi }{4} - \frac{1}{4}sin \pi -0+0= \frac{ \pi }{4}-0= \frac{ \pi }{4} $$
Вычислить интеграл \( \int\limits^ \frac{ \pi }{6} _ \frac{ \pi }{12} { \frac{1}{ sin^{2}2x } } \, dx= \)
Решение: Для начала нужно найти первообразную функции у=1/sin²2x, заметим, что производная функции у=ctgx выглядит так: у’=-1/sin²x, тогда первообразная для подынтегральной функции будет выглядеть следующим образом: F(x)=-1/2*ctg2x, тогда:
$$ \int\limits^ \frac{ \pi }{6} _ \frac{ \pi }{12} { \frac{1}{ sin^{2}2x } } \\ dx=- \frac{1}{2}ctg2x |^{ \frac{ \pi }{6} } _{ \frac{ \pi }{12} }=(- \frac{1}{2}*ctg2* \frac{ \pi }{6})-(- \frac{1}{2}*ctg2* \frac{ \pi }{12})= \\= (- \frac{1}{2}ctg \frac{ \pi }{3})-(- \frac{1}{2}ctg \frac{ \pi }{6})=(- \frac{1}{2}* \frac{1}{ \sqrt{3} })-(- \frac{1}{2}* \sqrt{3})=\\= -\frac{1}{2 \sqrt{3}}+ \frac{ \sqrt{3} }{2}= \frac{2}{2 \sqrt{3} } \\ \frac{ \sqrt{3} }{3} $$Вычислить интегралы
∫-8х²-4х-2 /-5хdx=
∫sin(-2x+5)dx=
∫x²lnxdx=
Решение: $$ 1)\; \; \int \frac{-8x^2-4x-2}{-5x} dx=\int (\frac{8}{5}x+\frac{4}{5}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{x})dx=\\\\=\frac{8}{5}\cdot \frac{x^2}{2}+\frac{4}{5}x+\frac{2}{5}\cdot lnx+C\\\\2)\; \; \int sin(-2x+5)dx=[\, t=-2x+5,\; dt=-2dx\, ]=\\\\=-\frac{1}{2}\int sint\, dt=-\frac{1}{2}\cdot (-cost)+C=\frac{1}{2}cos(-2x+5)+C\\\\3)\; \; \int x^2lnx\, dx=[\, u=lnx,\; du= \frac{dx}{x},\; dv=x^2\, dx,\; v=\frac{x^3}{3}\, ]= \\ =uv-\int v\, du= \frac{x^3}{3} lnx-\int \frac{x^2\, dx}{3} = \frac{x^3}{3}lnx- \frac{x^3}{9}+C $$(37) Определенный интеграл. Интегрирование по частям \( \int \limits_{0}^{ \pi /4 }(x- \pi )cos2xdx \)
Решение: $$ \mathfrak{I} =\int (x- \pi )cos2xdx= \frac{1}{2} \int (x- \pi )d(sin2x)=\\ \\ \frac{1}{2}(x- \pi )sin2x-\frac{1}{2} \int sin2xd(x- \pi )= \frac{1}{2}(x- \pi )sin2x-\frac{1}{2} \int sin2xdx= \\ \\ = \frac{1}{2}(x- \pi )sin2x+\frac{1}{4} cos2x+C. \\ \\ \int \limits_{0}^{ \pi /4 }(x- \pi )cos2xdx=(\frac{1}{2}(x- \pi )sin2x+\frac{1}{4} cos2x)\Bigr|_0^{\pi/4}= \\ =(\frac{1}{2}(\frac{ \pi }{4}- \pi )sin(2*\frac{ \pi }{4})+\frac{1}{4} cos(2*\frac{ \pi }{4}))-(\frac{1}{2}(0- \pi )sin0+\frac{1}{4} cos0)= \\ \\ =-\frac{ 3\pi }{8}-\frac{ 1 }{4} $$
При вычислении площади фигуры используют абсолютную величину данного значения, т. е. число $$ |-\frac{ 3\pi }{8}-\frac{ 1 }{4}|=\frac{ 3\pi }{8}+\frac{ 1 }{4} $$
Вычислить интеграл, используя метод интегрирования по частям.
∫5x lnx dx. С объяснениями
Решение: 1) Вынесем константу: $$ 5 \int{ x \cdot \ln{x}} \, dx $$
2) Интегрируем по частям ($$ \int udv = uv - \int vdu $$)
$$ u= \ln{x},\ du= \frac{dx}{x}; \ \ dv=x; \ v= \frac{x^{2}}{2} \\ 5 \cdot (\ln{x} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{dx}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2} )=5 \cdot (\frac{x^{2}\cdot \ln{x} }{2} - \int \frac{x}{2}dx ) \\ =5 \cdot (\frac{x^{2}\cdot \ln{x} }{2} - \frac{1}{2}\int xdx )=5 \cdot (\frac{x^{2}\cdot \ln{x} }{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} )+C= \\ 5x^{2} \cdot (\frac{\ln{x} }{2} - \frac{1}{4} )+C $$Вычислить интеграл по частям \( \int\limits_e^4 xlnxdx \); Вычислить интегралы методом подстановки: \(\int\limits_4^5(4-x)^3dx \\ \int\limits_0^3 \sqrt[3]{3x-1}dx \\ \int\limits_0^1 e^{x^{2}}xdx \)
Решение: 1
u=lnx,dv=xdx
du=dx/x,v=x²/2
$$ \int\limits^4_e {xlnx} \, dx=uv-1/2 \int\limits {vdu} =1/2*x^2lnx-1/2*x^2/2|4-e= \\ 8ln4-4-e^2/2+e^2/4=8ln4-4-e^2/4 $$
2
$$ a) \int\limits^5_4 {(4-x)^3} \, dx =-(4-x)^4/4|5-4=-1/4+0=-1/4 \\ b) \int\limits^3_0 { \sqrt[3]{3x-1} } \, dx =1/4* \sqrt[3]{(3x-1)^4}|3-0=1/4*16-1/4*1=4- \ 0,25=3,75 $$
в)u=x²,du=2xdx
$$ \int\limits^1_0 {xe ^{x^2} } \, dx =1/2 \int\limits {e ^{u} } \, du =1/2*e^u=1/2*e ^{x^2} |1-0= \ 1/2*e-1/2 $$
