интеграл »

вычислить интеграл - страница 7

  • Нужно вычислить интеграл функции (t-1)*sin(wt), пределы: от -пи до 0. интегрировать по dt


    Решение: $$ \int\limits^0_{-\pi} {(t-1)sin(wt)} \, dt=\int\limits^0_{-\pi} {tsin(wt)} \, dt - \int\limits^0_{-\pi} {sin(wt)} \, dt\\\\ \int\limits^0_{-\pi} {tsin(wt)} \, dt \\ dv=sin(wt) \ \ v=\frac{-cos (wt)}{w}\\ u=t \ \ du=dt\\\\ \int\limits^0_{-\pi} {tsin(wt)} \, dt= -cos(wt)|^{0}_{-\pi}+\frac{1}{w}\cdot \int\limits^0_{-\pi} {cos(wt)} \, dt=\\=-cos(0)+cos(-\pi)+\frac{sin(w*0)}{w}-\frac{sin(-\pi*w)}{w}=-0-1+\frac{1}{w}+\frac{sin(\pi*w)}{w}\\\\ - \int\limits^0_{-\pi} {sin(wt)} \, dt = cos(wt)|_(-\pi)^{0}=0+1=\\=1 \int\limits^0_{-\pi} {(t-1)sin(wt)} \, dt=-1+\frac{1}{w}+\frac{sin(\pi*w)}{w}+1=\frac{1}{w}+\frac{sin(\pi*w)}{w} $$

  • Вычислите интеграл, преобразуя подынтегральные функции: 1) \(\int\limits^ \frac{3 \pi }{8}_\frac{\pi }{8}12sin(\frac{ \pi }{8}-x)*cos(\frac{ \pi }{8}-x) \) 2) \( \int\limits^\frac{\pi }{3}_\frac{\pi }{6}cos^{2}(x+\frac{ \pi }{3})-sin^{2}(x+\frac{ \pi }{3})\)


    Решение: 1) $$ 6*2sin(\frac{ \pi }{8}-x)*cos(\frac{ \pi }{8}-x)=6sin(2*(\frac{ \pi }{8}-x))=\\=6sin(\frac{ \pi }{4}-2x) \\ \int\limits^ \frac{3 \pi }{8}_\frac{\pi }{8} {6sin(\frac{ \pi }{4}-2x)} \, dx=-6*0.5*\int\limits^ \frac{3 \pi }{8}_\frac{\pi }{8} {sin(\frac{ \pi }{4}-2x)} \\ d(\frac{ \pi }{4}-2x)=3*cos(\frac{ \pi }{4}-2x) \\ =3*cos(\frac{ \pi }{4}-\frac{6\pi }{4})-3*cos(\frac{ \pi }{4}-\frac{\pi }{4})=3*cos(-\frac{5\pi }{4})-3= \\ =3*(cos(\frac{5\pi }{4})-1)=3*(cos( \pi +\frac{\pi }{4})-1)=3*(-cos(\frac{\pi }{4})-1)= \\ =-3*(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{2}{2})=-\frac{3*(\sqrt{2}-2)}{2}=\frac{3*(2-\sqrt{2})}{2} $$
    2) $$ cos^{2}(x+\frac{ \pi }{3})-sin^{2}(x+\frac{ \pi }{3})=cos(2*(x+\frac{ \pi }{3}))=cos(2x+\frac{2\pi }{3}) \\ \int\limits^\frac{\pi }{3}_\frac{\pi }{6} {cos(2x+\frac{2\pi }{3})} \, dx=0.5*\int\limits^\frac{\pi }{3}_\frac{\pi }{6} {cos(2x+\frac{2\pi }{3})} \, d(2x+\frac{2\pi }{3})=\\=0.5*sin(2x+\frac{2\pi }{3})=\\=0.5sin(\frac{2\pi }{3}+\frac{2\pi }{3})-0.5*sin(\frac{2\pi }{6}+\frac{2\pi }{3})=\\=0.5*sin(\frac{4\pi }{3})-0.5*sin(\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi }{3})=\\=0.5*sin( \pi+\frac{\pi }{3})-0.5*sin( \pi)=-0.5*sin(\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{4} $$

  • 2. Вычислить интеграл методом подстановки \( \int{\frac{\sqrt{3x}dx}{\sqrt{3x}-1}} \) 5. Вычислить интеграл от следующей функции \( \int{\frac{\sqrt{1-9x^2}dx}{x}} \)


