вычислить интеграл - страница 6
Вычислите интеграл (2-9x)^6*dx
Решение: 1/(x^2 + 9x) = 1/x(x+9)
Разделяете дробь методом неопределенных коэффициентов:
1/x(x+9) = A/x + B/(x + 9)
Получившиеся интегралы табличные - ищете в таблице интегралов элементарных функций.
Вычислите интеграл \( \int\limits^ \pi _ \frac{ \pi }{4} {cos(3x- \frac{ \pi }{4} } )\, dx \)
Решение: $$ \int\limits^ \pi _ \frac{ \pi }{4} {cos(3x- \frac{ \pi }{4} } )\, dx =- \frac{1}{3} cos(3x+ \frac{ \pi }{4} )= \\ - \frac{1}{3} cos(3 \pi + \frac{ \pi }{4} )-(- \frac{1}{3} cos( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \pi }{4}))=- \frac{1}{3} ( -\frac{ \sqrt{2} }{2} +1) $$////////////////////////////////////////////////////////////
Вычислите интеграл \( \int _{-2}^2(4x-3x^2)dx\)
Решение: $$ \int _{-2}^2(4x-3x^2)dx=(4\frac{x^2}{2}-3\frac{x^3}{3})|_{-2}^2=(2x^2-x^3)|_{-2}^2=\\\\=8-8-(8+8)=-16 $$
Вычислите интеграл: \( \int\limits^ \frac{1}{3} _ {0} \, \frac{dx}{ (6x-1)^{4} } \)
Решение: Отыет 0
-Попробуем посчитать интеграл, "отключив мозг":
$$ \displaystyle\int\limits^ {1/3} _ {0} \, \dfrac{dx}{ (6x-1)^{4} } =\dfrac16\int\limits_0^{1/3}(6x-1)^{-4}\,d(6x-1)=(?)=\frac16\left[\frac{(6x-1)^{-3}}{-3}\right]_0^{1/3}=\\=\frac16\left(-\frac13+\frac13\right)=0 $$
Получаем странный результат - интеграл от положительной функции равен нулю. Непорядок.
Ошибка скрывается в переходе, обозначенном (?). Надо было бы написать так:
$$ \displaystyle\dfrac16\left(\int\limits_0^{1/6}+\int\limits_{1/6}^{1/3}\right)(6x-1)^{-4}\,d(6x-1) $$
Расписывая каждый интеграл по отдельности, становится понятно, что интеграл расходится (связано это с "нехорошей точкой" 1/6).
Вычислить интеграл: \( \int\limits_0^2 2dx= \\ \int\limits_0^{\pi}(sinx)dx\\ \int\limits_2^e \frac{1}{x}dx=\\ \int\limits_{-1}^3(x^2+5x-4)dx= \\ \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{2}{cos^2x}dx =\)
2. Определить и вычислить площадь плоских фигур и начертить график: 1) y=x; x=4; y=0
2) y=x^2 +2; y=6
3) y=sinx; y=3sinx; \(0\leq x\leq \pi \)
Решение: №11) Превоообразная = 2x
Интеграл = 2*2-0 = 4
2) первообразная = -cosx
Интеграл = 1+1=2
3) Превообразная 1/3 * X^3 +2,5x^2-4x
Интеграл = 9+22,5-8+1/3-2,5-4=17 +1/3
4) Первообразная 2 tg(x)
Интеграл= 2+2=4
№2
1) S=0.5*4*4=8
2) Площадь прямоугольника под у=6 S1=6*4=24
Площадь под графиком Y=x^2+2 на промежутке от -2 до 2 S2=40/3
Искомая площадь = 24 -40|3=10+2/3
3) Превообразные: y=-cosx и y=-3cosx соответсвенно
S=6-2=4
Вычислить интеграл (с проверкой):
\( \int\sqrt{2-x-x^{2}} \)
Решение: Воспользуемся формулой
$$ \int\sqrt{a^2-t^2}dt=\frac{t}{2}\sqrt{a^2-t^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin(\frac{t}{a})+C $$
Теперь сам интеграл следует привести к этому виду
$$ \int\sqrt{2-x-x^2}dx=\int\sqrt{2+0,25-0,25-x-x^2}dx= \\ =\int\sqrt{2,25-(0,25+x+x^2)}dx=\int\sqrt{2,25-(0,5+x)^2)}dx= \\ =\int\sqrt{2,25-(0,5+x)^2)}d(x+0,5) $$
Замена t=x+0,5.
$$ \int\sqrt{2,25-t^2}dt=\int\sqrt{1,5^2-t^2}dt=\frac{t}{2}\sqrt{2,25-t^2}+\frac{2,25}{2}\arcsin\frac{t}{1,5}+C $$
Теперь подставим вместо t его значение (x+0,5).
