вычислить интеграл - страница 8
Вычислить интеграл, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница (подробно)
\( \int\limits^1_02 x+1/ \sqrt{x^2+2x+2} \, dx \)
Решение: Формулы:
$$ 1) \int\limits { \frac{du}{ \sqrt{u} } } \, dx =2 \sqrt{u} +C \\ \\ 2)\int\limits { \frac{du}{ \sqrt{u^2+k} } } \, dx =ln|u+\sqrt{u^2+k} |+C \\ \int\limits { \frac{2x+1}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} } } \, dx = \int\limits { \frac{2x+2-1}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} } } \\ dx=\int\limits {( \frac{2x+2}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} } } \, \ - \frac{1}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} })dx = \\ \\ \int\limits { \frac{2x+2}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} } } \,dx \ - \int\limits \frac{1}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} }\, dx. \\ 1) \ \int\limits { \frac{2x+2}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} } } \,dx \\ \\ \sqrt{u} = \sqrt{ x^{2} +2x+2} \\ du=(x^{2} +2x+2)’=2x+2 $$
Подходит первая формула:
$$ \ \int\limits { \frac{2x+2}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} } } \,dx=2\sqrt{ x^{2} +2x+2}+C \\ 2)\int\limits \frac{1}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} }\, dx=\int\limits \frac{1}{ \sqrt{ x^{2} +2x+1+1} }\, dx=\int\limits \frac{1}{ \sqrt{ (x+1)^2+1} }\, dx \\ u=x+1 \\ du=(x+1)’=1 \\ $$
Подходит вторая формула:
$$ \int\limits {\frac{1}{ \sqrt{ (x+1)^2+1} } }\, dx =ln|x+1+\sqrt{ (x+1)^2+1}|+C \\ \int\limits^1_0 { \frac{2x+1}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} } } \, dx = 2\sqrt{ x^{2} +2x+2} \ -ln|x+1+\sqrt{ (x+1)^2+1}|\ \ |^1_0 \\ \\ 2\sqrt{ 1^{2} +2*1+2} \ -ln|1+1+\sqrt{ (1+1)^2+1}| - \\ \\ -( 2\sqrt{ 0^{2} +2*0+2} \ -ln|0+1+\sqrt{ (0+1)^2+1}|)= \\ \\ 2 \sqrt{5} -ln|2+ \sqrt{5} |-(2 \sqrt{2} -ln|1+ \sqrt{2} |)= \\ \\ 2 \sqrt{5} -ln(2+ \sqrt{5} )-2 \sqrt{2}+ln(1+ \sqrt{2} )=2( \sqrt{5} - \sqrt{2} )+ln \frac{1+ \sqrt{2} }{2+ \sqrt{5} } $$
Вычислите повторный интеграл \(\int\limits_1^3 dx \int\limits_2^{x^2 +4} \frac{1}{x^2}dy \)
Решение: $$ = \int _1^3 \frac{1}{x^2} (\int_{2}^{x^2+4}dy)dx= \int _1^3 \frac{1}{x^2} (y \big|_{2}^{x^2+4})dx= \int _1^3 \frac{1}{x^2} (x^2+4-2)dx=\\ = \int _1^3 \frac{x^2+2}{x^2} dx=\int _1^3 (1+\frac{2}{x^2}) dx= (x- \frac{2}{x}) \big|_1^3= (3- \frac{2}{3})-(1- \frac{2}{1})= \\ =3 \frac{1}{3}. $$ Так как верхний предел второго вложенного интеграла зависит от икса ($$ x^{2} +4 $$), то порядок интегрирования важен и нужно брать со второго интеграла. Во вложении решение прилагается.
Вычислить интеграл и проверить результат, исходя из его геометрического смысла \( \int\limits^2_1 {(4-2x)} \, dx \)
Решение: $$ \int\limits^2_1 {(4-2x)} \, dx=(4x-x^{2})|_{1}^{2}=4*2-2^2-4*1+1^2=1 $$
Геометрический смысл интеграла это площадь некоторой фигуры. В приведённом примере фигура ограничена прямой у=4-2х, осью ОХ и линией х=1, эта фигура - прямоугольный треугольник площадь которого 1ед² мы нашли вычислив интеграл.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Из рисунка находим длину катетов 2 ед. и 1 ед. найдём площадь:
S=(1/2)*2*1=1 ед²
Что и требовалось доказать.
Вычислить интеграл или установить его расходимость ∫dx/(x²-4x+8)
Решение: 1) ∫dx/(x²-4x+8)=∫dx/((x-2)²+4)=∫d(x-2)/((x-2)²+2²)=1/2*arctg((x-2)/2). При x⇒+∞ lim 1/2*arctg((x-2)/2)=1/2*π/2=π/4, при x=0 1/2*arctg((x-2)/2)=1/2*(-π/4)=-π/8. Значит, интеграл сходится и равен π/4-(-π/8)=3*π/8.
Ответ: 3*π/8.
