найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: \( y=\frac{16}{x^2}, \\ y=2x, \\ x=4. \)
Решение:
1. Найдите ту первообразную F(x) для функции f(x)=4x^3-8x, график которой проходит через точку А(1;3)
2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х^2 и у=4
Решение: $$ 1) f(x) = 4x^3 - 8x; A(1;3)\\ F(x) = 4*\frac{x^4}{4} - 8*\frac{x^2}{2} + C = x^4 - 4x^2 + C $$У нас есть некоторая неопределенная первообразная, о чем нам говорит число С, его нам и надо найти, найдя его, найдем единственно нужную нам первообразную.
на даны координаты точки A(1;3) - 1 - x, 3 - y.
поэтому подставляем 3-ойку вместо значения функции, а единицу вместо значения x.
$$ F(x)=x^4 - 4x^2 + C\\ 3 = 1^4 - 4*1^2 + C\\ 3 = 1 - 4 +C\\ 3 = -3 + C\\ C = 6\\ $$
поставляем это значение в первообразную
$$ F(x)=x^4 - 4x^2 + C\\ F(x) = x^4 - 4x^2 + 6 $$
Это и есть ответ.
2)площадь этой фигуры находится как интеграл от разности графиков y=4 и у=х^2, при чем ограничивается этот интеграл точками пересечениями этих графиков.
x^2 = 4
x = 2; - 2
$$ S_= \int_{-2}^{2} {(4-x^2)} \, dx = (4x - \frac{x^3}{3})| =\\ = (8 - \frac{8}{3}) - (-8 - \frac{-8}{3}) = 10\frac{2}{3} $$
№1. вычислите интеграл \( \int\limits^1_-1{(3 x^{2} -7x+5)dx} \, \) (нижний предел -1)
№2. Для функции f(x)=4x+\( \frac{1}{x^{2} } \) найдите первообразную график которой проходит через точку M(-1:4)
№3. вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры ограниченной линиями
y=\( x^{2} \)-4x+5, у=0,x=0.x=4
Решение: 1)
$$ \int\limits^1_{-1} {(3x^2-7x+5)} \, dx =(x^3- \frac{7}{2}x^2+5x)|^1_{-1}= \\ =1- \frac{7}{2} +5+1+ \frac{7}{2} +5=12. $$
2)
$$ F(x)=2x^2- \frac{1}{x} +C $$
F(-1) = 4 => 2+1+C=4 => C=1.
Итак, $$ F(x) = 2x^2- \frac{1}{x} +1. $$
3) Рисунок во вложении
$$ S_{OABC}=\int\limits^4_{0} {(x^2-4x+5)} \, dx =( \frac{x^3}{3} -2x^2+5x)|^4_0= \\ = \frac{64}{3} -32+20=9 \frac{1}{3} $$
В прямоугольник со сторонами 16см и 18см вписывается ромб, вершины которого являются серединами сторон прямоугольника. В полученный ромб аналогичным образом вписывается прямоугольник, а в него снова ромб и так далее. Докажите, что площади полученных фигур образуют геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой прогрессии
Решение: S₁(данного прямоугольника)=a·b=18·16;
S₂(ромба вписанного в данный прямоугольник)=(1/2)·D₁·D₂=(1/2)·16·18;
S₃=(a/2)(b/2)=(18·16)/4;
S₄=(1/2)·d₁·d₂=(1/2)·(16/2)·(18/2)=(16·18)/8;
q=S₄:S₃=S₃:S₂=S₂:S₁=1/2.
