вычислить интеграл - страница 8
Вычислите интеграл: правая граница 1/2, левая граница -1 функции (2x+1)^3 dx
Решение: Найдем интеграл функции. интеграл (2x+1)^3 dx = 1/2 * (2x+1)^4 / 4 = (2x+1)^4/8. Подставим правую границу: (2*1/2+1)^4/8=2^4/8=16/8=2. Подставим левую границу: (2*(-1)+1)^4/8=(-2+1)^4/8
= (-1)^4/8=1/8
Определенный интеграл равен: 2-1/8 = 15/8=1ц 7/8$$ \int^{\frac{1}{2}}_{-1} {(2x+1)^3} \, dx=\\\\ \frac{1}{2}\int^{\frac{1}{2}}_{-1} {(2x+1)^3} \, d(2x+1)=\\\\ \frac{1}{2}\frac{(2x+1)^4}{4}|\int^{\frac{1}{2}}_{-1}=\\\\ \frac{1}{8}*(2x+1)^4|\int^{\frac{1}{2}}_{-1}=\\\\ 0.125*(2*\frac{1}{2}+1)^4-0.125*(2*(-1)+1)^4=0.125*(16-1)=\frac{15}{8} $$
Выполнить чертеж данных функций
Искомую площадь представить как сумму или разность площадей
Из условия задачи и чертежа определить пределы интегрирования
Вычислить Интеграл.
1) y=sinx, y=x, x=pi(п)
Решение: Из условия и чертежа пределы интегрирования будут 0,π.
∫(в пределах 0,π) sin(x)= -cos(0)-(-cos(π))=-1-1=-2
2 - есть искомая площадь.
Вычислите интегралы, преобразуя подынтегральные функции 1) \( \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}sin^2\frac{x}{2}dx \) 2) \( \int\limits_0^1\frac{x^3+x^2+x+1}{x+1}dx \)
Решение: 1\2 интеграл (от 0 до π\2) (1 - cos x) dx = (x - sin x) | ₀ π\2 = π\2 - cos π\2 -( 0 - cos 0) =π\2-0 - 0+1 = π\2 + 1 = (π+2)\2
интеграл ( от 0 до 1) (х²+1)(х+1) \ ( х+1) dx = интеграл ( от 0 до 1) (х²+1) dx =
(1\3 x³ +x) |¹₀ = 1\3 + 1 - 0 = 1 1\3$$ 1)\int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0{sin ^{2} \frac{x}{2} } \, dx = \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0 { \frac{1-cosx}{2} } \, dx = \frac{x-sinx}{2}| _{0 }^{ \frac{ \pi }{2}} = \frac{ \pi }{4} - \frac{1}{2} = \frac{ \pi -2}{4} \\ 2) \int\limits^1_0 { \frac{ x^{3}+x^{2} + x+1}{x+1} } \, dx= \int\limits^1_0 { \frac{ x^{2}(x+1) +( x+1)}{x+1} } \, dx = \int\limits^1_0 { \frac{ (x+1)(x^{2} +1)}{x+1} } \, dx= \\ = \int\limits^1_0 { (x^{2} +1) } \, dx= (\frac{ x^{3} }{3}+x)| _{0} ^{1}= \frac{1}{3}+1=1 \frac{1}{3} $$
Вычислите интегралы, преобразуя подынтегральные функции:
\( 1) \; \int\limits^\frac{3\pi}{8}_\frac{\pi}{8} {12sin(\frac{\pi}{8}-x)cos(\frac{\pi}{8}-x)} \, dx \)
Решение: $$ 1)\; \; \int\limits^{\frac{3\pi}{8}}_{\frac{\pi}{8}} {12sin(\frac{\pi}{8}-x)cos(\frac{\pi}{8}-x)} \, dx = \int\limits^{\frac{3\pi}{8}}_{\frac{\pi}{8}} {6sin(\frac{\pi}{4}-2x)x} \, dx =\\\\=-6\cdot \frac{-1}{2}\cdot cos(\frac{\pi}{4}-2x)|_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}}=3\cdot (cos(\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{4})-cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}))=\\\\=3\cdot (cos(-\frac{\pi}{2})-cos0)=3\cdot (0-1)=-3 $$
2) $$ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} {(2sin2x-1)} \, dx = \int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} {(2\cdot 2sinx\cdot cosx-1)} \, dx =\\\\=[\, \int sinx\cdot cosx\, dx=[t=sinx,\; dt=cosx\, dx]=\int t\cdot dt=\\\\=\frac{t^2}{2}+C=\frac{sin^2x}{2}+C\; ]=\\\\=(4\cdot \frac{sin^2x}{2}-x)|_0^{\frac{\pi}{3}}=2sin^2\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=2\cdot (\frac{\sqrt3}{2})^2-\frac{\pi}{3}=\frac{3}{2}-\frac{\pi}{3}\;. \\ P.S.\int sinx\cdot cosx\, dx=\int sinx\cdot d(sinx)=\frac{sin^2x}{2}+C $$
Вычислите интеграл, преобразуя подынтегральную функцию:
\( \int\limits^\frac{\pi}{2}_0 {cos^2\frac{x}{4}} \, dx \)
у меня в ответе выходит:
\( \frac{\pi}{4}+\frac{\pi^2\sqrt2}{64} \)
Решение: $$ \int\limits^{ \pi /2}_0 cos^2 \frac{x}{4} \, dx= \int\limits^{ \pi /2}_0 \frac{1+cos \frac{x}{2} }{2}dx= \int\limits^{ \pi /2}_0( \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}cos \frac{x}{2})dx=\\\\= \int\limits^{ \pi /2}_0\frac{1}{2}dx+ \int\limits^{ \pi /2}_0 \frac{1}{2}cos \frac{x}{2}dx= \frac{1}{2} \int\limits^{ \pi /2}_0dx+ \frac{1}{2} \int\limits^{ \pi /2}_0cos \frac{x}{2}dx=\\\\= \frac{1}{2}*1+ \frac{1}{2}(2sin \frac{x}{2})|^{ \pi /2}_0= \frac{1}{2}+sin \frac{ \pi }{4}-sin0= \\ = \frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{2} }{2}-0= \frac{1+ \sqrt{2} }{2} $$