    Решение: 2.28
    $$ \int{\frac{\sqrt{3x}dx}{\sqrt{3x}-1}}=\\ \|\sqrt{3x}=t;\ \ 3x=t^2;\ x=\frac{t^2}{3}\ ==>dx=d\left(\frac{t^2}{3}\right.=\frac{2tdt}{3})\|\\ =\int{\frac{t\frac{2tdt}{3}}{t-1}}=\frac23\int{\frac{t^2}{t-1}}dt=\frac23\int{\frac{t^2-1+1}{t-1}}dt=\\ \frac23\int{\frac{(t-1)(t+1)+1}{t-1}}dt=\frac23\int{(t+1+\frac1{t-1})}dt=\\ =\frac23\left(\int t^1dt+\int t^0dt+\int{\frac{d(t-1)}{t-1}}\right)=\\ =\frac23\cdot\left(\frac1{1+1}\cdot t^{1+1}+\frac{1}{0+1}\cdot t^{0+1}+\ln|t-1|\right)+C=|\ C-const;\\ \\ =\frac23\left(\frac12t^2+t+\ln|t-1|\right)+C=\\ \|t=\sqrt{3x}\|;\\ =\frac23\left(\frac12\cdot3x+\sqrt{3x}+\ln|\sqrt{3x}-1|\right)+C=\\ =\frac23\cdot\frac32\cdot x+\frac23\cdot\sqrt3\cdot\sqrt{x}+\frac23\ln|\sqrt{3x}-1|+C=\\ =x+\frac{2}{\sqrt3}\sqrt{x}+\frac23\ln|\sqrt{3x}-1|+C=x+\frac{2\sqrt3}{3}\sqrt{x}+\frac23\ln|\sqrt{3x}-1|+C. $$
    5.28
    $$ \int{\frac{\sqrt{1-9x^2}dx}{x}}=\int{\frac{\sqrt{1-3^2x^2}dx}{x}}=\int{\frac{\sqrt{1-(3x)^2}dx}{x}}=\\ \|3x=t==>x=\frac t3;\ dx=d\frac t3=\frac13dt\|\\ =\int{\frac{\sqrt{1-t^2}dt}{3\cdot\frac t3}}=\int{\frac{\sqrt{1-t^2}dt}{t}}=\\ \|D(f):1-t^2\geq0;\ \ t^2\leq1;\ \ |t|\leq1;==>-1\leq t\leq1\|\\ \|t=\sin\phi,\ 1-t^2=1-\sin^2\phi=\cos^2\phi\geq0\ \ \sqrt{1-t^2}=|\cos\phi|\|\\ \|dt=d\sin\phi=\cos\phi d\phi\|\\ =\int{\frac{\cos\phi\cdot\cos\phi d\phi}{sin\phi}}=\int{\frac{\cos^2\phi}{\sin\phi}}d\phi=\\ \\ \int{\frac{1-\sin^2\phi}{\sin\phi}}d\phi = \int{\left(\frac1{\sin\phi}{-\sin\phi} \right)}d\phi\\ $$

  • Вычислить интеграл:
    Интеграл от 1 до 2 функции X(x-2) dx


    Решение: Нужно разбить на сумму интегралов, первый будет интеграл от ХdX, второй будет интеграл от 2dX, третий от (-X^2)dX, все три в пределах от -1 до 2. Затем берем их по очереди по таблице неопределённых интегралов, получаем X^2/2+2X-X^3/3 в пределах от -1 до 2. Подставляем верхний предел, а из того, что получилось вычитаем туже формулу с подставленным нижним пределом : 2^2/2+2*2-2^3/3-((-1)^2/2+2*(-1)-(-1)^3/3)=1/2

  • 1. Найти производную функции а) \( y=4x^3-\frac3{x^2}; b)\;\sin^6\left(4x^3-2\right) \) 2) вычислить интеграл методом непосредственного интегрирования \( a)\;\int\left(\frac1{\cos^2x}+\frac1{\sqrt{1-x^2}}\right)dx; b)\;\int\left(5\cos x-3x^2+\frac1x\right)dx \)
    3) решить дифференциальное уравнение \( y’=\frac1{\cos^2x}+x^4 \)


    Решение: $$ 1.\;a)\;y=4x^3-\frac3{x^2}\\y’=12x^2+\frac6{x^3}\\b)\;\sin^6\left(4x^3-2\right)\\y’=6\sin^5(4x^3-2)\cdot\cos^6(4x^3-2)\cdot12x^2=\\=72x^2\cdot\sin^5(4x^3-2)\cos^6(4x^3-2) \\ 2.\;a)\;\int\left(\frac1{\cos^2x}+\frac1{\sqrt{1-x^2}}\right)dx=\int\frac{dx}{\cos^2x}+\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\\=tg x+\arcsin x\\b)\;\int\left(5\cos x-3x^2+\frac1x\right)dx=\int5\cos xdx-\int3x^2dx+\int\frac{dx}{x}=\\=5\sin x-x^2+\ln x \\ 3.\;y’=\frac1{\cos^2x}+x^4\\y=\int\left(\frac1{\cos^2x}+x^4\right)dx=\int\frac{dx}{\cos^2x}+\int x^4dx=tgx+\frac15 x^5+C $$

<< < 567 8 9 > >>