О т в е т. q=1/2.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линией
модуль их Х + модуль из У=6
Решение: |x|+|y|=6, график так заданной функции будет квадрат с вершинами (6;0)(0;6)(-6;0)(0;-6), что легко установить построив графики данной функции во всех 4 четвертях (квадрантах)
а площадь такого квадрата можно найти из того, что диагональ равна 12
, ну например из теоремы Пифагора следует, что квадрат диагонали квадрата равен удвоенному квадрату стороны, а значит удвоенный квадрат стороны(площадь) равна половине квадрата диагонали
площадь равна 12*12/2=12*6=72
Ответ:72 квадратных единицы
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y=4x-x^2; e=4-x; б) y=x^2, y=2x; в) y=x^2-4x+4, y=4-x^2; г) y=x^2 -2x+2, y=2+6x-x^2;
Решение: 1) пределы интегрирования:
$$ 4x-x^{2}=4-x \\ 4x-x^{2}-4+x=0 \\ x^{2}-5x+4=0, D=25-16=9>0 \\ x_{1}= \frac{5-3}{2}=1 \\ x_{2}= \frac{5+3}{2}=4 \\ S= \int\limits^4_1 {(4x-x^{2}-4+x)} \\, dx= \int\limits^4_1 {(5x-x^{2}-4)} \\, dx= \frac{5x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-4x=\frac{5*4^{2}}{2}-\frac{4^{3}}{3}-4*4-(\frac{5}{2}-\frac{1}{3}-4)=\\=40-\frac{64}{3}-16-\frac{5}{2}+\frac{1}{3}+4=28-\frac{63}{3}-\frac{5}{2}=\\=28-\frac{63*2+15}{6}=28-23.5=4.5 $$
2) $$ x^{2}=2x \\ x*(x-2)=0 \\ x_{1}=0, x_{2}=2 \\ S= \int\limits^2_0 {(2x-x^{2})} \, dx=\\= x^{2}-\frac{x^{3}}{3}=2^{2}-\frac{2^{3}}{3}=\frac{12-8}{3}=\\=\frac{4}{3} $$
3) $$ x^{2}-4x+4=4-x^{2} \\ 2x^{2}-4x=0 \\ 2x*(x-2)=0 \\ x_{1}=0, x_{2}=2 \\ S= \int\limits^2_0 {(4-x^{2}-x^{2}+4x-4)} \, dx=\int\limits^2_0 {(-2x^{2}+4x)} \, dx= -\frac{2x^{3}}{3}+2x^{2}=\\=-\frac{2*2^{3}}{3}+2*2^{2}=8-\frac{16}{3}=\\=\frac{24-16}{3}=\frac{8}{3} $$
4) $$ x^{2}-2x+2=2+6x-x^{2} \\ 2x^{2}-8x=0 \\ 2x*(x-4)=0 \\ x_{1}=0, x_{2}=4 \\ S= \int\limits^4_0 {(2+6x-x^{2}-x^{2}+2x-2)} \\, dx=\int\limits^4_0 {(8x-2x^{2})} \\, dx=4x^{2}- \frac{2x^{3}}{3}=4*4^{2}-\frac{2*4^{3}}{3}=\\=64-\frac{64*2}{3}=\frac{64*3-64*2}{3}=\frac{64*(3-2)}{3}=\frac{64}{3} $$
Желтым закрашена искомая площадь
Задание найдите площадь фигуры ограниченной линиями у=х^3 y=0 x= -3 x=1 площадь нужно найти через интеграл
Решение: Здесь разбивается на 2 интеграла
И сумма будет положительный
Нижний интеграл брать с минусом не надо, его просто складывают с верхним
См. рисунокS =S₁+S₂= интеграл (0 - x³)dx + интеграл (x³ -0)dx =
a₁ = - 3, b₁ =0 a₂ = 0, b2 =1
-(x^4)/4 | a₁ = - 3, b₁ =0 +(x^4)/4 | a₂ = 0, b2 =1 = -((0^4)/4 -((-3)^4)/4) +(1^4)/4 -(0^4)/4 =
=81/4 +1/4 =82/4 =20,5.