2) Здесь подынтегральная функция терпит разрыв при x=-2. Поэтому после нахождения первообразной вместо подстановки значения x=-2 придётся подставить вместо x число -2+e=e-2 (e - сколь угодно малое положительное число) рассмотреть предел при e⇒0. ∫dx/√(x+2)=∫d(x+2)/√(x+2)=2*√(x+2). При x=2 2*√(2+2)=4, а lim 2*√(e-2+2) при e⇒0=2*√e=0. Интеграл сходится и равен 4-0=4. Ответ: 4.
Вычислить интеграл и его приложение \( \int(\frac{x^2+\sqrt[3]{x}}{\sqrt x})dx \)
Решение:$$ \int\ {(x^{ \frac{2}{3} }+x^{- \frac{1}{6} })} \, dx = \frac{x^ \frac{5}{2} }{ \frac{5}{2} }+ \frac{x^ \frac{5}{6} }{ \frac{5}{6} }= \frac{2}{5}x^ \frac{5}{2}+ \frac{6}{5}x^ \frac{5}{6} +C $$
Вычислить интеграл \( \int\limits^6_0 { \frac{5}{ \sqrt{0,5x+1} } } \, dx \)
Решение: $$ \int\limits^6_0 { \frac{5}{ \sqrt{0,5x+1} } } \, dx = \int\limits^6_0 { \frac{5}{0,5 \sqrt{0,5x+1} } } \, d(0,5x+1) = \\ =10\int\limits^6_0 {(0,5x+1})^{-0.5} \, d(0,5x+1) = \\ =10* \frac{(0,5x+1)^{0.5}}{0.5} |_0^6=20( \sqrt{0.5*6+1} - \sqrt{0.5*0+1} )=20( \sqrt{4}- \sqrt{1})= \\ =20(2-1)=20 $$
воспользуемся табличным интегралом:
$$ \int\limits{x^n} \, dx =\int\limits\frac{x^{n+1}}{(n+1)} $$
сперва возьмем этот интеграл:
$$ \int\limits{\frac{5}{\sqrt{0.5x+1}}} \, dx $$
вынесем 5 из под знака интеграла и сделаем замену: $$ 0.5x+1=u $$
возьмем производную для нашей замены:
$$ du=\frac{1}{2}dx, dx=2du $$
подставим:
$$ 5\int\limits {\frac{2du}{\sqrt{u}}}=10\int\limits u^{-\frac{1}{2}du}=10\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=20\sqrt{u}=20\sqrt{0.5x+1} $$
теперь найдем определенный интеграл:
$$ \int\limits^6_0 \frac{5dx}{\sqrt{0.5x+1}}=20\sqrt{0.5x+1}|^6_0=20\sqrt{4}-20*\sqrt{0+1}=20 $$
Вычислить интеграл \(\int\limits_0^1(x^3+2x-1)dx \)
Решение: 1) $$ \int\limits^1_0 { x^{3}+2x-1 } \, dx= \frac{ x^{4} }{4} + x^{2} -x= \frac{1}{4}+1-1= \frac{1}{4} $$
2) $$ \int\limits^-_- {4 x^{3}+2sinx-1 } \, dx = x^{4}-2cosx - x+const $$
3) $$ \int\limits^-_- {(x+2) e^{x} } \, dx =(x+1) e^{x}+const $$
4) $$ \int\limits^-_- { x^{5} } \, dx = \frac{ x^{6} }{6} + const $$////////////////////////////////////////////
Вычислить интеграл: \(\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}sinx cosx dx \)
Решение: ∫₀ sinxcosx dx=∫₀ (1/2* sin2x) dx=1/2*( -1/2cos2x) |₀= -1/4(cosπ-cos0)= -1/4(-1-1)=1/2Воспользовались формулой sin2x=2sinxcosx
$$ \int\limits_0^{\pi/2}{sinx*cosx}dx=\frac{1}{2}\int\limits_0^{\pi/2}{2sinx*cosx}dx= \frac{1}{2}\int\limits_0^{\pi/2}{sin2x}dx= \\ \\ =\frac{1}{2}*(-\frac{1}{2}*cos2x)[_0^{\pi/2}= -\frac{1}{4}*cos2x[_0^{\pi/2}= \\ \\ =-\frac{1}{4}*cos{(2*\frac{\pi}{2})}-(-\frac{1}{4}*cos0)= -\frac{1}{4}*(-1)+\frac{1}{4}*1= \\ \\ =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}=0,5 $$
Вычислить интеграл
dx/(4x^2+3)
Решение: Обозначу интеграл как Int. А вы поставьте обычный знак "интеграл".
Int 1/(4x^2+3)*dx = 1/3 Int(1/(4x^2/3 + 1)
Введем u=2x√3/3 du=2√3/3 *dx и подставим √3/2 du
имеем Int √3/(2u^2+2) *du = √3/2 Int 1/(u^2+1)du = √3/2 * арктангенс (u)
подставим u и получим √3/6* арктангенс (2х√3/3)+С Это ответ.
Вычислить интеграл: \( \int\limits_0^1 (x^3-3+\frac{1}{x})dx \)
Решение: Это несобственный интеграл. В точке 0. подинтегральная функциятерпит разрыв. решение разбивается на два интеграла.
первый дает
x^4/4-3x|1-0=1/4-3-0-0=-2,75
второй интеграл расходится, следовательно расходится
и основной инетеграл.
