интеграл »

вычислить интеграл - страница 9

  • Вычислить криволинейный интеграл x(cos ydx-sin ydy), где l отрезок прямой, соединяющей начальную точку О(0,0) с конечной В(1; п/4)


    Решение: Находим уравнение прямой:

    Так как проходит через начало координат, то ищем в виде:

    у = кх

    Подставив координаты В:

    п/4 = к

    Итак уравнение прямой: у = пх/4.

    Будем вычислять криволинейный интеграл (хотя в данном случае он - прямолинейный))) ) исходя из того, что параметром будет х:

    тогда :dy = y’dx = (п/4)dx

    Получим:

    I=$$ \int\limits^1_0 {x(cosax} \, dx-asinaxdx)=\int\limits^1_0 {xcosax} \, dx-\int\limits^1_0 {axsinax} \, dx $$

    Здесь я обозначил:

    а = П/4

    Далее используя интегрирование по частям:

    I=$$ \frac{1}{a}\int\limits^1_0 {x} \, dsinax+\int\limits^1_0 {x} \, dcosax=\frac{1}{a}xsinax|_0^1-\frac{1}{a}\int\limits^1_0 {sinax} \, dx+ \\ +xcosax|_0^1-\int\limits^1_0 {cosax} \, dx=\frac{1}{a}xsinax|_0^1+\frac{1}{a^2}cosax|_0^1+xcosax|_0^1- $$

    -$$ -\frac{1}{a}sinax|_0^1=\frac{4\sqrt{2}}{2\pi}+\frac{16}{\pi^2}{(\frac{\sqrt{2}}{2}-1)+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{4\sqrt{2}}{2\pi}}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{16}{\pi^2}+1)-\frac{16}{\pi^2}. $$

  • Вычислить криволинейный интеграл \( J=\int_C (2x+4Z)dx +(2y+2z)dy -12zDz \) вдоль одного витка винтовой линии C: \( \begin{cases} x=2cos4t \\ y=2sin4t \\ z=6t \end{cases} \, \, 0\leq t\leq 2\pi\)


    Решение: ответ -864pi^2+98pi

    ответ - pi pi...

  • Вычислить интеграл с точностью до 0.0001. \( \int\limits^a_0 { \frac{sin(x)}{x} } \, dx \)
    Верхний предел a=0.5


    Решение: Используем разложение подынтегральной функции в степенной ряд:
    $$ 1) sinx=x- \frac{ x^{3}}{3!}.+\frac{ -1^{n-1}}{(2n-1)!} x^{2n-1}. \\ 2) \frac{sinx}{x} =1-\frac{ x^{2}}{3!}.+\frac{ -1^{n-1}}{(2n-)!} x^{2n-2}. $$
    Достаточно двух прописанных членов ряда, чтобы получить точность 0,0001.
    Далее вычисляем сам интеграл:
    $$ \int\limits^{0,5}_0 { \frac{sinx}{x} } \, dx = \int\limits^{0,5}_0 {(1- \frac{ x^{2}}{3!}) } \, dx=(x- \frac{ x^{3} }{18}) |^{0,5}_0=0,5-0,0069=0,4931 $$

  • Вычислите интеграл
    a)0,5
    интеграл dx/x^2
    0,25
    б) п/4
    интеграл cos2xdx
    0


    Решение: А)
    тогда первообразная 
    вычтем из полученного значения для верхнего предела, полученное значение для нижнего предела: - 2 - ( - 4) = 2
    Ответ: а) 2 
    б)
    тогда первообразная 
    вычтем из полученного значения для верхнего предела, полученное значение для нижнего предела: 1/2 * sin(pi/2) - 1/2 * sin(0) = 1/2
    Ответ: б) 1/2

  • Вычислить интеграл ∫ cos(ln x)dx


    Решение: используя интегрирование частями

    $$ I=\int {cos(ln x)}\, dx= x *cos(ln x) - \int {x}\, d (cos (ln x))=\\= x*cos(ln x)-\int {x(-sin (ln x))*\frac{1}{x}}\, dx= x *cos(ln x)+\int sin (ln x)\, dx=\\= x *cos(ln x)+x*sin(ln x)-\int {x}\, d{sin (ln x)}=\\= x *cos(ln x)+x*sin(ln x)-\int {x *cos (lnx)*\frac {1}{x}}\, d{x}=\\= x *cos(ln x)+x*sin(ln x)-\int {cos (lnx)}\, d{x}+c=\\= x *cos(ln x)+x*sin(ln x)-I+c; \\ I=\frac {x *cos(ln x)+x*sin(ln x)+c} {2} $$

    где с є R

<< < 789 10 11 > >>