$$ =\frac{x+0,5}{2}\sqrt{2,25-(x+0,5)^2}+\frac{2,25}{2}\arcsin(\frac{x+0,5}{1,5})+C= \\ =\frac{x+0,5}{2}\sqrt{2-x-x^2}+\frac{9}{8}\arcsin(\frac{2*(x+0,5)}{3})+C= $$
$$ =\frac{x+0,5}{2}\sqrt{2-x-x^2}+\frac{9}{8}\arcsin(\frac{2x+1}{3})+C= \\ =\frac{2x+1}{4}\sqrt{2-x-x^2}+\frac{9}{8}\arcsin(\frac{2x+1}{3})+C= $$
Проверка во вложении
Вычислить интеграл: \( \int \limits_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{4}} {\cos 4x}\, dx= \)
Решение: $$ \\\int \limits_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{4}} {\cos 4x}\, dx=(*)\\ t=4x\\ dt=4\, dx\\ \int \limits_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{4}{\cos t}\, dt=\\ \frac{1}{4}\int \limits_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{4}} {\cos t}\, dt=\\ \frac{1}{4}\Big[\sin t\Big]_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{4}}=\\ (*)=\frac{1}{4}\Big[\sin 4x\Big]_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{4}}=\\ \frac{1}{4}(\sin (4\cdot\frac{\pi}{4})-\sin (4\cdot\frac{\pi}{18}))=\\\frac{1}{4}(\sin \pi-\sin \frac{2\pi}{9})=\\\frac{1}{4}(0-\sin \frac{2\pi}{9})=\\-\frac{1}{4}\sin \frac{2\pi}{9}\approx-0,16\\ $$вычислить интеграл:
∫от π/8 до π/4 cos4xdx
Решение: = sin4x/4 |от пи/8 до пи/4 = 1/4 * (sin4*pi/4 - sin 4*pi/8) = 1/4 *(sinpi-sin(pi/2)) = 1/4*(0-1) = -1/4$$ \\\int \limits_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} {\cos 4x}\, dx=(*)\\ t=4x\\ dt=4\, dx\\ \int \limits_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{4}{\cos t}\, dt=\\ \frac{1}{4}\int \limits_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} {\cos t}\, dt=\\ \frac{1}{4}\Big[\sin t\Big]_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}}=\\ (*)=\frac{1}{4}\Big[\sin 4x\Big]_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}}=\\ \frac{1}{4}(\sin (4\cdot\frac{\pi}{4})-\sin (4\cdot\frac{\pi}{8}))=\\ \frac{1}{4}(\sin \pi-\sin \frac{\pi}{2})=\\ \frac{1}{4}(0-1)=\\ \frac{1}{4}\cdot(-1)=\\ -\frac{1}{4} $$
вычислить интеграл:
∫от 0до 1(2x+3)³dx
Решение: $$ \\\int\limits_0^1{(2x+3)^3}\, dx=(*)\\ t=2x+3\\ dt=2\,dx \\ \int\limits_0^1{\frac{1}{2}t^3}\, dt=\\ \frac{1}{2}\int\limits_0^1{t^3}\, dt=\\ \frac{1}{2}\Big[\frac{t^4}{4}\Big]_0^1\\ (*)=\frac{1}{2}\Big[\frac{(2x+3)^4}{4}\Big]_0^1=\\ \frac{1}{2}\cdot\frac{(2\cdot1+3)^4}{4}-\frac{1}{2}\cdot \frac{(2\cdot0+3)^4}{4}=\\ \frac{1}{2}\cdot\frac{5^4}{4}-\frac{1}{2}\cdot \frac{3^4}{4}=\\ \frac{1}{2}\cdot\frac{625}{4}-\frac{1}{2}\cdot \frac{81}{4}=\\ \frac{625}{8}-\frac{81}{8}=\\ \frac{544}{8}=\\ 68 $$Вычислите интеграл
\( \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _ {0} \, \frac{cosdx}{2sinx+1} \)
Решение: Заметим, что подынтегральная функция нигде в промежутке$$ [0,\frac{\pi}{2}] $$ не обращается в ∞. То есть подынтегральная функция интегрируема по Риману в данном промежутке.
$$ \cos x\,dx=d(\sin x) \\ \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\cos x\,dx}{2\sin x+1}=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\sin x}{2\sin x+1}= \\ =\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\frac{1}{2}d(2\sin x)}{2\sin x+1}=\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d(2\sin x)}{2\sin x+1}=\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d(2\sin x+1)}{2\sin x+1}= $$
Можно заметить, что подынтегральная функция теперь имеет вид:
$$ \int\frac{dt}{t}=\ln|t| $$
Получается, что
$$ =\frac{1}{2}\ln(2\sin x+1)|_0^\frac{\pi}{2}=\frac{1}{2}(\ln|2\sin\frac{\pi}{2}+1|-\ln|2\sin 0+1|)= \\ =\frac{1}{2}(\ln|3|-\ln|1|)=\frac{\ln 3}{2} $$
Ответ: $$ \frac{\ln 3}{2} $$