* * * интеграл f(x)dx =F(x) | a ->b =F(b) - F(a) * * *
a ->b
1. Найдите производную функции:
а) f(x)=1/2x^4-x^3+5 б) f(x)=1-2x/2x+1 в) f(x)=x^2*cosx
2. Найдите производную сложной функции:
а) f(x)=(3x+4)^5 б) f(x)=sin(5x^2+2)
3. напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции f(x)=x^3-3x^2 в точке с абциссой a=-1
4. Найдите интеграл:
a) ∫(3x^2+4x-5)dx б) ∫sin(8x-12)dx в) ∫_1^3 (4x-2)dx
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=4x-x^2, осью Ox
Решение: A. f ’ (x) = 1*4/2 *x³-3x² = 2x³-3x²
б. если функция это (1-2x) / (2x+1) f ’(x) = (1-2x)’ *(2x+1)- (2x+1)’(1-2x) / (2x+1)² = (2(2x+1) - 2(1-2x)) / (2x+1)² = 4x+2-2+4x / (2x+1)² = 4x/ (2x+1)²
с. f ’(x) = 2x*cos(x) + x² *(-sin(x)) = 2x*cos(x) - x²*sin (x)
2.a. 5(3x+4)⁴ *(3x+4)’ = 5*(3x+4)⁴* 3 = 15 (3x+4)⁴
cos (5x²+2) * (5x²+2)’ = 10 x cos (5x²+2)
3.y(x) =f(x₀) - f ’(x₀)*(x-x₀) f ’(x) = 3x²-6x f ’(-1) = 3*1 - 6*(-1) = 9 f (-1) = -1-3 = -4
y(x) = -4 - 9(x+1) = 5-9xВычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-1/2x+1,y=3/2x+3, x=-1,x=1
Решение: График y = 3/2x+3 можем не использовать. Он всё равно не влияет на площадь данной фигуры на промежутке [-1;1]. ЗначитS = $$ \int\limits^1_{-1} {(-\frac{x}{2}+1)} \, dx = -\frac{x^3}{6} + x|_{-1}^1 = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + 1 = 2 $$ ед^2
1) Для функции f (x) = 6х5 найдите первоначальную, график которой проходит через точку:
2) Какой из следующих выражений равен площади фигуры, заштрихованной на рисунке:
3) Найдите площадь заштрихованной фигуры.
4) Установите соответствие между интегралами и их значениями.
5) Вычислите интеграл:
6) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
7) Вычислите интеграл:
Решение: 1. y=x^6+C оба варианта ответ В)2. площадь 1 вариант 2 ответ В)
2 Вариант ответ аналогичен В)
3. Вариант 1 =4/3 вариант 2 = 2/3
4. Вариант 1
1 - Г
2-В
3 - Б
Вариант 2
1- А
2 -В
3 - Г
5. Вариант 1
первообразная равна
x^3/3-5x^2/2+4x
подстановка верхняя
64/3-40+16
Постановка нижняя
1/3-5/2+4
S=|64/3-1/3-40+16-4+5/2|=|21-28+2,5|=4,5
Вариант 2
первообразная равна
x^3/3+5x^2/2+4x
Постановка нижняя
-1/3+5/2-4
подстановка верхняя
-64/3+40-16
S=|-64/3+40-16+1/3-5/2+4|=|-21+44-16-2,5|=4,5
1) первоначальная для функции f(x) = 6х⁵ это семейство функций
F(x) = х⁶ + с, c є R\
cреди них ищем ту которая проходит через точку А
1 вариант:
0 = (-1)⁶ + с
0 = 1 + с
с = -1
F(x)= х⁶-1 в)
2 вариант:
-1 = 0⁶ + с
-1 = с
с= -1
F(x)= х⁶-1 в)
3) 1 вариант:
$$ S =\int\limits^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}} {sinx} \, dx = -(cos\frac{\pi}{2}-cos(-\frac{\pi}{2}))=0 $$ д)
2 вариант:
$$ S =\int\limits^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}} {cosx} \, dx = sin\frac{\pi}{2}-sin(-\frac{\pi}{2}))=1-(-1)=2 $$ в)
